Unterschied Green/Gauss < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:57 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kappen |
Hi Leute.
Ich frage mich, wie ich die Integralsätze von Gauß und Green zusammenbekomme.
Ich denke im [mm] R^3 [/mm] verstehe ich den Satz von Gauß, aber in der Ebene nicht. Ich denke, jemand muss mir auch nochmal auf die Sprünge helfen, was ein Flussintegral im [mm] R^2 [/mm] sein soll.
Ich habe versucht das ganze mal mit einem eigenen Beispiel nachzuvollziehen.
Ich habe ein Vektorfeld mit Potential gewählt, sodass bei einem "normalen" geschlossenen Kurvenintegral über das Vektorfeld (kann hier nochmal jemand genau sagen, was ich da ausrechne? Ich benutze den Tangentialvektor und integriere in Kurvenrichtung über das Vektorfeld, ist das der "Fluss" in [mm] R^2?) [/mm] Null herauskommt.
Ich möchte über die Einheitskreisscheibe integrieren. Dabei ist [mm] \Phi(\phi)=\vektor{cos\phi \\ sin\phi} [/mm] meine Parametrisierung.
Ich wähle z.B. [mm] \vec{v}=\vektor{P \\ Q}=\vektor{x \\ y}, [/mm] dort gilt [mm] P_y=Q_x [/mm] also existiert ein Potential, somit ist das Integral wegunabhängig und damit 0.
Rechne ich dies nach via [mm] \integral_{\phi=0}^{2\pi}{\vec{v}(\vec{\Phi})\cdot\vec{\Phi'}d\phi} [/mm] also mit dem Tangentialvektor, so kommt 0 raus.
Dann rechne ich mit dem Greenschen Satz, der eigentlich Gauß in der Ebene sein soll. Also sollte er doch den Fluß durch den Rand (hier Randkurve) als Quellenstärke im Kreisinhalt darstellen, oder?
Ich habe hier den Greenschen Satz folgendermaßen stehen:
[mm] \integral_{\partial M}^{}{Pdx+Qdy}=\integral_{M}{(Q_x-P_y)d(x,y)}
[/mm]
wobei M mein Gebiet, meine Kreisscheibe ist
Der linke Teil sieht aber aus wie ein normales Kurvenintegral. Und die rechte Seite wurde dann mit Gauß gemacht, indem das Integral mit Normalenvektor in eines mit Tangentialvektor umgewandelt wurde, oder?
Da kommt dann logischerweise auch 0 raus.
Möchte ich das ganze aber mit dem "echten" Satz von Gauß machen, so bekomme ich auf beiden Seiten [mm] 2\pi [/mm] heraus, was das doppelte des Flächeninhaltes ist. Ich weiß, wie ich eine Formel für den Flächeninhalt hieraus herleite, aber in diesem Fall ist das ja garnicht mein Interesse.
Kann ich den Satz von Gauß garnicht auf den [mm] R^2 [/mm] und [mm] R^3 [/mm] reduzieren? Also so, dass die Divergenz des Vektorfeldes integriert über den Kreisflächeninhalt = Kurvenintegral mit Normalenvektor über Kreis ist?
Weil einmal wird ja der Normalenvektor benutzt (eigentlich immer im höherdimensionalen) und einmal der Tangentialvektor.
Ich verstehe da den Zusammenhang nicht, ist ein Kurvenintegral über ein Vektorfeld im [mm] R^2 [/mm] das gleiche wie ein (Oberflächen-)Flussintegral im [mm] R^3?
[/mm]
Gibt es überhaupt eine sinnvolle Anwendung für ein (Kurven-)Integral im [mm] R^2, [/mm] das den Normalenvektor (entspricht ja im [mm] R^2 [/mm] dem Richtungvektor) verwendet?
Versteht ihr, was ich meine, oder bin ich schon völlig duch? :D
Ich danke fürs Lesen & hoffentlich für eine Antwort!
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> Hi Leute.
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> Ich frage mich, wie ich die Integralsätze von Gauß und
> Green zusammenbekomme.
>
> Ich denke im [mm]R^3[/mm] verstehe ich den Satz von Gauß, aber in
> der Ebene nicht. Ich denke, jemand muss mir auch nochmal
> auf die Sprünge helfen, was ein Flussintegral im [mm]R^2[/mm] sein
> soll.
