Untersuchung abs. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k+4}{k^{2} - 3k +1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3k^{5} - 6k^{2}}{3^{k}} [/mm] |
Hallo,
Ich soll die Reihen auf Konvergenz untersuchen.
Klingt jetzt vllt blöd, wenn ich so frage, aber kann mir jemand beim Ansatz helfen. Bei der b hab ich das Wurzelkriterium angewendet und -1 raus. Würde das in dem Fall ausreichen? Weil -1 < 1 ist, ist die Reihe konvergent, also bei b die.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k+4}{k^{2} - 3k +1}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3k^{5} - 6k^{2}}{3^{k}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich soll die Reihen auf Konvergenz untersuchen.
>
> Klingt jetzt vllt blöd, wenn ich so frage, aber kann mir
> jemand beim Ansatz helfen.
Zu a ) Versuch mal zu zeigen: [mm] \bruch{k+4}{k^{2} - 3k +1} \le \bruch{2}{k - 3} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 4
Edit: da hab ich großen Mist verzapft !!
Versuch zu zeigen:
[mm] \bruch{k+4}{k^{2} - 3k +1} \ge \bruch{1}{k} [/mm]
> Bei der b hab ich das
> Wurzelkriterium angewendet und -1 raus.
Das kann nicht sein ! Zeig mal Deine Rechnungen
FRED
> Würde das in dem
> Fall ausreichen? Weil -1 < 1 ist, ist die Reihe konvergent,
> also bei b die.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, ich versuchs mal an der a zu zeigen, wie von dir vorgeschlagen, also:
Kann ich den Term denn einfach so durch k teilen? Dann fällt ja was weg? Wenn das ginge, hab ich ne Vermutung wies gehen könnte aber stimmt der grundlegende Ansatz? Also, ich würde druch k teilen, dann geht ja etwas gegen 0 und das lasse ich dann weg. Klingt irgendwie zu leicht.
Wegen der b:
Ich habs so gemacht (immer gegen unendlich)
lim [mm] \wurzel[k]{\bruch{3k^{5} - 6k^{2}}{3^{k}}}
[/mm]
= lim [mm] \wurzel{\bruch{3k^{-5} - 6k^{-2}}{3^{-k}}} [/mm] Darf ich diesen Schritt so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich versuchs mal an der a zu zeigen, wie von dir
> vorgeschlagen, also:
>
> Kann ich den Term denn einfach so durch k teilen? Dann
> fällt ja was weg? Wenn das ginge, hab ich ne Vermutung
> wies gehen könnte aber stimmt der grundlegende Ansatz?
> Also, ich würde druch k teilen, dann geht ja etwas gegen 0
> und das lasse ich dann weg. Klingt irgendwie zu leicht.
Versuchs mal mit Äquivalenzumformungen
>
> Wegen der b:
>
> Ich habs so gemacht (immer gegen unendlich)
>
> lim [mm]\wurzel[k]{\bruch{3k^{5} - 6k^{2}}{3^{k}}}[/mm]
>
> = lim [mm]\wurzel{\bruch{3k^{-5} - 6k^{-2}}{3^{-k}}}[/mm]
Ei dei dei da daus !! Erfindest Du jetzt Rechenregeln ? Obiges ist großer Quark
FRED
Darf ich
> diesen Schritt so machen?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, sry, aber wie kann man die b dann angehn?
Und was für Äqui.Umf. meinst du bei der a? Mir fällt da nichts ein. naja, ich könnte das k ausklammern, aber helfen tut mir das nicht xD Danke sehr.
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Hallo,
> Ok, sry, aber wie kann man die b dann angehn?
Vergleichskriterium würde ich probieren.
Finde eine konvergente Majorante
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> Und was für Äqui.Umf. meinst du bei der a? Mir fällt da
> nichts ein. naja, ich könnte das k ausklammern, aber
> helfen tut mir das nicht xD Danke sehr.
Bei der Reihe in a) summierst du unendlich oft eine Konstante auf, das geht also gegen [mm]\infty[/mm]
Es sei denn, es ist doch eher der Laufindex k (und nicht i) gemeint.
Dann ist die Reihe aber von der Größenordnung [mm]\frac{1}{k}[/mm]
Die Abschätzung in die Richtung [mm]\le[/mm], die Fred vorgeschlagen hat, bringt nicht viel (ich sehe das zumindest nicht - was aber nix heißen will)
Ich würde gegen eine divergente Minorante abschätzen (also nach unten), und zwar gegen eine Variante der harmonischen Reihe.
Einfach aufgrund der "Größenordnung" der Reihe
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Ok, sry, aber wie kann man die b dann angehn?
>
> Vergleichskriterium würde ich probieren.
>
> Finde eine konvergente Majorante
>
> >
> > Und was für Äqui.Umf. meinst du bei der a? Mir fällt da
> > nichts ein. naja, ich könnte das k ausklammern, aber
> > helfen tut mir das nicht xD Danke sehr.
>
> Bei der Reihe in a) summierst du unendlich oft eine
> Konstante auf, das geht also gegen [mm]\infty[/mm]
>
> Es sei denn, es ist doch eher der Laufindex k (und nicht i)
> gemeint.
>
>
> Dann ist die Reihe aber von der Größenordnung
> [mm]\frac{1}{k}[/mm]
>
> Die Abschätzung in die Richtung [mm]\le[/mm], die Fred
> vorgeschlagen hat, bringt nicht viel (ich sehe das
> zumindest nicht
Hallo schachuzipus
ich seh es auch nicht, und hab den Quark den ich oben geschrieben habe verbessert.
