Untersuchung auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 21.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge [mm] \{\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}\} [/mm] mit [mm] a_\nu,b_\nu\in\IQ;a_K\not=0,b_L\not=0 [/mm] ? |
Hallo, ich glaube ich habe die Aufgabe richtig gelöst, allerdings sehr unelegant und aufwendig, und würde Euch gerne nocheinmal als Schönheitschirurgen einsetzen:
Ich unterscheide zunächst drei Fälle: $K<L, K=L$ und $K>L$.
Für $K<L$ ergibt sich Folgendes:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu*(n^L)^{-1}}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu*(n^L)^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}a_\nu(n^{L-\nu})^{-1}}{\summe_{\nu=0}^{L-1}b_\nu(n^{L-\nu})^{-1}+{b_L}(\frac{n^L}{n^L})}=\frac{0}{0+b_L}=0$.
[/mm]
Für $K=L$ ergibt sich:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}{a_\nu}n^\nu+{a_K}n^K}{\summe_{\nu=0}^{K-1}{b_\nu}n^\nu+{b_k}n^K}*\frac{(n^k)^{-1}}{(n^k)^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu(n^{K-\nu})^{-1}+a_K}{\summe_{\nu=0}^{K-1}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1}+b_K}=\frac{a_k}{b_K}$
[/mm]
Für $K>L$ überlege ich zunächst Folgendes: [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1}$ [/mm] und außerdem: Die Folge [mm] $\{n\}$ [/mm] divergiert. Dann erhalte ich:
Es existert nicht [mm] $a_K*\lim_{n\to\infty}n=\frac{0+a_K}{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu*0+a_K}{\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{k-\nu})^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu(n^{K-\nu})^{-1}+ak(\frac{n^K}{n^K})}{\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu(\frac{n^\nu}{n^K})+a_K(\frac{n^K}{n^K})}{\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(\frac{n^\nu}{n^K})}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu(n^K)^{-1}}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu(n^K)^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}$
[/mm]
Besonders dieser letzte Teil scheint mir doch sehr übeholungsbedürftig zu sein (ich bin mir nicht einmal ganz sicher, ob man das so machen kann). Über ein "Alles richtig" würde ich mich natürlich sehr freuen, aber auch über alle Verbesserungsvorschläge.
Viele Grüße
P.S.: Ich glaube, ich habe hieran länger getippt, als ich für meine Überlegungen gebraucht habe... Da ist es gut möglich, dass sich einige Tippfehler eingeschlichen haben, die mir jetzt entgehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:23 Mi 22.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge
> [mm]\{\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}\}[/mm]
> mit [mm]a_\nu,b_\nu\in\IQ;a_K\not=0,b_L\not=0[/mm] ?
> Hallo, ich glaube ich habe die Aufgabe richtig gelöst,
> allerdings sehr unelegant und aufwendig, und würde Euch
> gerne nocheinmal als Schönheitschirurgen einsetzen:
>
> Ich unterscheide zunächst drei Fälle: [mm]KL[/mm].
>
> Für [mm]K
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu*(n^L)^{-1}}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu*(n^L)^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}a_\nu(n^{L-\nu})^{-1}}{\summe_{\nu=0}^{L-1}b_\nu(n^{L-\nu})^{-1}+{b_L}(\frac{n^L}{n^L})}=\frac{0}{0+b_L}=0[/mm].
>
> Für [mm]K=L[/mm] ergibt sich:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}{a_\nu}n^\nu+{a_K}n^K}{\summe_{\nu=0}^{K-1}{b_\nu}n^\nu+{b_k}n^K}*\frac{(n^k)^{-1}}{(n^k)^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu(n^{K-\nu})^{-1}+a_K}{\summe_{\nu=0}^{K-1}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1}+b_K}=\frac{a_k}{b_K}[/mm]
>
> Für [mm]K>L[/mm] überlege ich zunächst Folgendes:
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1}[/mm]
> und außerdem: Die Folge [mm]\{n\}[/mm] divergiert. Dann erhalte
> ich:
> Es existert nicht
> [mm]a_K*\lim_{n\to\infty}n=\frac{0+a_K}{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu*0+a_K}{\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{k-\nu})^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu(n^{K-\nu})^{-1}+ak(\frac{n^K}{n^K})}{\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K-1}a_\nu(\frac{n^\nu}{n^K})+a_K(\frac{n^K}{n^K})}{\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(\frac{n^\nu}{n^K})}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu(n^K)^{-1}}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu(n^K)^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\summe_{\nu=0}^{K}{a_\nu}n^\nu}{\summe_{\nu=0}^{L}{b_\nu}n^\nu}[/mm]
>
> Besonders dieser letzte Teil scheint mir doch sehr
> übeholungsbedürftig zu sein (ich bin mir nicht einmal
> ganz sicher, ob man das so machen kann). Über ein "Alles
> richtig" würde ich mich natürlich sehr freuen, aber auch
> über alle Verbesserungsvorschläge.