>
> Ich habe versucht das ganze mal mit einem eigenen Beispiel
> nachzuvollziehen.
>
> Ich habe ein Vektorfeld mit Potential gewählt, sodass bei
> einem "normalen" geschlossenen Kurvenintegral über das
> Vektorfeld (kann hier nochmal jemand genau sagen, was ich
> da ausrechne? Ich benutze den Tangentialvektor und
> integriere in Kurvenrichtung über das Vektorfeld, ist das
> der "Fluss" in [mm]R^2?)[/mm] Null herauskommt.
>
> Ich möchte über die Einheitskreisscheibe integrieren.
> Dabei ist [mm]\Phi(\phi)=\vektor{cos\phi \\ sin\phi}[/mm] meine
> Parametrisierung.
> Ich wähle z.B. [mm]\vec{v}=\vektor{P \\ Q}=\vektor{x \\ y},[/mm]
> dort gilt [mm]P_y=Q_x[/mm] also existiert ein Potential, somit ist
> das Integral wegunabhängig und damit 0.
>
> Rechne ich dies nach via
> [mm]\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\vec{v}(\vec{\Phi})\cdot\vec{\Phi'}d\phi}[/mm]
> also mit dem Tangentialvektor, so kommt 0 raus.
>
> Dann rechne ich mit dem Greenschen Satz, der eigentlich
> Gauß in der Ebene sein soll. Also sollte er doch den Fluß
> durch den Rand (hier Randkurve) als Quellenstärke im
> Kreisinhalt darstellen, oder?
>
> Ich habe hier den Greenschen Satz folgendermaßen stehen:
> [mm]\integral_{\partial M}^{}{Pdx+Qdy}=\integral_{M}{(Q_x-P_y)d(x,y)}[/mm]
>
> wobei M mein Gebiet, meine Kreisscheibe ist
> Der linke Teil sieht aber aus wie ein normales
> Kurvenintegral.
Dies trifft nicht zu. Bei einem "normalen" Kurvenintegral
hat man das Differential ds der Bogenlänge und nicht
zwei Bestandteile mit dx bzw. dy .
> Und die rechte Seite wurde dann mit Gauß
> gemacht, indem das Integral mit Normalenvektor in eines mit
> Tangentialvektor umgewandelt wurde, oder? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie sollte denn das gehen ??
> Da kommt dann logischerweise auch 0 raus.
>
> Möchte ich das ganze aber mit dem "echten" Satz von Gauß
> machen, so bekomme ich auf beiden Seiten [mm]2\pi[/mm] heraus, was
> das doppelte des Flächeninhaltes ist. Ich weiß, wie ich
> eine Formel für den Flächeninhalt hieraus herleite, aber
> in diesem Fall ist das ja garnicht mein Interesse.
>
> Kann ich den Satz von Gauß garnicht auf den [mm]R^2[/mm] und [mm]R^3[/mm]
> reduzieren? Also so, dass die Divergenz des Vektorfeldes
> integriert über den Kreisflächeninhalt = Kurvenintegral
> mit Normalenvektor über Kreis ist?
>
> Weil einmal wird ja der Normalenvektor benutzt (eigentlich
> immer im höherdimensionalen) und einmal der
> Tangentialvektor.
>
> Ich verstehe da den Zusammenhang nicht, ist ein
> Kurvenintegral über ein Vektorfeld im [mm]R^2[/mm] das gleiche wie
> ein (Oberflächen-)Flussintegral im [mm]R^3?[/mm]
>
> Gibt es überhaupt eine sinnvolle Anwendung für ein
> (Kurven-)Integral im [mm]R^2,[/mm] das den Normalenvektor
> (entspricht ja im [mm]R^2[/mm] dem Richtungvektor) verwendet?
>
> Versteht ihr, was ich meine, oder bin ich schon völlig
> duch? :D
>
> Ich danke fürs Lesen & hoffentlich für eine Antwort!
