Untersuchung einer Kurvenschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 Mi 15.10.2008 | | Autor: | foxxx |
| Aufgabe | Zu jedem [mm] a\in\IR [/mm] mit a>0 ist eine ganzrationale Funktion [mm] f_{a} [/mm] gegeben durch:
[mm] f_{a}(x)=2x^{3}-a\*x^{2}
[/mm]
Ihr Graph sei die Kurve [mm] K_{a}
[/mm]
Aufgaben:
a) Untersuchen Sie [mm] K_{a} [/mm] auf:
- Symmetrie
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Extrempunkte
- Wendepunkte
Berechnen Sie den Anstieg von [mm] K_{a} [/mm] in den Schnittpunkten mit der X-Achse.
b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente von [mm] K_{a}
[/mm]
Für welche reelle Zahl a hat die Wendetangente an [mm] K_{a} [/mm] den Anstieg m=-1,5 ?
c) Graph zeichnen, ist egal
d) Die Tiefpunkte aller Kurven [mm] K_{a} [/mm] liegen auf eine Kurve, genannt Ortskurve der Tiefpunkte. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ortskurve der Tiefpunkte.
e) Zeigen Sie, dass jede Kurve [mm] K_{a} [/mm] die Parabel mit der Gleichung [mm] y=x^{2} [/mm] neben dem Koordinatenurpsung in genau einem weiteren Punkt [mm] Q_{a} [/mm] schneidet.
Zeigen Sie weiterhin, dass für keine Zahl a sich eine Kurve [mm] K_{a} [/mm] und die Parabel im Punkt [mm] Q_{a} [/mm] berühren.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute.
Bin nun schon das zweite Jahr in meinem Leistungskurs.
Das letzte Jahr hab ich gut überstanden, eigentlich alles kapiert und keine großen Schwierigkeiten gehabt.
Allerdings fängt das jetzt an, und ich bin nicht der einzige aus meinem Kurs.
Wir schreiben leider schon morgen die Klausur (hab das hier zu spät gefunden) und ich hab noch ein paar Fragen.
Da das Thema irgendwie geistig an mir vorbeigezogen ist, habe ich massive Probleme mit den Aufgaben und hab irgendwie null Plan, wie ich vorzugehen hab.
Wurde anscheinend schlecht erklärt, da ich sonst alles immer sehr schnell verstanden habe.
Die Aufgaben stehen oben.
Ich habe nun Folgendes gemacht:
a) Symmetrie:
Da [mm] f_{a}(-x)\not=f_{a}(x), [/mm] ist [mm] K_{a} [/mm] nicht achsensymmetrisch.
Da [mm] f_{a}(-x)\not=-f_{a}(x), [/mm] ist [mm] K_{a} [/mm] nicht punktsymmetrisch.
Ist das so korrekt ? Und reicht es für die Aufgabenstellung aus ?
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
Gesucht wird doch der Wert, für den [mm] f_{a}(x)=0 [/mm] ist, oder ?
[mm] f_{a}(x)=0=2x^{3}-a\*x^{2}
[/mm]
[mm] f_{a}(x)=0=x\*(2x^{2}-a\*x)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Dieser Term wird =0, wenn der Faktor x vor der Klammer =0 ist, oder ?
Somit wäre die erste Nullstelle [mm] x_{1}=0. [/mm] Richtig ?
Ab jetzt fängt es an, dass ich nicht mehr weiß, wie ich weiter vorzugehen habe .......
Ich habe mir noch ein paar Lösungen aus dem Unterricht mitgeschrieben, habe allerdings keinen Plan, wie auf die Ergebnisse komme (Aufgaben wurden schon verglichen, allerdings sind meine Aufzeichnung leider nicht vollständig, bzw. auch sehr verwirrend).
Extrempunkte:
notwendige Bedingung:
[mm] f'(x_{E})=0
[/mm]
hinreichende Bedingung:
[mm] f'(x_{E})=0 [/mm] und [mm] f''(x_{E})<0 \Rightarrow [/mm] Maximumstelle ?!
[mm] f'(x_{E})=0 [/mm] und [mm] f''(x_{E})>0 \Rightarrow [/mm] Minimumstelle ?!
