Untersuchung gebrochen-rat.-Fk < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | f(x) = (ax+b)/(x²-1) mit a, b > 0
Welche Bedingung müssen a und b erfüllen, damit f kein [genau ein] Extremum hat? Gib eine entsprechende Funktion an und zeichne den Graphen. |
Hallo zusammen!
Ich versuche gerade eine Musterlösung zu einer Aufgabe von uns zu erstellen und stecke dabei bei oben genannter Aufgabe irgendwie fest.
Nun erstmal zum 1. Fall, wo die Bedingung gesucht ist, damit f kein Extremum hat.
Dieser Fall liegt ja eigentlich vor, wenn das notwendige Kriterium für Extremstellen nicht erfüllt ist. Also darf f'(x) nicht 0 werden. Nun brauche ich aber ja eine Bedingung für a und b. Könnte ich da jetzt einfach die erste Ableitung gleich null setzen und nach a oder b auflösen und schreiben, dass diese Abhängigkeit nicht auftreten darf? Wie aber kann ich eine entsprechende Funktion angeben? Kann ich da einfach eine x-beliebige Funktion aufstellen, mit irgendwelchen Beispielswerten?
Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Danke schonmal im Voraus und liebe Grüße,
Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 20.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leite doch [mm] f(x)=\bruch{ax+b}{x^{2}-1} [/mm] erstmal ab, also:
[mm] f'(x)=\bruch{a(x^{2}-1)-(ax+b)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}
[/mm]
Jetzt bestimme mal die Nullstellen von f'(x)
also:
[mm] a(x^{2}-1)-(ax+b)(2x)=0
[/mm]
[mm] \gdw ax^{2}-a-2ax^{2}-2bx=0
[/mm]
[mm] \gdw -ax^{2}-2bx-a=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+\bruch{2b}{a}+1=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=-\bruch{b}{a}\pm\wurzel{\bruch{b^{2}}{a^{2}}-1}
[/mm]
Was kannst du nun über die Lösbarkeit davon sagen.
Wann gibt es zwei Lösungen, wann eine, und wann keine.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hey,
erstmal viele Dank für deine Antwort!
> [mm]\gdw x_{1;2}=-\bruch{b}{a}\pm\wurzel{\bruch{b^{2}}{a^{2}}-1}[/mm]
>
> Was kannst du nun über die Lösbarkeit davon sagen.
> Wann gibt es zwei Lösungen, wann eine, und wann keine.
ok, also gibt genau eine Lösung wenn a = b ist.
Und keine Lösung, wenn a > b ist und zwei Lösungen, wenn a < b ist (?) Ist das so richtig oder hab ich da jetzt nen Denkfehler?
Bedeutet das jetzt, dass f kein Extremum besitzt, wenn a > b ist ? Und dementsprechend genau ein Extremum für a = b , oder?
Dann könnte ich bei einer entsprechenden Funktion, die ich ja zeichnen soll, einfach dementsprechend Werte nehmen?
LG Pia
(
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:47 Sa 20.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hey,
> erstmal viele Dank für deine Antwort!
>
> > [mm]\gdw x_{1;2}=-\bruch{b}{a}\pm\wurzel{\bruch{b^{2}}{a^{2}}-1}[/mm]
>
> >
> > Was kannst du nun über die Lösbarkeit davon sagen.
> > Wann gibt es zwei Lösungen, wann eine, und wann
> keine.
>
> ok, also gibt genau eine Lösung wenn a = b ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und keine Lösung, wenn a > b ist und zwei Lösungen, wenn
> a < b ist (?) Ist das so richtig oder hab ich da jetzt nen
> Denkfehler?
>
> Bedeutet das jetzt, dass f kein Extremum besitzt, wenn a >
> b ist ? Und dementsprechend genau ein Extremum für a = b ,
> oder?
Fast.
