Unterschied Basis und Span? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe ebenfalls eine Frage zu den Themen Spann, lineare Hülle, Basis.
Ich schaue mir zur Zeit eine Vorlesungsreihe einer israelischen Hochschule an (englisch) und verstehe etwas grundlegendes nicht.
In einem Beispiel ist gesagt, dass der Spann der Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] lediglich diese beiden Vektoren sind, der Vektor [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] jedoch nicht zum Spann gehört, da er eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren ist.
Die Definition von Spann ist ja, soweit ich das richtig verstanden habe, die Menge aller Linerkombinationen als Teilmenge von V (Vektorraum über K). Wieso liegt dann der dritte Vektor nicht im Spann ? Wäre das nicht eigentlich die Definition einer Basis, wenn man den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] aus dem Spann wegstreicht ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 24.09.2020 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich habe ebenfalls eine Frage zu den Themen Spann, lineare
> Hülle, Basis.
>
> Ich schaue mir zur Zeit eine Vorlesungsreihe einer
> israelischen Hochschule an (englisch) und verstehe etwas
> grundlegendes nicht.
>
> In einem Beispiel ist gesagt, dass der Spann der Vektoren
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] lediglich diese beiden
> Vektoren sind, der Vektor [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm] jedoch nicht zum
> Spann gehört, da er eine Linearkombination der beiden
> anderen Vektoren ist.
Gemeint ist vielleicht, daß er nicht gebraucht wird, um den Spann zu bilden.
> Die Definition von Spann ist ja, soweit ich das richtig
> verstanden habe, die Menge aller Linerkombinationen als
> Teilmenge von V (Vektorraum über K). Wieso liegt dann der
> dritte Vektor nicht im Spann ?
Liegt er natürlich doch.
> Wäre das nicht eigentlich
> die Definition einer Basis, wenn man den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm]
> aus dem Spann wegstreicht ?
Aus dem Spann kann man ihn schlecht wegstreichen, aber natürlich aus dem Erzeugendensystem des Spanns.
Gruß Dieter
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Also, wenn ich das richtig verstanden habe:
Ein Erzeugendensystem erzeugt, wie der Name schon sagt, die Grundlage für Basis und Spann und kann aus linear unabhängigen und linear abhängigen Vektoren bestehen.
Der Spann ist die Menge aller vom Erzeugendensystem erzeugten Linearkombinationen.
Eine Basis ist ein Erzeugendensystem und besteht immer aus linear unabhängigen Vektoren.
Deswegen kann man "überflüssige" Vektoren aus dem Erzeugendensystem herausstreichen, sie bleiben dann aber trotzdem im Spann.
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Vielen Dank für die Antworten, hat mir sehr geholfen !
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