[mm] f''(x_{E})=0 [/mm] und [mm] f'''(x_{E})\not=0 \Rightarrow [/mm] Wendestelle?!
Nur: Wie Bilde ich die Ableitung meiner Funktionsschar ?
Der Faktor a wird doch bereits in der ersten Ableitung 0 oder ?
Ich hab mich mal probiert (an sich weiß ich, wie man ableitet) :
Ausgangsgleichung: [mm] f_{a}(x)=2x^{3}-a\*x^{2}
[/mm]
erste Ableitung: [mm] f'(x_{})=6x^{2}
[/mm]
zweite Ableitung: [mm] f''(x_{})=12x
[/mm]
dritte Ableitung: [mm] f'''(x_{})=12
[/mm]
vierte Ableitung [mm] f''''(x_{})=0
[/mm]
Wie gehe ich jetzt weiter vor ?
Etwas Hilfe wäre echt sehr nett.
Ich bräuchte vor allem eine Erklärung, wie ich jetzt weiter vorzugehen habe.
Leider muss ich schon morgen früh Klausur schreiben und ich wäre echt sehr dankbar, wenn sich heute Abend noch jemand finden würde!
mfg
foxxx
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Hallo foxxx!
> Zu jedem [mm]a\in\IR[/mm] mit a>0 ist eine ganzrationale Funktion
> [mm]f_{a}[/mm] gegeben durch:
>
> [mm]f_{a}(x)=2x^{3}-a\*x^{2}[/mm]
>
> Ihr Graph sei die Kurve [mm]K_{a}[/mm]
>
> Aufgaben:
>
> a) Untersuchen Sie [mm]K_{a}[/mm] auf:
> - Symmetrie
> - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
> - Extrempunkte
> - Wendepunkte
> Berechnen Sie den Anstieg von [mm]K_{a}[/mm] in den Schnittpunkten
> mit der X-Achse.
>
> b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente von
> [mm]K_{a}[/mm]
> Für welche reelle Zahl a hat die Wendetangente an [mm]K_{a}[/mm]
> den Anstieg m=-1,5 ?
>
> c) Graph zeichnen, ist egal
>
> d) Die Tiefpunkte aller Kurven [mm]K_{a}[/mm] liegen auf eine Kurve,
> genannt Ortskurve der Tiefpunkte. Bestimmen Sie die
> Gleichung dieser Ortskurve der Tiefpunkte.
>
> e) Zeigen Sie, dass jede Kurve [mm]K_{a}[/mm] die Parabel mit der
> Gleichung [mm]y=x^{2}[/mm] neben dem Koordinatenurpsung in genau
> einem weiteren Punkt [mm]Q_{a}[/mm] schneidet.
> Zeigen Sie weiterhin, dass für keine Zahl a sich eine
> Kurve [mm]K_{a}[/mm] und die Parabel im Punkt [mm]Q_{a}[/mm] berühren.
> a) Symmetrie:
>
> Da [mm]f_{a}(-x)\not=f_{a}(x),[/mm] ist [mm]K_{a}[/mm] nicht
> achsensymmetrisch.
> Da [mm]f_{a}(-x)\not=-f_{a}(x),[/mm] ist [mm]K_{a}[/mm] nicht
> punktsymmetrisch.
>
> Ist das so korrekt ? Und reicht es für die Aufgabenstellung
> aus ?
Ja, das ist korrekt und im Prinzip reicht es aus. Ich würde es allerdings etwas ausführlicher aufschreiben:
[mm] f_a(-x)=2(-x)^3-a(-x)^2=-2x^3-ax^2
[/mm]
und
[mm] -f_a(x)=-2x^3+ax^2
[/mm]
Wenn du dann schreibst, dass [mm] f_a(x)\not=f_a(-x) [/mm] und [mm] f_a(-x)\not=-f_a(x) [/mm] sieht man auch sofort, wie du darauf gekommen bist.
> Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
>
> Gesucht wird doch der Wert, für den [mm]f_{a}(x)=0[/mm] ist, oder ?
