Unterschiedl. Urnen+Simulation < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In der ersten Urne ist eine 1 Kugel
In der zweiten Urne sind 2 Kugeln
In der dritten Urne sind 3 Kugeln etc.
...
In der n-ten Urne sind n Kugeln
In jeder Urne ist genau eine ROTE Kugel (die restlichen Kugeln sind weiß)
Nun wird aus jeder Urne eine Kugel gezogen.
Frage a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Urnen genau 2 ROTE zu ziehen?
Frage b)
Wie viele ROTE Kugeln zieht man bei 100 Urnen mit der höchsten Wahrscheinlichkeit? |
Zu a) habe ich das mal am Beispiel von fünf Urnen ausprobiert.
Aus der ersten Urne zieht man auf jeden Fall die ROTE.
Bei der zweiten Urne ist die Wahrscheinlichkeit auf ROT 1:2, bei der dritten 1:3, bei der Vierten 1:4 und bei der Fünften 1:5
RRWWW - [mm] \bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{4}{5}
[/mm]
RWRWW - [mm] \bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{4}{5}
[/mm]
RWWRW - [mm] \bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{1}{4}*\bruch{4}{5}
[/mm]
RWWWR - [mm] \bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{1}{5}
[/mm]
Das muss man jetzt noch zusammenaddieren.
Auffällig ist, dass der Nenner überall gleich ist, und im Zähler bei jeder Zeile eine der Zahlen 1 bis 4 durch eine 1 eretzt wird.
Daraus ergibt sich dann als Wahrscheinlichkeit für genau 2 ROTE: p(2)= [mm] \bruch{1}{5!}\summe_{i=1}^{4}\bruch{4!}{i}
[/mm]
Von dieser speziellen Formel schließe ich jetzt auf das allgemeine Prinzip bei n Urnen und auf die Formel
p(2)= [mm] \bruch{1}{n!}\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{(n-1)!}{i}
[/mm]
Ist das richtig?
Zu Frage b)
Lässt sich das denn überhaupt ausrechnen?
Dazu müsste man erst einmal eine Formel für p(2), p(3) etc. entwickeln. Das allein dürfte schon kompliziert werden.
Doch damit nicht genug: Nun müsste man ja auch noch für n=100 ermitteln, für welches p(x) es den höchsten Wert gibt.
Eventuell würde da eine Computersimulation schneller zum Ziel führen(?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Fr 09.05.2014 | | Autor: | luis52 |
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> Frage a)
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Urnen genau 2
> ROTE zu ziehen?
>
> Frage b)
> Wie viele ROTE Kugeln zieht man bei 100 Urnen mit der
> höchsten Wahrscheinlichkeit?
> Zu a) habe ich das mal am Beispiel von fünf Urnen
> ausprobiert.
>
> Aus der ersten Urne zieht man auf jeden Fall die ROTE.
> Bei der zweiten Urne ist die Wahrscheinlichkeit auf ROT
> 1:2, bei der dritten 1:3, bei der Vierten 1:4 und bei der
> Fünften 1:5
>
> RRWWW -
> [mm]\bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{4}{5}[/mm]
>
> RWRWW -
> [mm]\bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{4}{5}[/mm]
>
> RWWRW -
> [mm]\bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{1}{4}*\bruch{4}{5}[/mm]
>
> RWWWR -
> [mm]\bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{3}{4}*\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Das muss man jetzt noch zusammenaddieren.
>
> Auffällig ist, dass der Nenner überall gleich ist, und im
> Zähler bei jeder Zeile eine der Zahlen 1 bis 4 durch eine
> 1 eretzt wird.
>
> Daraus ergibt sich dann als Wahrscheinlichkeit für genau 2
> ROTE: p(2)= [mm]\bruch{1}{5!}\summe_{i=1}^{4}\bruch{4!}{i}[/mm]
>
> Von dieser speziellen Formel schließe ich jetzt auf das
> allgemeine Prinzip bei n Urnen und auf die Formel
>
> p(2)= [mm]\bruch{1}{n!}\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{(n-1)!}{i}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Moin Ralph, vielleicht verstehe ich die Fragestellung falsch, aber im ersten Zug ziehst du ja jedenfalls die rote Kugel. Deswegen laeuft die Frage darauf hinaus, in den restlichen $n-1$ Zuegen genau eine rote Kugel zu ziehen. Die Berechnung ueber das Gegenereignis duerfte dann nicht so schwer sein und es kann sein, dass dann die von dir angegebene Formel resultiert, was ich jedoch nicht ueberprueft habe.
>
>
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> Zu Frage b)
> Lässt sich das denn überhaupt ausrechnen?
> Dazu müsste man erst einmal eine Formel für p(2), p(3)
> etc. entwickeln. Das allein dürfte schon kompliziert
> werden.
> Doch damit nicht genug: Nun müsste man ja auch noch für
> n=100 ermitteln, für welches p(x) es den höchsten Wert
> gibt.
>
> Eventuell würde da eine Computersimulation schneller zum
> Ziel führen(?)
Das meine ich nicht. Es handelt sich hier ja um eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung mit $n$ unabhaegigen Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeiten [mm] $p_i=1/i$. [/mm] Die Verteilung kann man mit dem Faltungssatz (am Computer) berechnen. Eine Formel fuer den Modalwert habe ich leider nicht parat.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 09.05.2014 | | Autor: | luis52 |
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> Moin Ralph, vielleicht verstehe ich die Fragestellung
> falsch, aber im ersten Zug ziehst du ja jedenfalls die rote
> Kugel. Deswegen laeuft die Frage darauf hinaus, in den
> restlichen [mm]n-1[/mm] Zuegen genau eine rote Kugel zu ziehen. Die
> Berechnung ueber das Gegenereignis duerfte dann nicht so
> schwer sein und es kann sein, dass dann die von dir
> angegebene Formel resultiert, was ich jedoch nicht
> ueberprueft habe.
Ich hab's mir noch einmal, die Ergebnisse duerften uebereinstimmen.
>
> Das meine ich nicht. Es handelt sich hier ja um eine
> Verallgemeinerung der Binomialverteilung mit [mm]n[/mm] unabhaegigen
> Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeiten [mm]p_i=1/i[/mm]. Die
> Verteilung kann man mit dem Faltungssatz (am Computer)
> berechnen. Eine Formel fuer den Modalwert habe ich leider
> nicht parat.
>
Ich habe das jetzt mal berechnet, der Modalwert ist 5. Hier die ersten 10 Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
| 1: | 1 0.01000000
| | 2: | 2 0.05177378
| | 3: | 3 0.12585177
| | 4: | 4 0.19298603
| | 5: | 5 0.21120442
| | 6: | 6 0.17671664
| | 7: | 7 0.11815075
| | 8: | 8 0.06510096
| | 9: | 9 0.03024451
| | 10: | 10 0.01205741
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Fr 09.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> | 1: | 1 0.01000000
| | 2: | > 2 0.05177378
| | 3: | > 3 0.12585177
| | 4: | > 4 0.19298603
| | 5: | > 5 0.21120442
| | 6: | > 6 0.17671664
| | 7: | > 7 0.11815075
| | 8: | > 8 0.06510096
| | 9: | > 9 0.03024451
| | 10: | > 10 0.01205741
| | 11: | > |
Also wäre das Endergebnis der Frage b) , dass man höchstwahrschienlich 5 ROTE hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 21%.
Für alle anderen Ergebnisse ist die Wahrscheinlichkeit kleiner.
Danke
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