Untersuchung einer ln-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche die gegebene Funktion: x -> ln x [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] x² ; x [mm] \varepsilon \IR+ [/mm] |
Hallo Leute,
das is unsere Aufgabe die wir gestellt bekommen haben, also nichts anderes als ne Kurvendiskussion. Allerdings hab ich jetzt erstmal überhaupt gar keine Ahnung wie ich da ansetzen soll, weil ich mit der ln Funktion absolut nicht klarkomm. Wie sieht das denn überhaupt mit den Ableitungen aus, was wird aus ln ? Und wie untersuche ich die weiteren Faktoren, also Nullstellen und Wendestellen und vor allen Dingen die Schnittpunkte mit den Achsen, also auf was muss ich denn besonderes achten was ln angeht, wenn ich die einzelnen Faktoren der Kurvendiskussionen durcharbeite.
Danke euch schon mal im vorraus für eure Antworten, bin total planlos und hab keine Ahnung wo ich überhaupt anfangen soll. :(
gruß
absoluter beginner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Beginner,
vielleicht hilft es dir schon weiter, wenn ich sage, dass
[mm] $(\ln{x})'=\bruch{1}{x}$ [/mm] ist.
Das zeigt man für gewöhnlich über die Umkehrfunktion, aber ich weiß nicht, ob diese Schreibweise in der Schule verwendet wird:
[mm] $y=\ln{x} \gdw x=e^{y} \Rightarrow \bruch{dx}{dy}=e^{y} \gdw y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{e^{y}}=\bruch{1}{x}$ [/mm] für $x>0$.
Dieser "Beweis" ist im Moment auch gar nicht wichtig für dich!
Nimm es einfach als gegeben hin, dass [mm] $(\ln{x})'=\bruch{1}{x}$.
[/mm]
Versuch doch die Kurvendiskussion mal selbst und schreib uns dann ganz konkret, an welcher Stelle du steckenbleibst, ok?
MFG,
Yuma
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 15.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo beginner,
Noch ein Hinweis:
Den Schnittpunkt mit der y-Achse kannst Du vergessen, da ja $x [mm] \in \IR^+$ [/mm] - Der Logarithmus kann ja nur aus positiven Zahlen gezogen werden.
Bei den Nullstellen habe ich auch gerade einen heftigen Blackout.
Den Logarithmus beseitigt man ja typischerweise durch Potenzieren:
[mm] $\ln{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2 \quad|\ e^{(...)}$
[/mm]
$ x = [mm] e^{\bruch{1}{2}x^2}$
[/mm]
Das kann man zwar noch ein wenig Umformen, aber mir fehlt da gerade die rechte zielführende Idee...
Bei den Ableitungen verschwindet [mm] $\ln$ [/mm] ja ganz elegant, wie yuma schon erläutert hat.
Hoffe, dennoch ein wenig geholfen zu haben,
ardik
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Bohr vielen dank euch, jetzt hab ich schon einiges mehr an Durchblick. Nur is jetzt das Problem das gleich mein Freund die eulersche Zahl direkt drin vorkommt und davon versteh ich auch direkt ma wieder Null. Also okay, man muss die Gleichung dann ja = 0 setzen um die Nullstellen zu errechnen, so weit komm ich auch. Aber wie behandel ich jetzt die eulersche Zahl ? Nehm ich jetzt den reellen Wert davon oda gibts da wieder irgendne Methode von der ich überhaupt nichts weiss ?
vielen dank für eure bisherigen antworten, vielleicht könnt ihr mir da noch ma nen denkanstoß geben weil ich dann bestimmt selber mir den rest erarbeiten könnte.
lieben gruß
absoluter beginner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Beginner,
freut mich, wenn du mit unseren Tipps etwas anfangen kannst! 
Zu den Nullstellen - das ist in der Tat etwas fies...
Es ist ein schwieriges Unterfangen, die Nullstellen zu berechnen, denn es gibt keine!  Und ich würde vorschlagen, dies nicht über $f(x)=0$ zu zeigen, sondern erst im Verlauf der weiteren Kurvendiskussion:
Du wirst ja sicherlich auch die Hoch- und Tiefpunkte bestimmen. Dazu betrachtest du die erste Ableitung. Ich verrate jetzt schon 'mal, dass es nur einen Hochpunkt gibt. Wenn du im Laufe der Kurvendiskussion zeigst, dass $f$ links vom Hochpunkt streng monoton steigt, also dort $f'(x)>0$ gilt, und rechts vom Hochpunkt streng monoton fällt, also dort $f'(x)<0$ gilt, dann ist damit gezeigt, dass der Hochpunkt auch das absolute Maximum der Funktion ist (es gibt keinen "höheren" Punkt). Du musst ja wahrscheinlich sowieso die Koordinaten des Hochpunktes ausrechnen und wirst feststellen, dass er unterhalb der $x$-Achse liegt.
Zusammengefasst: Ich würde hier lieber argumentativ zeigen, dass es keine Nullstellen gibt, anstatt zu versuchen, den Funktionsterm gleich Null zu setzen.
Frag bitte nochmal nach, falls etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 15.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Freund e ist gar nicht so schrecklich. Für alle Zwecke des Überlegens stell dir 2,7 vor, oder sogar 3, was eigentlich passiert, zeigt das genauso gut. Dass z. Bsp e^(x) ziemlich schnell groß wird kannst du dir auch an [mm] 3^{x} [/mm] überlegen! [mm] e^{0,5x^{2}} [/mm] und [mm] 3^{0,5x^{2}} [/mm] verhalten sich gleich, nur spezielle Zahlenwerte nicht, aber die rechnet ja dein TR, und auch dein Lehrer könnt das nicht ohne!
(nur ist zufällig in deinem TR [mm] 3^{x} [/mm] nicht so gut drin wie [mm] e^{x}.) [/mm]
Ausserdem ist ab der 1. Ableitung e verschwunden! und Nullstellen gibts eh keine.
Gruss leduart
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Ja vielen dank für die weiteren Erläuterungen. jetzt komme ich mit der Aufgabe auch klar weil die ja ziemlich tricky is wie ich hier so mitbekomme. Noch ma vielen dank, habt mir echt noch ma die Haut gerettet. ^^
liebe grüße
absoluter beginner
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Hi, AbsoluterBeginner,
und vergiss die Grenzwerte nicht!
Vor allem [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] ist wichtig, weil Du hiermit beweisen kannst, dass der Graph Deiner Funktion für x=0 eine senkrechte Asymptote aufweist.
mfG!
Zwerglein
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