Wir haben immer die Schnittpunkte sowohl mit der x- als auch mit der y-Achse berechnet. Anscheinend berechnet man in den meisten Schulen nur den Schnittpunkt mit der x-Achse, aber so, wie es hier steht, ist wohl doch beides gemeint. Den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnest du tatsächlich so, indem du das x suchst, für das gilt: [mm] f_a(x)=0. [/mm] Allerdings solltest du es nicht so aufschreiben, wie du es gemacht hast, sondern eher: gesucht: x, so dass [mm] f_a(x)=0, [/mm] also [mm] 2x^3-ax^2=0 [/mm] (also nicht alles in eine Gleichungskette).
> [mm]f_{a}(x)=0=2x^{3}-a\*x^{2}[/mm]
> [mm]f_{a}(x)=0=x\*(2x^{2}-a\*x)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] Dieser Term wird =0, wenn der Faktor x vor der
> Klammer =0 ist, oder ?
> Somit wäre die erste Nullstelle [mm]x_{1}=0.[/mm] Richtig ?
Ja, aber es fehlt noch eine zweite Nullstelle. Wann ist denn ein Produkt =0? Genau dann, wenn einer der Faktoren =0 ist. Der erste Faktor ist das x, das hast du schon herausgefunden, der zweite Faktor ist [mm] 2x^2-ax, [/mm] dies musst du jetzt auch noch =0 setzen, schaffst du das? Du hättest übrigens auch direkt [mm] x^2 [/mm] ausklammern können, das heißt, du hast bei x=0 sogar eine doppelte Nullstelle.
Im Allgemeinen Fall hilft hier auch noch die  PQFormel.
Und dann fehlt ja noch der Schnittpunkt mit der y-Achse, der ist aber total simpel zu berechnen. Du musst einfach x=0 in deine Funktionsschar einsetzen, denn wenn der x-Wert =0 ist, dann liegt der Punkt der Funktion natürlich genau auf der y-Achse. Also [mm] f_a(0)=2*0^3-a*0=0.
[/mm]
> Extrempunkte:
>
> notwendige Bedingung:
> [mm]f'(x_{E})=0[/mm]
>
> hinreichende Bedingung:
>
> [mm]f'(x_{E})=0[/mm] und [mm]f''(x_{E})<0 \Rightarrow[/mm] Maximumstelle ?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]f'(x_{E})=0[/mm] und [mm]f''(x_{E})>0 \Rightarrow[/mm] Minimumstelle ?!
> [mm]f''(x_{E})=0[/mm] und [mm]f'''(x_{E})\not=0 \Rightarrow[/mm]
> Wendestelle?!
> Nur: Wie Bilde ich die Ableitung meiner Funktionsschar ?
> Der Faktor a wird doch bereits in der ersten Ableitung 0
> oder ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Faktor a wird genauso behandelt wie eine Zahl, die vor dem x steht. Was wäre denn die Ableitung von [mm] f(x)=2x^3-5x^2? [/mm] Das wäre doch auch nicht [mm] 6x^2 [/mm] sondern [mm] 6x^2-10x, [/mm] oder nicht? 
> Ausgangsgleichung: [mm]f_{a}(x)=2x^{3}-a\*x^{2}[/mm]
> erste Ableitung: [mm]f'(x_{})=6x^{2}[/mm]
Nach obigen Anmerkungen ist also richtig: [mm] f'(x)=6x^2-2ax, [/mm] den Rest schaffst du bestimmt alleine.
> Wie gehe ich jetzt weiter vor ?
Naja, deine Bedingungen überprüfen. Also die erste Ableitung =0 setzen, von diesen möglichen Extremstellen dann die zweite Ableitung berechnen (diese also einfach in f''(x) einsetzen) und gucken, ob diese dort positiv, negativ oder =0 ist, was das dann bedeutet, hast du ja bereits hingeschrieben (also Maximum, Minimum oder Wendestelle).
Der Anstieg ist einfach die Steigung, das heißt, du musst die entsprechenden Punkte (Schnittpunkte mit der x-Achse) einfach in die erste Ableitung einsetzen.
Auf den Rest habe ich jetzt keine Lust mehr, das dauert doch recht lange, erst das rechnen, dann das hier aufschreiben. Hast du denn gar keine Ideen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 15.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Hm, das ist ja schonmal sehr hilf- und aufschlussreich.