Hallo kappen,
der Satz von Gauß in der Ebene ist analog zu dem im [mm] \IR^3 [/mm] ,
abgesehen von der Dimension der Integrale. Der Fluss des
Vektorfeldes durch den Rand der Einheitskreisscheibe ist
das Integral
[mm] $\oint_k\vec{v}*\vec{n}*ds$
[/mm]
Dabei ist k der Einheitskreis und [mm] \vec{n} [/mm] der (nach außen zeigende)
Normalen-Einheitsvektor zu diesem in jedem seiner Punkte.
Dass man hier den Normalenvektor braucht, hat damit zu
tun, dass man den Fluss berechnen will, der die Randlinie
überquert.
Die Divergenz besteht natürlich nur aus 2 Komponenten.
Der Satz liefert also die Gleichung
[mm] $\oint_k\vec{v}*\vec{n}*ds\ [/mm] =\ [mm] \int_S\ [/mm] div\ [mm] \vec{v}\ dx\,dy\ [/mm] =\ [mm] \int_S\ (\vec{v}_x+\vec{v}_y)\ dx\,dy$
[/mm]
Dass der Greensche Satz dasselbe wie "Gauß in der Ebene" sein
soll, stimmt natürlich nicht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kappen |
> > Hi Leute.
> >
> > Ich frage mich, wie ich die Integralsätze von Gauß und
> > Green zusammenbekomme.
> >
> > Ich denke im [mm]R^3[/mm] verstehe ich den Satz von Gauß, aber in
> > der Ebene nicht. Ich denke, jemand muss mir auch nochmal
> > auf die Sprünge helfen, was ein Flussintegral im [mm]R^2[/mm] sein
> > soll.
> >
> > Ich habe versucht das ganze mal mit einem eigenen Beispiel
> > nachzuvollziehen.
> >
> > Ich habe ein Vektorfeld mit Potential gewählt, sodass bei
> > einem "normalen" geschlossenen Kurvenintegral über das
> > Vektorfeld (kann hier nochmal jemand genau sagen, was ich
> > da ausrechne? Ich benutze den Tangentialvektor und
> > integriere in Kurvenrichtung über das Vektorfeld, ist das
> > der "Fluss" in [mm]R^2?)[/mm] Null herauskommt.
> >
> > Ich möchte über die Einheitskreisscheibe integrieren.
> > Dabei ist [mm]\Phi(\phi)=\vektor{cos\phi \\ sin\phi}[/mm] meine
> > Parametrisierung.
> > Ich wähle z.B. [mm]\vec{v}=\vektor{P \\ Q}=\vektor{x \\ y},[/mm]
> > dort gilt [mm]P_y=Q_x[/mm] also existiert ein Potential, somit ist
> > das Integral wegunabhängig und damit 0.
> >
> > Rechne ich dies nach via
> >
> [mm]\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\vec{v}(\vec{\Phi})\cdot\vec{\Phi'}d\phi}[/mm]
> > also mit dem Tangentialvektor, so kommt 0 raus.
> >
> > Dann rechne ich mit dem Greenschen Satz, der eigentlich
> > Gauß in der Ebene sein soll. Also sollte er doch den Fluß
> > durch den Rand (hier Randkurve) als Quellenstärke im
> > Kreisinhalt darstellen, oder?
> >
> > Ich habe hier den Greenschen Satz folgendermaßen stehen:
> > [mm]\integral_{\partial M}^{}{Pdx+Qdy}=\integral_{M}{(Q_x-P_y)d(x,y)}[/mm]
>
> >
> > wobei M mein Gebiet, meine Kreisscheibe ist
> > Der linke Teil sieht aber aus wie ein normales
> > Kurvenintegral.
>
> Dies trifft nicht zu. Bei einem "normalen" Kurvenintegral
> hat man das Differential ds der Bogenlänge und nicht
> zwei Bestandteile mit dx bzw. dy .
Okay, aber kann ich das Integral nicht auch so darstellen:
[mm] \integral_{\partial M}^{}{\vec{v}\cdot d\vec{r}}? [/mm] Das ist doch im Grunde ein Kurvenintegral, natürlich muss die Parametrisierung noch eingesetzt werden, oder bin ich da so auf dem Holzweg?
>
> > Und die rechte Seite wurde dann mit Gauß
> > gemacht, indem das Integral mit Normalenvektor in eines mit
> > Tangentialvektor umgewandelt wurde, oder?