>
> Viele Grüße
>
> P.S.: Ich glaube, ich habe hieran länger getippt, als ich
> für meine Überlegungen gebraucht habe... Da ist es gut
> möglich, dass sich einige Tippfehler eingeschlichen haben,
> die mir jetzt entgehen.
Ja, da sind einige Tippfehler, die Du selbst finden kannst. Grundsätzlich hast Du alles richtig gemacht. Den 3. Fall kannst Du auf den 1. Fall zurückführen, indem Du zum Kehrwert übergehst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo, diese Diskussion http://www.matheforum.net/read?i=909068 hat mich noch einmal überlegen lassen, ob mein Beweis für Fall 3 tatsächlich korrekt ist, weil ich ja mit nicht definierten Termen hantiere. Oder geht das hier, weil davor steht, dass alle diese Terme nicht existieren?
Gruß Aiom96
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, diese Diskussion
> http://www.matheforum.net/read?i=909068 hat mich noch
> einmal überlegen lassen, ob mein Beweis für Fall 3
> tatsächlich korrekt ist, weil ich ja mit nicht definierten
> Termen hantiere. Oder geht das hier, weil davor steht, dass
> alle diese Terme nicht existieren?
ich habe mir Deine Überlegungen nun nicht exakt angeguckt - das sei
dazugesagt. Außerdem fehlt bei Deinen Überlegungen TEXT.
1. Fall: Es sei $K < [mm] L\,.$ [/mm] Dann kannst Du doch mal dazuschreiben:
"Die betrachtete Folge ist in diesem Fall eine konvergente Folge, da sie
dann sogar eine Nullfolge ist".
2. Fall: Es sei [mm] $K=L\,.$ [/mm] "Dann konvergiert die Folge mit Grenzwert [mm] $a_K/b_K\,,$ [/mm] denn..."
3. Fall: Es sei $K > [mm] L\,.$ [/mm] Und hier weiß ich nicht, warum Du nicht Fred's Vorschlag annimmst. Du kannst in diesem Fall schreiben:
[mm] $$\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v=\frac{1}{\sum\limits_{v}^L b_v n^v/\sum\limits_v^K a_vn^v}$$
[/mm]
Gemäß des 1. Falls ist [mm] $\left(\sum\limits_{v}^L b_v n^v/\sum\limits_v^K a_vn^v\right)_n$ [/mm] eine Nullfolge (ja, hier gibt's "Rollentausch" unter den
Variablen, aber das ist auch alles).
Daher ist hier [mm] $\left(\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v\right)_n$ [/mm] divergent. Und das einzige, was Du
wissen wirst, ist, dass hier dann [mm] $\left(\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v\right)_n$ [/mm] zumindest "betragsmäßig" gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
Aber beachte: nur "betragsmäßig". Die Folge selbst divergiert im allgemeinen
weder bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] noch divergiert sie bestimmt gegen [mm] $-\infty\,.$
[/mm]
P.S.
Bist Du ernsthaft noch jünger als 16 Jahre alt? (Siehe Profilangaben!)
P.P.S.
So beim groben drübergucken:
Was soll im 3en Fall die Gleichung
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{L}b_\nu(n^{K-\nu})^{-1} [/mm] $
eigentlich??