Dann wären die Ableitungen also:
[mm] f'_{a_{}}=6x^{2}-2ax
[/mm]
[mm] f''_{a_{}}=12x-2a
[/mm]
[mm] f'''_{a_{}}=12-2a
[/mm]
Nullstelle 1 [mm] x_{1}=0
[/mm]
Umformung von [mm] 0=x(2x^{2}-ax) [/mm] in die Normalform (Zur Anwendung der PQ-Formel):
[mm] 0=x^{2}-a\bruch{x}{2}
[/mm]
Dann wäre:
[mm] x_{2}=-\bruch{a}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^{2}}{4}}
[/mm]
Sieht etwas komisch aus.......
Außerdem kommt dann entweder 0 oder -a raus.
Oder meinst du, dass wenn ich bei der Gleichung schon [mm] x^{2} [/mm] ausklammern kann, ich keine weitere Nullstelle habe ?! Du sprachst ja von einer Doppelten Nullstelle ?
Schnittpunkt mit der Y-Achse hast du ja schon gesagt.
Der Anstieg in [mm] x_{1} [/mm] ist ja 0, weil wenn ich in die erste Ableitung für x=0 einsetze, kommt schließlich wieder 0 raus.
Allerdings habe ich ja noch immer nicht die zweite Nullstelle, irgendwie.
Ich weiß echt nicht weiter.
An sich kann es ja nicht schwer sein, nur leider hab ich keine Peilung was ich machen soll. Das hatte ich noch nie, daher fühle ich mich auch total hilflos.
Und das wäre echt schei*e wenn ich die Klausur morgen verhaue, weil die mit 25% eingeht und ich somit meinen Abi-Schnitt schon etwas in Mitleidenschaft gezogen hätte.
Aber wenn du keine Lust/Zeit mehr hast .....
Vielleicht sind ja noch andere online :)
Edit:
Zu den Extremstellen:
[mm] f'_{a_{}}(x)=0
[/mm]
[mm] 0=6x^{2}-2ax
[/mm]
0=x(6x-2a) [mm] \gdw [/mm] x=0
Damit hätte ich eine Extremstelle, da es aber wegen der (mir noch nicht bekannten) zweiten Nullstelle, auch eine zweite Extremstelle gibt, reicht das nicht.
Wenn ich damit jetzt weitermache:
[mm] f''_{a_{}}(x)=12x-2a
[/mm]
[mm] f''_{a_{}}(x)=-2a \gdw [/mm] da a>0 in den Vorraussetzungen stand:
[mm] \gdw f''_{a_{}}(x)<0
[/mm]
Dies würde bedeuten, bei x=0 befindet sich eine Maximumstelle.
Soweit richtig ?
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Hallo foxxx!
> Hm, das ist ja schonmal sehr hilf- und aufschlussreich.
>
> Dann wären die Ableitungen also:
>
> [mm]f'_{a_{}}=6x^{2}-2ax[/mm]
> [mm]f''_{a_{}}=12x-2a[/mm]
> [mm]f'''_{a_{}}=12-2a[/mm]
Was wäre denn die Ableitung von 12x-2*5?
> Nullstelle 1 [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> Umformung von [mm]0=x(2x^{2}-ax)[/mm] in die Normalform (Zur
> Anwendung der PQ-Formel):
Sagte ich nicht etwas davon, dass du direkt [mm] x^2 [/mm] hättest ausklammern können? Auch wenn du das nicht gemacht hast, kannst du hier immer noch ein x ausklammern, dass ist einfacher als mit der PQ-Formel.
Dann hättest du noch übrig: 2x-a und das musst du =0 setzen.
> Oder meinst du, dass wenn ich bei der Gleichung schon [mm]x^{2}[/mm]
> ausklammern kann, ich keine weitere Nullstelle habe ?! Du
> sprachst ja von einer Doppelten Nullstelle ?
Naja, eine Funktion dritten Grades, die du ja hier hast [mm] (x^3), [/mm] kann maximal 3 Nullstellen haben. Zwei haben wir schon, wegen der doppelten Nullstelle, da kann aber noch eine dazu kommen.
> Schnittpunkt mit der Y-Achse hast du ja schon gesagt.
>
> Der Anstieg in [mm]x_{1}[/mm] ist ja 0, weil wenn ich in die erste
> Ableitung für x=0 einsetze, kommt schließlich wieder 0
> raus.
