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Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hab gerade so meine Probleme die Begriffe Maximum und Supremum und auch Minimum und Infimum auseinander zu halten.
Ich weis das das Supremum nicht unbedingt in der Menge liegen muss, das man jedoch immer das größte Supremum welches in der Menge liegt angeben soll.
Nun hab ich bisher jedoch keine Menge gefunden in der Maximum und Supremum unterschiedlich Werte annehmen können.
Wäre nett wenn ihr ein Beispiel hättet.
Auch ist mir nicht ganz klar woran ich an der Funktion sehen kann ob es ein Maximum gibt oder nicht. Ein Supremum gibt es ja immer.
Zurzeit versuche ich das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von folgender Menge zu finden:
[mm]M = \{ \bruch{3}{n} - \bruch{(-1)^n}{3^n} | n \in \IN\}[/mm]
(N ohne die null)
Ich hab mir als erstes die Funktion angeschaut und festgestellt: Je größer die Werte sind, die ich einsetze, desso kleiner wird mein Ergebnis.
Also hab ich gesagt das Supremum ist die 1 und das Infimum läuft gegen unendlich.
Ein Maximum und Minimum gibt es nicht.
Nun sollte ich das auch noch beweisen:
Supremum:
Würde ich durch vollständige Induktion versuchen. Der Nachfolger wird immer kleiner sein, als wie sein Vorgänger.
Somit hab ich mir gedacht das 1 > 1+n meine Induktionsvorrausetzung ist.
Allerdings müsste die Induktionsvorraussetzung nicht die Menge sein?
Infimum:
Hier hätte ich das ganze "andersrum" gemacht.
Der Vorgänger ist immer größer, als wie sein Nachfolger.
Somit ist: n < n-1
Hier stellt sich wieder die gleiche Frage was ich Induktionsvorraussetzung sehe und wie ich den Anfang vom Induktionsschluss mache.
Beim Minimum und Maximum muss ich beweisen das sie nicht existieren.
Ich hab mir gedacht hier für nehme ich an das sie existiere und versuche dann zu zeigen das es keine gibt, aber wirklich weiter bin ich da noch nicht gekommmen.
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du schreibst:
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> ich hab gerade so meine Probleme die Begriffe Maximum und
> Supremum und auch Minimum und Infimum auseinander zu
> halten.
> Ich weis das das Supremum nicht unbedingt in der Menge
> liegen muss, das man jedoch immer das größte Supremum
> welches in der Menge liegt angeben soll.
> Nun hab ich bisher jedoch keine Menge gefunden in der
> Maximum und Supremum unterschiedlich Werte annehmen
> können.
Das Intervall (0,1) hat das sup 1, aber kein Maximum. Wenn du allerdings eine Menge M suchst, so dass max M und sup M exestiert, abe verschiede sind, so wirst du auch keine finden.
Denn: Exestiert ein Maximum, so ist es auch das Supremum.
> Wäre nett wenn ihr ein Beispiel hättet.
> Auch ist mir nicht ganz klar woran ich an der Funktion
> sehen kann ob es ein Maximum gibt oder nicht. Ein Supremum
> gibt es ja immer.
Das ist falsch. Genau die nach oben beschränkten Funktionen haben ein sup.
Nimm doch einfach f(x)=x auf [mm] \IR. [/mm] Die hat doch kein sup.
Um zu bestimmen, ob eine Funktion nach oben beschränkt ist (und damit ein sup besitzt) musst du sie abschätzen. Ist sie nach oben beschränkt, so gibt es auch ein sup (denn nach oben beschränkte Mengen besitzen ein sup). Die Berechnung des sup ist allerdingsschwieriger, dafür brauchst du Differentialrechnung die ihr wahrscheinlich noch nicht hattet, ansonsten "sieht" man in Übungsaufgaben immer was das sup ist. Die Funktion besitzt genau dann ein Maximum, wenn es ein sup besitz und es im Bild der Funktion liegt.
Alles gilt sinngemäß auch für inf und Minimum.