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo,
>
> > Hallo, diese Diskussion
> > http://www.matheforum.net/read?i=909068 hat mich noch
> > einmal überlegen lassen, ob mein Beweis für Fall 3
> > tatsächlich korrekt ist, weil ich ja mit nicht definierten
> > Termen hantiere. Oder geht das hier, weil davor steht, dass
> > alle diese Terme nicht existieren?
>
> ich habe mir Deine Überlegungen nun nicht exakt angeguckt
> - das sei
> dazugesagt. Außerdem fehlt bei Deinen Überlegungen TEXT.
>
> 1. Fall: Es sei [mm]K < L\,.[/mm] Dann kannst Du doch mal
> dazuschreiben:
> "Die betrachtete Folge ist in diesem Fall eine konvergente
> Folge, da sie
> dann sogar eine Nullfolge ist".
>
> 2. Fall: Es sei [mm]K=L\,.[/mm] "Dann konvergiert die Folge mit
> Grenzwert [mm]a_K/b_K\,,[/mm] denn..."
>
> 3. Fall: Es sei [mm]K > L\,.[/mm] Und hier weiß ich nicht, warum Du
> nicht Fred's Vorschlag annimmst.
Das tue ich. Ich wollte nur noch einmal wissen, ob meine eigenen Überlegungen nur wenig zielführend oder zudem auch noch falsch wären, einfach um ähnliche Fehler zu vermeiden.
Du kannst in diesem Fall
> schreiben:
> [mm]\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v=\frac{1}{\sum\limits_{v}^L b_v n^v/\sum\limits_v^K a_vn^v}[/mm]
>
> Gemäß des 1. Falls ist [mm]\left(\sum\limits_{v}^L b_v n^v/\sum\limits_v^K a_vn^v\right)_n[/mm]
> eine Nullfolge (ja, hier gibt's "Rollentausch" unter den
> Variablen, aber das ist auch alles).
> Daher ist hier [mm]\left(\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v\right)_n[/mm]
> divergent. Und das einzige, was Du
> wissen wirst, ist, dass hier dann [mm]\left(\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v\right)_n[/mm]
> zumindest "betragsmäßig" gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
> Aber beachte: nur "betragsmäßig". Die Folge selbst
> divergiert im allgemeinen
> weder bestimmt gegen [mm]\infty[/mm] noch divergiert sie bestimmt
> gegen [mm]-\infty\,.[/mm]
>
> P.S.
> Bist Du ernsthaft noch jünger als 16 Jahre alt? (Siehe
> Profilangaben!)
Zumindest für ein paar Monate noch ;)
> Gruß,
> Marcel
Meine Frage noch einmal auf das Wesentliche zusammengekürzt:
Ist es ein formaler Fehler zu schreiben: Aus der "Nicht-Existenz" von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n [/mm] folgt die "Nicht-Existenz" von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{n}} [/mm] , oder ist es grundsätzlich falsch, überhaupt Dinge aufzuschreiben, die es nicht gibt?
Um solcherlei zu bedenken reicht mein mathematisches Verständnis einfach nicht aus. Nicht einmal intuitiv und im echten Leben würde ich Fragen über Dinge ohne Entität beantworten können oder wollen. Zwar mag es sinnvol scheinen, zu sagen, wenn der Elfmeter gegeben worden wäre, wäre das Spiel unentschieden ausgegangen. Keinen Sinn scheint aber zu machen, zu fragen, wie dieses Fußballspiel ausgegangen wäre, wenn vor 2000 Jahren die Menschheit ausgestorben wäre.
Eine kurze Antwort zu dieser Grundsatzfrage wäre wirklich nett.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 So 26.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo, diese Diskussion
> > > http://www.matheforum.net/read?i=909068 hat mich noch
> > > einmal überlegen lassen, ob mein Beweis für Fall 3
> > > tatsächlich korrekt ist, weil ich ja mit nicht definierten
> > > Termen hantiere. Oder geht das hier, weil davor steht, dass
> > > alle diese Terme nicht existieren?
> >
> > ich habe mir Deine Überlegungen nun nicht exakt angeguckt
> > - das sei
> > dazugesagt. Außerdem fehlt bei Deinen Überlegungen TEXT.
> >
> > 1. Fall: Es sei [mm]K < L\,.[/mm] Dann kannst Du doch mal
> > dazuschreiben:
> > "Die betrachtete Folge ist in diesem Fall eine
> konvergente
> > Folge, da sie
> > dann sogar eine Nullfolge ist".