>
> Wie sollte denn das gehen ??
Werde ich gleich nochmal nachgucken.
>
> > Da kommt dann logischerweise auch 0 raus.
> >
> > Möchte ich das ganze aber mit dem "echten" Satz von Gauß
> > machen, so bekomme ich auf beiden Seiten [mm]2\pi[/mm] heraus, was
> > das doppelte des Flächeninhaltes ist. Ich weiß, wie ich
> > eine Formel für den Flächeninhalt hieraus herleite, aber
> > in diesem Fall ist das ja garnicht mein Interesse.
> >
> > Kann ich den Satz von Gauß garnicht auf den [mm]R^2[/mm] und [mm]R^3[/mm]
> > reduzieren? Also so, dass die Divergenz des Vektorfeldes
> > integriert über den Kreisflächeninhalt = Kurvenintegral
> > mit Normalenvektor über Kreis ist?
> >
> > Weil einmal wird ja der Normalenvektor benutzt (eigentlich
> > immer im höherdimensionalen) und einmal der
> > Tangentialvektor.
> >
> > Ich verstehe da den Zusammenhang nicht, ist ein
> > Kurvenintegral über ein Vektorfeld im [mm]R^2[/mm] das gleiche wie
> > ein (Oberflächen-)Flussintegral im [mm]R^3?[/mm]
> >
> > Gibt es überhaupt eine sinnvolle Anwendung für ein
> > (Kurven-)Integral im [mm]R^2,[/mm] das den Normalenvektor
> > (entspricht ja im [mm]R^2[/mm] dem Richtungvektor) verwendet?
> >
> > Versteht ihr, was ich meine, oder bin ich schon völlig
> > duch? :D
> >
> > Ich danke fürs Lesen & hoffentlich für eine Antwort!
>
>
> Hallo kappen,
>
Huhu :)
> der Satz von Gauß in der Ebene ist analog zu dem im [mm]\IR^3[/mm]
> ,
> abgesehen von der Dimension der Integrale. Der Fluss des
> Vektorfeldes durch den Rand der Einheitskreisscheibe ist
> das Integral
>
> [mm]\oint_k\vec{v}*\vec{n}*ds[/mm]
>
> Dabei ist k der Einheitskreis und [mm]\vec{n}[/mm] der (nach außen
> zeigende)
> Normalen-Einheitsvektor zu diesem in jedem seiner Punkte.
> Dass man hier den Normalenvektor braucht, hat damit zu
> tun, dass man den Fluss berechnen will, der die Randlinie
> überquert.
Gut, das beruhigt, danke. Gauß bleibt also Gauß so wie er da steht, mir Normalenvektor, in jeder Dimension.
>
> Die Divergenz besteht natürlich nur aus 2 Komponenten.
> Der Satz liefert also die Gleichung
>
> [mm]\oint_k\vec{v}*\vec{n}*ds\ =\ \int_S\ div\ \vec{v}\ dx\,dy\ =\ \int_S\ (\vec{v}_x+\vec{v}_y)\ dx\,dy[/mm]
Jap seh ich ein, aber stimmt die letzte Umformung? Müsste das nicht eher
[mm] \int_S\ (\vec{(v_1)}_x+\vec{(v_2)}_y)\ dx\,dy [/mm] bzw [mm] \int_S\ (\vec{P}_x+\vec{Q}_y)\ dx\,dy [/mm] oder so heißen,
oder ist das hier eine Sache der Schreibweise?
>
> Dass der Greensche Satz dasselbe wie "Gauß in der Ebene"
> sein
> soll, stimmt natürlich nicht.
Habe ich jetzt auch gesehen. Bei uns im Skript steht "Gauß in der Ebene oder Satz von Green", deswegen war ich überhaupt so irritiert.
Der Satz von Green wird also benutzt, um Kurven- keine FLUSSintegrale zu berechnen, indem man über die Fläche geht bzw anders rum?
>
> LG Al-Chw.
>
Dankeschön!
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> > Die Divergenz besteht natürlich nur aus 2 Komponenten.