> Allerdings habe ich ja noch immer nicht die zweite
> Nullstelle, irgendwie.
Damit du wenigstens hier weiterrechnen kannst, verrate ich dir die letzte Nullstelle (solltest du nach meinem Hinweis von gerade aber auch selber rausbekommen): [mm] x=\frac{a}{2}.
[/mm]
> Zu den Extremstellen:
>
> [mm]f'_{a_{}}(x)=0[/mm]
> [mm]0=6x^{2}-2ax[/mm]
> 0=x(6x-2a) [mm]\gdw[/mm] x=0
>
> Damit hätte ich eine Extremstelle, da es aber wegen der
> (mir noch nicht bekannten) zweiten Nullstelle, auch eine
> zweite Extremstelle gibt, reicht das nicht.
Mmh, aber hast du nicht verstanden, was ich vorhin schrieb? Ein Produkt ist dann =0, wenn einer der beiden Faktoren =0 ist. Der eine Faktor ist x, der andere (6x-2a). Den ersten hast du beachtet, den zweiten schaffst du auch noch: 6x-2a=0 nach x auflösen. Das hat nichts mit der zweiten Nullstelle von vorhin zu tun, ist nur eine ähnliche Rechnerei.
> Wenn ich damit jetzt weitermache:
>
> [mm]f''_{a_{}}(x)=12x-2a[/mm]
> [mm]f''_{a_{}}(x)=-2a \gdw[/mm] da a>0 in den Vorraussetzungen
Tippfehler, du meinst $f''_a(0)=-2a$.
> stand:
> [mm]\gdw f''_{a_{}}(x)<0[/mm]
>
> Dies würde bedeuten, bei x=0 befindet sich eine
> Maximumstelle.
>
> Soweit richtig ?
geht doch
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo,
zu d)
Für die Ortskurve der Tiefpunkte schaust du dir deine x und y-Koordinate des Tiefpunkts an,die x-Koordinate lautet ja [mm] x=\bruch{a}{3},diese [/mm] löst du nach a auf und setzt das in die Koordinate deines Hochpunktes,also [mm] -\bruch{a^{3}}{27} [/mm] ein,dann hast du deine Ortskurve.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mi 15.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Ortskurve der Tiefpunkte:
[mm] T(\bruch{a}{3}|-\bruch{a^{3}}{27})
[/mm]
[mm] x=\bruch{a}{3}
[/mm]
a=3x
Das in die Y-Koordinate einsetzen ???:
[mm] y=-\bruch{27x^{3}}{27}
[/mm]
[mm] y=-x^{3}
[/mm]
????
Kann das wirklich sein ?
Ich meine rein theoretisch wäre es sogar sehr gut möglich.
Allerdings fehlt noch n:
g(x)=mx+n
[mm] y=-x^{3}+n [/mm] | [mm] +x^{3}
[/mm]
[mm] n=-\bruch{a^{3}}{27}+x^{3}
[/mm]
[mm] n=-\bruch{a^{3}}{27}+\bruch{a^{3}}{27}
[/mm]
n=0
Interessant :D
Aber ich hab sicher einen Fehler gemacht ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 15.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Ich habe jetzt die Koordinaten für den Wendepunkt ausgerechnet, allerdings hapert's am Beweis.
Die X-Koordinate das Wendpunktes ist doch die Nullstelle der zweiten Ableitung oder ?
f''(x)=0
0=12x-2a
[mm] x=\bruch{1}{6}a
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{6}a)=2\*(\bruch{1}{6}a)^{3}-a\*(\bruch{1}{6}a)^{2}
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{6}a)=-\bruch{a^{3}}{54}
[/mm]
Das stimmt, so hab ich es in meinen halb-kompletten Lösungen.
[mm] W(\bruch{1}{6}a|-\bruch{a^{3}}{54})
[/mm]
Oder habe ich damit schon die Wendestelle bewiesen ?
Ich wollte jetzt noch das mit f'=0 f''=0 und [mm] f'''\not=0 [/mm] machen, allerdings komme ich dabei nicht auf 0.
Ich bedanke mich schonmal für die Anderen Anregungen, die schau ich mir jetzt an.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo foxxx!
Die 1. Ableitung hat nichts mit einer (allgemeinen) Wendestelle zu tun.
