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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
ich habe hier zwei Funktionen, die ich untersucht habe, bin mir nicht sicher ob es richtig ist, würde mich freuen, wenn mal jemand drüber schauen kann.
1)
[mm] f_k(x) [/mm] = [mm] (e^x-k)^2 [/mm] ;x [mm] \in \IR^+, [/mm] k = 0,5; 1; 1,5; 2
Die 3 Ableitungen:
f'(x) = [mm] 2e^2x - 2ke^x [/mm]
f''(x) = [mm] 2e^x(2e^x - k) [/mm]
f'''(x) = [mm] 2e^x(4e^x - k) [/mm]
a) Definitionsbereich
D = [mm] \IR
[/mm]
b) Achsenschnittpunkte
[mm] f_k(x) [/mm] = [mm] (e^x [/mm] - [mm] k)^2
[/mm]
Schnittpunkt mit der y-Achse:
f(0) = [mm] (e^x [/mm] - [mm] k)^2
[/mm]
f(0) = [mm] (e^0 [/mm] - [mm] k)^2
[/mm]
f(0) = (1 - [mm] k)^2
[/mm]
f(0) = 1 - [mm] k^2
[/mm]
[mm] Sy(0/(1-k^2)
[/mm]
Schnittpunkt mit der x-Achse:
0 = [mm] (e^x [/mm] - [mm] k)^2 [/mm] / [mm] \wurzel
[/mm]
0 = [mm] e^x [/mm] / ln
ln k = x
Sx(ln k/0)
c) Verhalten im Undendlichen
Wenn x [mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \infty [/mm] , dann [mm] f_k(x) \Rightarrow [/mm] +k
Wenn x [mm] \Rightarrow [/mm] + [mm] \infty [/mm] , dann [mm] f_k(x) \Rightarrow +\infty
[/mm]
d) Extrempunkte
f'(x) = 0
0 = [mm] 2e^x [/mm] - [mm] 2ke^x
[/mm]
0 = [mm] 2e^x(e^x [/mm] - k) / [mm] :2e^x
[/mm]
0 = [mm] e^x [/mm] - k
x = ln k
e) Wendepunkte
Wie soll ich das machen?
f) Für welches k ist 0 die WS von [mm] f_k?
[/mm]
[mm] x_w [/mm] = ln [mm] \bruch{k}{2} [/mm] = 0
[mm] \bruch{k}{2} [/mm] = [mm] e^0
[/mm]
k = 2
g) Wertebereich
W = [0; [mm] \infty[=\IR^+_0
[/mm]
h) Berechnung des Flächeninhalts von f(x) = [mm] (e^x [/mm] - [mm] k)^2 [/mm] für k=2 im Intervall -3 und -1 mit der x-Achse einschließt!
Wenn ich ehrlich bin, verstehe ich nicht mal richtig die Aufgabenstellung.
Was soll ich hier genau machen und wie?
i) Zeichnung
Habe versucht sie mit FunkyPlot zu machen, aber er will k nicht haben, "Der Parameter "k" ist undefiniert".
Was muss ich machen, damit das Programm es erkennt?
Aufgabe 2 kommt später, ich brauche erstmal eine Pause vom vielen Schreiben.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MIB !!