> >
> > 2. Fall: Es sei [mm]K=L\,.[/mm] "Dann konvergiert die Folge mit
> > Grenzwert [mm]a_K/b_K\,,[/mm] denn..."
> >
> > 3. Fall: Es sei [mm]K > L\,.[/mm] Und hier weiß ich nicht, warum Du
> > nicht Fred's Vorschlag annimmst.
>
> Das tue ich. Ich wollte nur noch einmal wissen, ob meine
> eigenen Überlegungen nur wenig zielführend oder zudem
> auch noch falsch wären, einfach um ähnliche Fehler zu
> vermeiden.
>
> Du kannst in diesem Fall
> > schreiben:
> > [mm]\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v=\frac{1}{\sum\limits_{v}^L b_v n^v/\sum\limits_v^K a_vn^v}[/mm]
>
> >
> > Gemäß des 1. Falls ist [mm]\left(\sum\limits_{v}^L b_v n^v/\sum\limits_v^K a_vn^v\right)_n[/mm]
> > eine Nullfolge (ja, hier gibt's "Rollentausch" unter den
> > Variablen, aber das ist auch alles).
> > Daher ist hier [mm]\left(\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v\right)_n[/mm]
> > divergent. Und das einzige, was Du
> > wissen wirst, ist, dass hier dann [mm]\left(\sum_v^K a_v n^v/\sum_{v}^L b_v n^v\right)_n[/mm]
> > zumindest "betragsmäßig" gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
> > Aber beachte: nur "betragsmäßig". Die Folge selbst
> > divergiert im allgemeinen
> > weder bestimmt gegen [mm]\infty[/mm] noch divergiert sie
> bestimmt
> > gegen [mm]-\infty\,.[/mm]
> >
> > P.S.
> > Bist Du ernsthaft noch jünger als 16 Jahre alt? (Siehe
> > Profilangaben!)
> Zumindest für ein paar Monate noch ;)
okay. Ich wunderte mich nur, weil diese Aufgaben normalerweise nicht
an solch' "junge Leute" gestellt werden. 
Darf man fragen, wie Du dazu kommst, sowas zu bearbeiten? Eigenes
Interesse?
> > Gruß,
> > Marcel
> Meine Frage noch einmal auf das Wesentliche
> zusammengekürzt:
>
> Ist es ein formaler Fehler zu schreiben: Aus der
> "Nicht-Existenz" von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n[/mm] folgt die
> "Nicht-Existenz" von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{n}}[/mm] , oder ist
> es grundsätzlich falsch, überhaupt Dinge aufzuschreiben,
> die es nicht gibt?
Na, streng genommen ist's so: Man kann [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n$ [/mm] per
Definitionem auch in dieser rein symbolischen Schreibweise eigentlich nur
hinschreiben, wenn man eine konvergente Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] hat. Nun hat
es sich aber auch eingebürgert, dass man, anstatt zu sagen, dass
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiert, auch davon redet, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n$ [/mm]
NICHT EXISTIERE. Das macht man halt, es hat gewisse Vorzüge, und es
ist klar, was man damit meint. Wenn man es genau analysiert, kommt man
zu etwas komischen: Die Aussage, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] NICHT existiere, bedeutet dann, dass die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiert (man kann
jetzt ein wenig formal die Fällen [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty$ [/mm] nochmal gesondert betrachten - da spricht man ja von Konvergenz gegen [mm] $+\infty$
[/mm]
oder unbestimmte Divergenz gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und schreibt auch [mm] $\lim a_n=+\infty$). [/mm] Wenn die Folge divergiert, dann heißt das aber eigentlich,
dass die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keinen Grenzwert besitzt. (Bleiben wir mal bei
Grenzwerten etwa in [mm] $\IR\,.$) [/mm] Das aber wiederum heißt, dass ich gar nicht
[mm] $\lim_{n \to \infty }a_n$ [/mm] hinschreiben kann bzw. darf. Also strenggenommen:
Bei der Aussage [mm] "$\lim a_n$ [/mm] existiert nicht" will man nur sagen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiert. In der Aussage selber stecken aber formal eigentlich
Probleme: Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergiert, dann kann ich das Symbol [mm] $\lim a_n$ [/mm] gar nicht benutzen. Wenn ich es nicht benutzen kann, wie kann ich
dann sagen, dass [mm] $\lim a_n$ [/mm] nicht existiere. Denn weil ich [mm] $\lim a_n$ [/mm]
schreibe, bedeutet das erstmal, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert mit Grenzwert [mm] $\lim a_n\,.$ [/mm] Ich sage also eigentlich mit der Aussage, dass
[mm] $\lim a_n$ [/mm] nicht existiert, strenggenommen, dass die konvergente Folge
[mm] $(a_n)$ [/mm] keinen Grenzwert hat. Aber gut: Es hat sich so eingebürgert!