Es gilt also "lediglich":
[mm] $$f''(x_0) [/mm] \ = \ 0 \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ [mm] f'''(x_0) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0 \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ [mm] x_0 [/mm] \ [mm] \text{ist Wendestelle}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo^^
b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente von $ [mm] K_{a} [/mm] $.
Also ich erklär dir einfach mal,wie man Wendetangenten bestimmt,du kannst es dann an deiner Aufgabe machen.
Also wenn du Gleichung der Wendetangente suchst,brauchst du zunächst den Wendepunkt.
Und dann den Ansatz für eine Geradengleichung,der lautet: g(x)=mx+b.
Jetzt brauchst du noch dein m,also die Steigung.Und die kriegt man wie???
Genau,durch die erste Ableitung.
Jetzt kannst du schon mal in deine Gleichung g(x)=mx+b dein m=1.Ableitung und den Wendepunkt einsetzen,somit kannst du auch b berechnen und hast deine Wendetangente.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 15.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Also:
Ich hab den Wendepunkt [mm] W(\bruch{1}{6}a|-\bruch{a^{3}}{54})
[/mm]
g(x)=mx+b
[mm] m=f'(x_{})
[/mm]
[mm] m=f'(\bruch{1}{6}a)=-\bruch{1}{6}a^{2}
[/mm]
Also:
[mm] -\bruch{a^{3}}{54}=-\bruch{1}{6}a^{2}\*x+b [/mm] | [mm] +\bruch{1}{6}a^{2}\*x
[/mm]
[mm] b=-\bruch{a^{3}}{54}+\bruch{1}{6}a^{2}\*x
[/mm]
Irgendwas stimmt jetzt nocht nicht.
Ich hab als Tangentengleichung für den Wendepunkt aus dem Unterricht Folgendes notiert:
[mm] t_{w}: y=-\bruch{1}{6}a^{2}\*x+\bruch{1}{108}a^{3}
[/mm]
So in etwa habe ich diese Zahlen ja auch, jetzt muss ich sie "nur noch" richtig zusammenpuzzlen ^^
Wie komme ich denn nun auf diese Lösung ? das geht aus meinen Zahlen nicht hervor.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo foxxx!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit richtig!
Und für welches $a_$ gilt nun [mm] $m_t [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mi 15.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Also:
Ich hab den Wendepunkt [mm] W(\bruch{1}{6}a|-\bruch{a^{3}}{54})
[/mm]
g(x)=mx+b
[mm] m=f'(x_{})
[/mm]
[mm] m=f'(\bruch{1}{6}a)=-\bruch{1}{6}a^{2}
[/mm]
Also:
[mm] -\bruch{a^{3}}{54}=-\bruch{1}{6}a^{2}\*x+b [/mm] | [mm] +\bruch{1}{6}a^{2}\*x
[/mm]
[mm] b=-\bruch{a^{3}}{54}+\bruch{1}{6}a^{2}\*x
[/mm]
Irgendwas stimmt jetzt nocht nicht.
Ich hab als Tangentengleichung für den Wendepunkt aus dem Unterricht Folgendes notiert:
[mm] t_{w}: y=-\bruch{1}{6}a^{2}\*x+\bruch{1}{108}a^{3}
[/mm]
So in etwa habe ich diese Zahlen ja auch, jetzt muss ich sie "nur noch" richtig zusammenpuzzlen ^^
Wie komme ich denn nun auf diese Lösung ? das geht aus meinen Zahlen nicht hervor.
Wie oben erwähnt, bin ich nicht selbst auf diese Lösung gekommen.
Ich stecke noch fest und dort brauch ich die Hilfe ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo foxxx!