> > Der Satz liefert also die Gleichung
> >
> [mm] >$\oint_k\vec{v}*\vec{n}*ds\ [/mm] =\ [mm] \int_S\ [/mm] div\ [mm] \vec{v}\ dx\,dy$
[/mm]
> > $\ =\ [mm] \int_S\ (\vec{v}_x+\vec{v}_y)\ dx\,dy$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Jap seh ich ein, aber stimmt die letzte Umformung? Müsste
> das nicht eher
> [mm]\int_S\ (\vec{(v_1)}_x+\vec{(v_2)}_y)\ dx\,dy[/mm] bzw [mm]\int_S\ (\vec{P}_x+\vec{Q}_y)\ dx\,dy[/mm]
> oder so heißen,
> oder ist das hier eine Sache der Schreibweise?
Du hast natürlich recht - das war ein Fehler !
LG Al-Chw.
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> Hi Leute.
>
> Ich frage mich, wie ich die Integralsätze von Gauß und
> Green zusammenbekomme.
> Ich habe hier den Greenschen Satz folgendermaßen stehen:
> [mm]\integral_{\partial M}^{}{P\ dx+Q\ dy}=\integral_{M}{(Q_x-P_y)\ d(x,y)}[/mm]
Hallo kappen,
ich habe jetzt gemerkt, was mit der Aufgabe wohl beab-
sichtigt war. Die beiden Sätze hängen schon miteinander
zusammen.
Betrachten wir ein Vektorfeld
[mm] $\vec{v}(x,y)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{v_1(x,y)\\ v_2(x,y)}$
[/mm]
Wir setzen nun [mm] P(x,y):=-v_2(x,y) [/mm] und [mm] Q(x,y):=v_1(x,y)
[/mm]
Damit wird
[mm] $\vec{v}(x,y)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{Q(x,y)\\ -P(x,y)}$
[/mm]
Auf dieses Vektorfeld und ein kompaktes ebenes Gebiet
M mit Randkurve [mm] \partial{M} [/mm] wenden wir nun den Satz
von Gauß (Divergenzsatz) an. Man sieht jetzt, dass
$\ div\ [mm] \vec{v}(x,y)\ [/mm] =\ [mm] Q_x(x,y)-P_y(x,y)$
[/mm]
wird. Damit ist klar, wie aus dem Flächenintegral der
Divergenz das Flächenintegral bei Green entsteht.
Nun kommt noch die Sache mit dem Tangential-
und dem Normalenvektor. Betrachten wir zu diesem
Zweck in einem Punkt P der Randkurve [mm] \partial{M} [/mm] einen
Tangentialvektor [mm] $\vec{t}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{t_1\\t_2}$ [/mm] ,
welcher in die Umlaufrichtung der Randkurve zeigen
soll. Daraus wird ein (nach außen, also von M weg zeigender)
Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] , wenn man die Komponenten vertauscht
und dann bei der zweiten das Vorzeichen wechselt: [mm] $\vec{n}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{t_2\\-t_1}$
[/mm]
Dabei sollen [mm] \vec{t} [/mm] und [mm] \vec{n} [/mm] Einheitsvektoren sein.
Das Integral für den Fluss durch die Randkurve beim
Satz von Gauß ist nun
[mm] $\oint_{\partial M}\vec{v}*\vec{n}\ [/mm] ds\ =\ [mm] \oint_{\partial M}\vektor{Q\\-P}*\vektor{t_2\\-t_1}\ [/mm] ds$
Beim Durchlaufen der Randkurve gilt für die Differentiale
natürlich $\ dx\ =\ [mm] t_1*ds$ [/mm] und $\ dy\ =\ [mm] t_2*ds$ [/mm] , also haben wir:
[mm] $\oint_{\partial M}\vec{v}*\vec{n}\ [/mm] ds\ =\ [mm] \oint_{\partial M}(\,Q*dy\ [/mm] +\ [mm] P*dx\,)$
[/mm]
Dies entspricht dem Integral auf der linken Seite im
Greenschen Satz (siehe oben).
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kappen |
Danke dir ganz herzlich für die Ausführung, ich werde das nachvollziehen. Wird immer klarer mit den Sätzen, hab' allerdings noch ne Frage, erstelle dafür aber lieber n neuen Thread.
PS, die Aufgabe war keine gestellte, ich hab das einfach mal so hingeschrieben um zu Zusammenhänge zu verstehen.
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