> Um solcherlei zu bedenken reicht mein mathematisches
> Verständnis einfach nicht aus. Nicht einmal intuitiv und
> im echten Leben würde ich Fragen über Dinge ohne Entität
> beantworten können oder wollen. Zwar mag es sinnvol
> scheinen, zu sagen, wenn der Elfmeter gegeben worden wäre,
> wäre das Spiel unentschieden ausgegangen. Keinen Sinn
> scheint aber zu machen, zu fragen, wie dieses Fußballspiel
> ausgegangen wäre, wenn vor 2000 Jahren die Menschheit
> ausgestorben wäre.
> Eine kurze Antwort zu dieser Grundsatzfrage wäre wirklich
> nett.
Also nochmal zu oben:
Du kannst ohne Probleme schreiben, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}n=\infty$ [/mm] ist
oder auch, dass [mm] $(n)_{n \in \IN}$ [/mm] bestimmt divergent bzw. konvergent
gegen [mm] $\infty$ [/mm] ist [mm] ($(n)_n$ [/mm] ist aber NICHT in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent!). Du kannst
auch ohne Probleme sagen, dass [mm] $\infty=\lim_{n \to \infty}n=\lim_{n \to \infty} (1/(1/n))\,,$ [/mm] denn da passiert doch gar nichts: Du schreibst nur
[mm] $n\,$ [/mm] um.
Was ich mit Fred's Hinweis Dir nun sagen wollte, ist folgendes:
Wenn man weiß, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gilt (anders gesagt: [mm] $a_n\,$ [/mm] ist eine
Nullfolge), und seien dabei nun alle [mm] $a_n \not=0\,,$ [/mm] dann kannst Du
folgern, dass dann
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}$$
[/mm]
NICHT existiert. (Hier sehen wir die obige Sprechweise in ihrer Anwendung!)
Du kannst auch nicht
[mm] $$\lim_{n \to \infty}(1/a_n)=1/(\lim a_n)$$
[/mm]
anwenden, denn bei der Anwendung eines solchen Rechengesetzes für
konvergente Folgen steht eine Bedingung an die "Nennerfolge", die hier
nicht erfüllt ist.
Du könntest aber
[mm] $$\lim_{n \to \infty}(1/|a_n|)=\infty$$
[/mm]
folgern. (Aber auch nicht ohne weiteres mit "Limes in Nenner ziehen" -
jedenfalls nicht, ohne formal etwas mehr zu erläutern.)
Ich meine, ebensowenig kann man
[mm] $$0=\lim_{n \to \infty} (n/n^2)=(\lim n)/(\lim n^2)=\infty/\infty=1$$
[/mm]
folgern. Da sind zwei falsche Gleichheitszeichen drin!
P.S.
Natürlich darfst Du aber
[mm] $$0=\lim_{n \to\infty} \frac{1}{n}=\lim_{n \to\infty} \frac{n}{n^2}$$
[/mm]
schreiben - denn hier formst Du ja nur [mm] $1/n=n/n^2$ [/mm] um.
P.P.S.