Du musst in Deine Formel für $b \ = \ ...$ nun noch den x-Wert $x \ = \ [mm] x_w [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{6}$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Do 16.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Hey geil, das stimmt ja:
[mm] W(\bruch{1}{6}a|-\bruch{a^{3}}{54})
[/mm]
[mm] b=-\bruch{a^{3}}{54}+\bruch{1}{6}a^{2}\*\bruch{1}{6}a
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{36}a^{3}-\bruch{a^{3}}{54}
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{108}a^{3}
[/mm]
:D
Das dann in die Ursprungsgleichung einsetzen:
g(x)=mx+b
[mm] y=\bruch{1}{6}a^{2}\*x+\bruch{1}{108}a^{3}
[/mm]
stimmt :D
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Do 16.10.2008 | | Autor: | foxxx |
[mm] f_{a}(x)=2x^{3}-ax^{2}
[/mm]
[mm] y=x^{2}
[/mm]
Gleichsetzen:
[mm] x^{2}=2x^{3}-ax^{2} [/mm] | [mm] -x^{2}
[/mm]
[mm] 0=2x^{3}-ax^{2}-x^{2} [/mm] | ausklammern
[mm] 0=x^{2}(2x-a-1)
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}=0
[/mm]
2x-a-1=0 | +a | +1
2x=a+1 | :2
[mm] x_{2}=\bruch{a+1}{2}
[/mm]
letzteres x in [mm] y=x^{2} [/mm] einsetzen:
[mm] Q_{a}(\bruch{a+1}{2}|\bruch{(a+1)^{2}}{4})
[/mm]
[mm] K_{a} [/mm] und [mm] Q_{a} [/mm] berühren sich in P genau dann, wenn:
[mm] f'_{a_{}}(x)=y'
[/mm]
(So steht das in meinen Aufzeichnung, ist das generell so ? Also zwei Funktionen berühren sich wenn [mm] f'_{1}(x_{})=f'_{2}(x_{}) [/mm] oder wie ? )
Das bedeutet, ich setze die beiden ersten Ableitungen gleich:
[mm] 6x^{2}-2ax=2x [/mm] | :x (mit [mm] x\not=0, [/mm] da man nicht durch 0 dividieren kann)
6x-2a=2 | mit [mm] x=\bruch{a+1}{2}
[/mm]
3a+3-2a=2
3a+1=2a
a=-1
Das ist jedoch ein Widerspruch, da a>0 !
Also => [mm] K_{a} [/mm] und P berühren sich in [mm] Q_{a} [/mm] nicht!
Das ist soweit richtig oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Do 16.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja: zwei Kurven beruehren sich in [mm] x_0 [/mm] wenn sie erstens einen gemeinsamen Punkt haben also [mm] f1(x_0)=f2(x_0) [/mm] und dort auch die Steigungen gleich sind. also [mm] f1'(x_0)=f2'(x_0)
[/mm]
Und du hast recht, wegen a=-1 (dann haettest du ja auch durch x=0 dividiert) geht das hier nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:22 Do 16.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Do 16.10.2008 | | Autor: | foxxx |
Naja ist nicht weiter schlimm.
Beziehungsweise: Eigentlich sind alle Aufgabe des Aufgabenblattes jetzt fertig ausgerechnet.
Ich habe mir gestern nochmal ein Merkblatt mit den Sachen gemacht (Symmetrie, Schnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte, Wendetagente), wo drauf steht, wann ich welche Ableitung =0 zu setzen habe.
Ich hab das jetzt schon echt gut kapiert.
Ich möchte mich hiermit nochmal ausdrücklich für die gesamte Mithilfe bedanken, da ich mich nun im Stande fühle, ein solches Aufgabenblatt alleine zu rechnen.
Ich bemerke nun auch, dass meine Fragen etwas dumm waren, aber das ist halt so, wenn man keinen Plan hat, von dem was man machen soll.
Ich fühle mich nun viel sicherer als noch vor den ganzen Hilfestellungen und Erklärungen.
Ich frühstücke jetzt gerade und lese mir dabei nochmal die Symmetrie-Sätze durch, die Ortskurve der Tiefpunkte ... etc.
Aber ich bin eigentlich ganz zuversichtlich und würde mir 11 Punkte zutrauen .
Mal schaun, wie sich meine Meinung nach 135min Klausur geändert hat *g*
Auf alle Fälle bin ich sehr dankbar, dass selbst um die Uhrzeit so kurzfristig noch so tolle Erklärungen und Lösungen kamen.
Genau darum ging es mir, nicht einfach nur die Lösungen, sondern wie man darauf kommt.
Und das weiß ich jetzt :D
VIELEN DANK !
Ich sitze dann gleich in der Klausur .......
LG
foxxx
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Warum? Es soll doch hier gar keine Gerade berechnet werden ...
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