Damit keine Lösung auftritt, muss ja gelten:
[mm] \bruch{b^{2}}{a^{2}}-1<0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{b^{2}}{a^{2}}<1
[/mm]
[mm] \gdw b^{2}
Jetzt musst du über den Betrag arbeiten also
[mm] \gdw b^{2}
[mm] \gdw|b|>|a|
[/mm]
> Dann könnte ich bei einer entsprechenden Funktion, die
> ich ja zeichnen soll, einfach dementsprechend Werte
> nehmen?
>
> LG Pia
Marius
> (
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
> Damit keine Lösung auftritt, muss ja gelten:
> [mm]\bruch{b^{2}}{a^{2}}-1<0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{b^{2}}{a^{2}}<1[/mm]
> [mm]\gdw b^{2}
> Jetzt musst
> du über den Betrag arbeiten also
> [mm]\gdw b^{2}
> [mm]\gdw|b|>|a|[/mm]
Den letzten Schritt versteh ich nicht... Warum wird aus dem < ein > ? Oder ist das ein Tippfehler?
Wäre es ansonsten nicht egal, ob man das mit dem Betrag macht oder nicht? Weil die Funktion ja mit a, b > 0 gegeben ist?
Lg Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 20.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist nur ein Tippfehler.
Der "Haken" an der Sache ist, dass [mm] (-5)^{2}=25>16=(-4)^{2}, [/mm] obwohl -5<-4
Wenn aber a,b>0 gegeben ist, folgt aus [mm] a^{2}
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
ok, vielen Dank!
Ich glaube ich hab die Aufgabe jetzt verstanden :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
jetzt haben wir gezeigt: Wenn a>b, kann es kein Extremum geben. Wer sagt uns nun, dass es im Falle [mm] $a\ge [/mm] b$ ein Extremum gibt? Noch haben wir ja nur gesehen, dass es in diesen Fällen Stellen gibt, für die die notwendige Bedingung für Extrema erfüllt ist.
Mein Versuch, die potenziellen Extremstellen mit der zweiten Ableitung zu untersuchen, lief (wenn ich mich unterwegs nicht verrechnet habe) darauf hinaus, die beiden Gleichungen [mm] $4b^3-(4\pm4)ab^2-4a^2b+(4\pm4)a^3\pm\wurzel{(\bruch{b^2}{a^2}-1)}(2ab^2+6a^2b)=0$ [/mm] nach [mm] $a,b\in\IR_{>0}$ [/mm] zu lösen, was wohl aussichtslos ist.
Hat irgendjemand eine Lösungsidee? Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ich bin auf ein weiteres Problem gestoßen und zwar bei dem Fall mit genau einem Extremum, denn dort müsste ja laut Rechnung die Bedingung gelten, dass a=b ist. Allerdings ergäbe dies ja als Extremstelle immer x=-1 und bei x=-1 befindet sich eine Definitionslücke. Das bedeutet doch im Grunde, dass es zwar nur für a=b genau ein Extremum geben kann, dies aber nicht möglich ist, da an der Stelle x=-1 eine Definitionslücke ist? Folglich kann es keine Funktion geben, die genau ein Extremum besitzt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pia,
sehr gut beobachtet! Das haben Marius und ich glatt übersehen. Tatsächlich gibt es also im Fall a=b keine Extremstelle.
Vielleicht hat das dein Lehrer auch übersehen. Dann kannst du ihn mal mit deiner Aufmerksamkeit beeindrucken...
Also haben wir für [mm] $a\ge [/mm] b$ auf jeden Fall keine Extremstelle. Für $a<b$ haben wir jeweils zwei Stellen, von denen wir noch nicht wissen, ob sie im Definitionsbereich von f liegen und ob sie tatsächlich Extremstellen sind.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Mir ist das auch erst aufgefallen, als ich versucht habe einen Graphen zu zeichnen und mir der nicht so ganz gefallen hat. Bin dann dem Problem nachgegangen und schließlich darauf gestoßen, dass genau da ja ne Definitionslücke ist.