Mach' Dir bitte klar, dass, wenn in einem Satz sowas steht:
"Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine reelle und in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge, und sei [mm] $(b_n)_n$
[/mm]
auch eine reelle und in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge. Dann gilt
[mm] $$\lim (a_n+b_n)=\lim a_n [/mm] + [mm] \lim b_n\,.$$
[/mm]
"
Der Teil, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine reelle (oder reellwertige) Folge sei, bedeutet,
dass man hier voraussetzt, dass alle [mm] $a_n \in \IR$ [/mm] sind. Der Teil, wo man
sagt, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiere, besagt, dass [mm] $\lim a_n \in \IR\,.$
[/mm]
Es ist dabei nämlich zu beachten, dass [mm] $+\infty, [/mm] - [mm] \infty \notin \IR\,.$ [/mm] D.h. in
der obigen Formulierung des Satzes wird keiner der Fälle [mm] $\lim a_n, \lim b_n \in \{\pm \infty\}$ [/mm] miteinbezogen. (Was nicht heißt, dass man den
Satz dahingehend nicht ergänzen könnte: Bspw. ist die Summenfolge
gebildet aus einer in [mm] $\IR$ [/mm] konvergenten Folge mit einer bestimmt gegen
[mm] $\infty$ [/mm] divergierenden Folge wieder bestimmt divergent gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
Aber Weglassen muss man definitiv Fälle der Art [mm] $+\infty-\infty$ [/mm] bzw.
[mm] $-\infty+\infty\,.$) [/mm]
Also Fazit (ich habe gerade eben erstmal den Begriff Entität nachgeguckt):
Die Sprechweise der Nichtexistenz eines Grenzwertes einer betrachteten
Folge hat eigentlich gar nichts mit dem zu tun, was Du da so philosohisch
in den Raum geworfen hast. Sondern das ist nur eine andere Sprechweise,
um die Divergenz einer Folge auszudrücken (in welchem Sinne, sollte aus
dem Zusammenhang klar sein). Das ist aber keine philosohische
Betrachtungsweise, sondern man könnte es eher so sehen, dass diese
Sprechweise eine Sprechweise ist, die auf gewisse Weise definiert worden
ist. Das kannst Du aber gar nicht wissen, wenn es Dir nie jemand gesagt
hat oder Du es durch genügend große Erfahrungswerte vielleicht mal
selbst zusammengereimt hast!
Ebenso gibt es übrigens auch andere Dinge in der Mathematik, die "sich
aus dem Zusammenhang ergeben sollen, wenn nichts weiter dazugesagt
wird - andernfalls muss etwas dazugesagt werden":
Das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] steht per Definitionem auch erstmal
nur für die entsprechende Folge der Teilsummen [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n a_k\,.$$
[/mm]
Also [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k=(s_n)_{n \in \IN_0}=\left(\sum_{k=0}^n a_k\right)_{n \in \IN_0}\,.$
[/mm]
Also ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] eine Folge. Wenn diese Folge konvergiert, so schreibt man aber auch
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k:=\lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^n a_k\,,$$
[/mm]
also kann [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] auch die Bedeutung eines
Grenzwertes haben.
Wenn man nun [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] (hier im Sinne der Folge [mm] $(s_n)$) [/mm] auf Konvergenz untersuchen will, so ist also die Frage, ob
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] existiert (erst dann könnte ich auch überhaupt
das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] in der Bedeutung des Grenzwertes
verwenden) oder ob es den Grenzwert [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] nicht gibt. (Letztes meint wieder, ob [mm] $(s_n)$ [/mm] divergiert).
Du merkst also: Ohne einiges an Erfahrung kann man sogar in der
Mathematik mal schnell verwirrt werden, auch, wenn sich doch alles
"aus dem Zusammenhang heraus" ergibt (bzw. ergeben sollte). Hat man
diese Erfahrung nicht, muss man erstmal die Fälle abklappern, was denn
nun hier eigentlich rein formulierungsmäßig nur Sinn macht.
Oder noch etwas: Man sagt, wenn eine Funktion an einer Stelle nicht
differenzierbar ist, etwa einfach, dass die Ableitung der Funktion nicht
existiere. Und das schöne ist: Es ist sofort klar, was damit gemeint ist,
und man muss es nicht irgendwie ganz konkret und exakt beschreiben.
Also: Die Sprechweise ist wirklich eine Sprechweise, die doch schon
nicht nur einfach eingebürgert wurde, sondern sie hat auch irgendwie
"Kraft".
Gruß,
Marcel
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