Ein wichtiger Satz ist noch, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen immer Max. und Min. und damit inf und sup besitzen.
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>
> Zurzeit versuche ich das Supremum, Infimum, Maximum und
> Minimum von folgender Menge zu finden:
> [mm]M = \{ \bruch{3}{n} - \bruch{(-1)^n}{3^n} | n \in \IN\}[/mm]
>
> (N ohne die null)
> Ich hab mir als erstes die Funktion angeschaut und
> festgestellt: Je größer die Werte sind, die ich einsetze,
> desso kleiner wird mein Ergebnis.
> Also hab ich gesagt das Supremum ist die 1 und das Infimum
> läuft gegen unendlich.
> Ein Maximum und Minimum gibt es nicht.
> Nun sollte ich das auch noch beweisen:
> Supremum:
> Würde ich durch vollständige Induktion versuchen. Der
> Nachfolger wird immer kleiner sein, als wie sein
> Vorgänger.
> Somit hab ich mir gedacht das 1 > 1+n meine
> Induktionsvorrausetzung ist.
> Allerdings müsste die Induktionsvorraussetzung nicht die
> Menge sein?
>
> Infimum:
> Hier hätte ich das ganze "andersrum" gemacht.
> Der Vorgänger ist immer größer, als wie sein Nachfolger.
> Somit ist: n < n-1
> Hier stellt sich wieder die gleiche Frage was ich
> Induktionsvorraussetzung sehe und wie ich den Anfang vom
> Induktionsschluss mache.
>
> Beim Minimum und Maximum muss ich beweisen das sie nicht
> existieren
> existiere und versuche dann zu zeigen das es keine gibt,
> aber wirklich weiter bin ich da noch nicht gekommmen.
Bei solchen Aufgabengibt es ein Standardverfahren: Zuerst schaust du dir die Menge an. Was sind obere und untere Schranken. Damit kannst du dann vermuten (falls die Menge überhaupt beschränkt ist) was inf und sup sein könnte. Dann schaust du, ob du eine Folge i der Menge findest, die gegen deine vermuteten Werte konvergieren. Anschließen prüfen, ob es max. und min. sind, daher ob sie in der Menge liegen.
>
> Grüße,
> Mareike
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hi,
erstmal danke für deine schnelle Antwort.
Jetzt tun sich allerdings ein paar neue Fragen auf spreziell zur meiner Menge.
Meine Menge ist nach oben nicht beschränkt, da sie ins unendliche läuft also hat sie kein sup. Richtig?
Gibt es kein sup, gibt es auch kein max, aber was ist mit n=1 oder darf ich das gar nicht betrachten weil es nicht um die Ergebnisse geht sondern um die Zahlen die ich einsetzen darf, bzw. in der Menge enthalten sind.
Die unterste Schranke wäre dann die 1. Aber wenn jedes Min ein Inf ist und ich sag mein min läuft gegen unendlich, geht das ja nicht mehr. Ich kann ja schlecht die unterste Schranke immer mitziehen?
Und ist das nicht eine stetig fallende Funktion und müsste sie damit nicht auch min und max haben. Und ist das nicht der Fall, weil sie gegen null konvergiert?
Zu dem Standardverfahren, wir hatten noch keine Folgen, und ich weiss nicht ob das im Sinne der Aufgabe ist dann einfach welche zu benutzen uns wurde der Tipp mit der Induktion gegeben, wobei ich nicht genau weiss wie ich anfangen soll (Problem hab ich versucht oben zu schlidern).
Ich weiss auch nicht ob ich mit meinem Schulwissen selber 'ne Folge finden werde, ich werde wahrscheinlich nur wissen wohin sie konvergiert.
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn ihr keine Fölgen hattet, dann darfst du auch keine benutzen.
Ich glaub, du bringst da was durcheinander. Deine Menge ist so gemeint. Du nimmst ein natüriches n und setzt es in die Formel ein. Das Ergebnis ist dann ein Element der Menge. Wenn du nun nacheinander alle natürlichen Zahlen in dieFormel einsetzt, erhälst du alle Elemente der Menge.