Gruß FRED
> - was aber nix heißen will)
>
> Ich würde gegen eine divergente Minorante abschätzen
> (also nach unten), und zwar gegen eine Variante der
> harmonischen Reihe.
>
> Einfach aufgrund der "Größenordnung" der Reihe
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, divergiert die Reihe in a?
Ich versuchs mal:
Also [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+4}{k^{2}-3k +1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k-3} [/mm] //durch k geteilt
= [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{(k-1)-3} [/mm]
= [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{(k-4} [/mm]
Geht das bisher?
Aber was ihr in der b meint, versteh ich irgendwie nicht, bitte um Hilfe ;)
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Hallo nochmal,
> Also, divergiert die Reihe in a?
>
> Ich versuchs mal:
>
> Also [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+4}{k^{2}-3k +1}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k-3}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wieso sollte das gleich dem oberen sein?
//durch k geteilt
????????
Was, wann, wo und wie?
>
> = [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{(k-1)-3}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{(k-4}[/mm]
>
> Geht das bisher?
Nein, das geht gar nicht!
Ich habe keinen blassen Schimmer, wie du diese Gleichheitskette aufgezogen hast? (direkt der erste Schritt ist doch oberfaul)
Die Indexverschiebung (nur für sich genommen) am Ende ist ja ok, aber was soll die bringen?
>
> Aber was ihr in der b meint, versteh ich irgendwie nicht,
> bitte um Hilfe ;)
Du kannst das Wurzelkriterium nehmen oder das Vergleichskriterium und gegen eine konvergente Majorante abschätzen (eine geometrishe Reihe böte sich an)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich versteh die a irgendwie nicht. Mein Ansatz war merkwürdig, aber es war der einzige, den ich hatte xD Kann man mir da nochmal helfen?
Wegen der b. Da steht doch dann:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{3k^{5} - 6k^{2}}{3^{k}}}
[/mm]
Macht es Sinn, jetzt die Wurzel aus dem Nenner zu ziehen und [mm] k^{2} [/mm] in dem noch unter der Wurzel stehenden Ausdruck im Zähler auszuklammen?
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Hallo nochmal,
> Ich versteh die a irgendwie nicht. Mein Ansatz war
> merkwürdig, aber es war der einzige, den ich hatte xD Kann
> man mir da nochmal helfen?
Du musst nach unten abschätzen.
[mm]\frac{k+4}{k^2-3k+1}[/mm] gilt es nach unten abzuschätzen:
Dazu kannst du den Zähler verkleinern und den Nenner vergrößern.
Bedenke, dass [mm]-3k+1<0[/mm] ist für alle k
>
> Wegen der b. Da steht doch dann:
>
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{3k^{5} - 6k^{2}}{3^{k}}}[/mm]
>
> Macht es Sinn, jetzt die Wurzel aus dem Nenner zu ziehen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und [mm]k^{2}[/mm] in dem noch unter der Wurzel stehenden Ausdruck
> im Zähler auszuklammen?
Zu berechnen ist ja [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{3k^5-6k^2}{3^k}\right|}[/mm]
[mm]=\frac{1}{3}\cdot{}\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left<3k^5-6k^2\right|}[/mm]
Wogegen strebt denn [mm]\sqrt[k]{k^{\alpha}}[/mm] für festes [mm]\alpha\in\IN[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Gegen was kann man das denn abschätzen? Ich seh das einfach nicht :(
Und wegen der b: In deinem Beispiel käme doch dann nur k raus. Bei der Aufgabe denn 6k aus der Wurzel, oder?
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Hallo nochmal,
du machst zuviel glz. und verlierst total den Überblick und den Kopf
Mache besser mal ne Stunde Pause, frische Luft schnappen...
Dann hast du auch die Muße, mehr als 4 min. nachzudenken vor einer Anschlussfrage, die du eigentlich selber beantworten kannst.
> Gegen was kann man das denn abschätzen? Ich seh das
> einfach nicht :(
Ich hab's doch schon gesagt, gegen (eine Variante der) die harmonische Reihe als divergenter Minorante.
Es ist [mm]k+4>k[/mm], also [mm]\frac{k+4}{k^2-3k+1} \ > \ \frac{k}{k^2-3k+1}[/mm]
Nun hatte ich den Tipp gegeben, dass [mm]-3k+1[/mm] stets <0 ist und du weiter nach unten abschätzen (also verkleinern) kannst, wenn du den Nenner vergrößerst.
Wie kannst du ihn nun sehr sehr naheliegend vergrößern, um einen noch kleineren Bruch zu bekommen?
>
> Und wegen der b: In deinem Beispiel käme doch dann nur k
> raus.
Nein, das konvergiert für festen Exponenten gegen 1!!
Als GW ergibt sich [mm]\frac{1}{3}[/mm]
Und das ist <1, als gilt nach dem Wurzelkriterium was?
> Bei der Aufgabe denn 6k aus der Wurzel, oder?
Nein, 1!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:28 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab sogar deinen Rat befolgt, bin mal weg gewesen xD
Also bei der a. Mann könnte das 3k -1 weglassen. Da das immer <0 ist wie du sagst, muss [mm] \bruch{k}{k^{2}} [/mm] größer sein, also nur der Nenner. Gekürzt kommt [mm] \bruch{1}{k} [/mm] raus und das ist bekanntlich divergent und folglich die gesuchte Minorante.
Bei der b. Da das < 1 ist, konvergiert ist und hat den Grenzwert 1/3.
Stimmt das? Wenn ja, gehe ich häufiger raus xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 11.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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