> [mm]f_k(x)[/mm] = [mm](e^x-k)^2[/mm] ;x [mm]\in \IR^+,[/mm] k = 0,5; 1; 1,5; 2
>
> Die 3 Ableitungen:
> f'(x) = [mm]2e^2x - 2ke^x[/mm]
Du meinst sicher das richtige: [mm] $f_k'(x) [/mm] \ = \ [mm] 2e^{\red{2x}} [/mm] - [mm] 2k*e^x [/mm] \ = \ [mm] 2e^x*(e^x-k)$
[/mm]
> f''(x) = [mm]2e^x(2e^x - k)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f'''(x) = [mm]2e^x(4e^x - k)[/mm]
> a) Definitionsbereich
> D = [mm]\IR[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> b) Achsenschnittpunkte
> [mm]f_k(x)[/mm] = [mm](e^x[/mm] - [mm]k)^2[/mm]
>
> Schnittpunkt mit der y-Achse:
>
> f(0) = [mm](e^x[/mm] - [mm]k)^2[/mm]
> f(0) = [mm](e^0[/mm] - [mm]k)^2[/mm]
> f(0) = (1 - [mm]k)^2[/mm]
> f(0) = 1 - [mm]k^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bei [mm] $(1-k)^2$ [/mm] mußt Du die binomischen Formeln anwenden (oder es einfach so stehen lassen  )
> Schnittpunkt mit der x-Achse:
> 0 = [mm](e^x[/mm] - [mm]k)^2[/mm] / [mm]\wurzel[/mm]
> 0 = [mm]e^x[/mm] / ln
Tippfehler: [mm] $\red{k} [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
> ln k = x
> Sx(ln k/0)
> c) Verhalten im Unendlichen
>
> Wenn x [mm]\Rightarrow[/mm] - [mm]\infty[/mm] , dann [mm]f_k(x) \Rightarrow[/mm] +k
Wenn Du den Ausdruck [mm] $\left( e^x - k \right)^2$ [/mm] mal ausmultiplizierst, erhältst Du : [mm] $e^{2x} [/mm] - [mm] 2k*e^x [/mm] + [mm] k^2 [/mm] \ \ [mm] \to [/mm] \ \ 0 - 0 + [mm] k^2 [/mm] \ = \ [mm] k^2$ [/mm]
> Wenn x [mm]\Rightarrow[/mm] + [mm]\infty[/mm] , dann [mm]f_k(x) \Rightarrow +\infty[/mm]
> d) Extrempunkte
> f'(x) = 0
> 0 = [mm]2e^x[/mm] - [mm]2ke^x[/mm]
> 0 = [mm]2e^x(e^x[/mm] - k) / [mm]:2e^x[/mm]
> 0 = [mm]e^x[/mm] - k
> x = ln k
Wenn Du durch [mm] $2*e^x$ [/mm] teilst, schreibe ruhig hin $| : [mm] \left(2*e^x \right) [/mm] \ [mm] \red{\not= 0}$
[/mm]
Was ist mit dem hinreichenden Kriterium (einsetzen in 2. Ableitung), um Art des Extremums zu bestimmen ?
Es fehlt auch noch der zugehörige Funktionswert [mm] $y_E [/mm] = [mm] f(x_E) [/mm] = ...$
> e) Wendepunkte
> Wie soll ich das machen?
Wendestellen [mm] $x_w$ [/mm] sind die Nullstellen der 2. Ableitung (notwendiges Kriterium).
Dann noch in die 3. Ableitung einsetzen. Dort muß gelten: [mm] $f'''(x_w) \not= [/mm] 0$ (hinreichendes Kriterium).
Funktionswert [mm] $y_w [/mm] = [mm] f(x_w)$ [/mm] ??
> f) Für welches k ist 0 die WS von [mm]f_k[/mm] ?
> [mm]x_w[/mm] = ln [mm]\bruch{k}{2}[/mm] = 0
> [mm]\bruch{k}{2}[/mm] = [mm]e^0[/mm]
> k = 2
> g) Wertebereich
> W = [0; [mm]\infty[=\IR^+_0[/mm]
> h) Berechnung des Flächeninhalts von f(x) = [mm](e^x[/mm] - [mm]k)^2[/mm] für
> k=2 im Intervall -3 und -1 mit der x-Achse einschließt!
>
> Wenn ich ehrlich bin, verstehe ich nicht mal richtig die
> Aufgabenstellung.
> Was soll ich hier genau machen und wie?
Sieh' mal hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> i) Zeichnung
>
>
> Habe versucht sie mit FunkyPlot zu machen, aber er will k
> nicht haben, "Der Parameter "k" ist undefiniert".
> Was muss ich machen, damit das Programm es erkennt?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du mußt rechts unten neben dem Bild das Häkchen aktivieren und dann in der entsprechnden Zeile der Funktion noch "k=2" eingeben !!
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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