Ist deine Menge wirklich unbeschränkt? Versuch mal eine Abschätzung.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hi,
dankeschön für deine Gedult, das hab ich die ganze Zeit durcheinander gewürfelt.
Wenn ich für n=1 einsetze bekomm ich die höchste Zahl raus und zwar [mm]3\bruch{1}{3}[/mm] Wenn ich eine hohe Zahl einsetze und diese größer werden lasse konvergiert sie gegen null. Ich glaube nicht das sie irgendwann mal null wird.
Ist dann 3,333 das sup?
Grüße,
Mareike
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> Hi,
> dankeschön für deine Gedult, das hab ich die ganze Zeit
> durcheinander gewürfelt.
>
> Wenn ich für n=1 einsetze bekomm ich die höchste Zahl raus
> und zwar [mm]3\bruch{1}{3}[/mm] Wenn ich eine hohe Zahl einsetze und
> diese größer werden lasse konvergiert sie gegen null. Ich
> glaube nicht das sie irgendwann mal null wird.
> Ist dann 3,333 das sup?
Hallo,
ja, das sieht mir ganz danach aus - es will aber bewiesen werden.Zunächst ist das bloß eine Behauptung.
Gruß v. Angela
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Hi,
danke dir.
Ich hab das dann mal versucht
für das sup.
Da ich keine folgen benutzen darf, hab ich das wieder mit der Induktion versucht.
alle [mm]n\in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 2[/mm] sind kleiner wie n=1.
[mm]3\bruch{1}{3} > \bruch{3}{n} - \bruch{(-1)^n}{3^n} \ , n\in \IN : n \ge 2[/mm]
Induktionsanfang: [mm]3 \bruch{1}{3} > \bruch{25}{18}[/mm]
Induktionsschluss:
[mm]\bruch{3}{(n+1)}- \bruch{(-1)^{(n+1)}}{3^{(n+1)}} < ... < 3 \bruch{1}{3}[/mm]
mhh...hier weiss ich nicht wie ich von rechts nach links kommen soll. Dadurch das ich das ja für n angenommen hab und jetzt daraus schließe das es auch für n+1 gelte wollte ich das n+1 dadurch ersetzen oder irgendwie wegbekommen, weil dann würde dort ja 3+1/3 stehen, oder kann mir jemand sagen wie ich das auf einen Bruch bekomme, vielleicht hab ich beim erweitern ja ienen fehler gemacht.
Grüße,
MAreike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 12.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. für n=1 ist [mm] a_n=4/3 [/mm] also ist es sup und max. Jetzt zeigst du einfach, dass es für alle n>1 kleiner 4/3 ist. dabei benutzt du dass [mm] 3/n\le [/mm] 3/2 für alle n>1 und [mm] 1/3^n\le1/9 [/mm] ist. und die Summe größer als die Differenz dann hast du das schnell. ohne Induktion.
für große n musst du einfach ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] angeben, so dass [mm] 0
Gruss leduart
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Erstmal danke für deine Antwort.
Aber ein paar fregen hab ich noch, Auch auf die Gefahr hin, das ich jetzt nerve.
Ist die Summe nicht immer größer wie die Differenz? Warum zählt das dann als Beweis.
Und mit einfachem ausrechnene wirst du ja nicht meinen:
Summe:
[mm]\bruch{4}{3^n +n} \le \bruch{4}{11}[/mm]
und Differenz:
[mm]\bruch{2}{n-3^n} \le \bruch{2}{-7}[/mm]
Grüße,
MAreike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 13.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Mareike
Ich hatte das so gemeint:
[mm] 10/3>3/2+1/3^2 \ge 3/n+1/3^n \ge 3/n-(-1)^n/3^n [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2
hierbei wurde nur verwendet, dass ein Bruch kleiner wird, wenn man den Nenner vergrößert, und die Summe größer ist als die Differenz.
Gruss leduart
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