Beeindrucken wird das wohl eher niemanden, weil mein Kurs einfach zu gut für mich ist ;) Wahrscheinlich haben die das schon beim Lesen der Aufgabenstellung gewusst :D
Nach dem Fall mit den zwei Extremstellen ist ja im Grunde in der Aufgabe nicht gefragt. Habe jetzt aber mal versucht die Stelle x = [mm] -\bruch{b}{a}+ \wurzel{\bruch{b^2}{a^2}-1} [/mm] in f''(x) eingesetzt und bekomme da einen ganz netten Bruch raus [mm] \bruch{-a^4*(a^2-b^2)*(\wurzel{b^2-a^2}-b)}{2*(\wurzel{b^2-a^2}*b+a^2-b^2)^3}
[/mm]
Man müsste ja jetzt theoretisch untersuchen, wann dieser Bruch null wird...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Beeindrucken wird das wohl eher niemanden, weil mein Kurs
> einfach zu gut für mich ist ;) Wahrscheinlich haben die
> das schon beim Lesen der Aufgabenstellung gewusst :D
Ich würde darauf wetten, dass es niemand außer dir bemerkt hat! Vielleicht kannst du ja nach der nächsten Unterrichtsstunde hier posten, was sich ergeben hat. Wäre sehr neugierig darauf (und auf eine vollständige Lösung).
> Nach dem Fall mit den zwei Extremstellen ist ja im Grunde
> in der Aufgabe nicht gefragt. Habe jetzt aber mal versucht
> die Stelle x = [mm]-\bruch{b}{a}+ \wurzel{\bruch{b^2}{a^2}-1}[/mm]
> in f''(x) eingesetzt und bekomme da einen ganz netten Bruch
> raus
> [mm]\bruch{-a^4*(a^2-b^2)*(\wurzel{b^2-a^2}-b)}{2*(\wurzel{b^2-a^2}*b+a^2-b^2)^3}[/mm]
Den Bruch kann man problemlos daraufhin untersuchen, wann er 0 wird: Genau dann wenn der Zähler 0 ist, was genau dann der Fall ist, wenn einer der Faktoren des Zählers 0 ist. Das ist (wie man sich überlegen kann) genau dann der Fall, wenn a=b. Also wäre die zweite Ableitung für b>a an der von dir betrachteten Stelle ungleich 0 und eine Extremstelle läge dort vor - vorausgesetzt, die betrachtete Stelle ist keine der Definitionslücken der Funktion.
Allerdings hatte ich ja eine sehr viel kompliziertere zweite Ableitung an der betrachteten Stelle heraus. Kannst du mal ein paar Zwischenschritte posten? Allein als zweite Ableitung an einer beliebigen Stelle x habe ich schon [mm] $\bruch{(-2a-2b)(x^2-1)^2+(ax^2+2bx+a)(2(x^2-1)(2x))}{(x^2-1)^4}$ [/mm] heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ich arbeite mit meinem CAS sehr eng zusammen, was Ableitungen etc. ergibt, von Hand kann ich das gar nicht (mehr) bei so komplizierten Funktionen ;)
Mit dem CAS ergibt sich als zweite Ableitung:
f''(x) = [mm] \bruch{2*(a*x^3+3*b*x^2+3*a*x+b)}{(x^2-1)^3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich arbeite mit meinem CAS sehr eng zusammen, was
> Ableitungen etc. ergibt, von Hand kann ich das gar nicht
> (mehr) bei so komplizierten Funktionen ;)
Und was machst du in einer Klausur? Also ich habe imemr versucht, Ableitungen zu vermeiden - und zu argumentieren. Vielleicht hilft dir das ja auch mal - so fängt man an, auch mal Sachen zu "sehen" und nciht nur stumpf zu rechnen. Das kann Spaß machen!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
In der Klausur dürfen wir den CAS auch benutzen.
Glaub mir, mir wärs manchmal lieber, dass wir das Teil nie bekommen hätten, ich würde lieber normal rechnen, denken etc. Da wir den CAS benutzen, sind die Aufgaben auch dementsprechend und ohne das Teil ist man meist aufgeschmissen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich arbeite mit meinem CAS sehr eng zusammen, was
> Ableitungen etc. ergibt, von Hand kann ich das gar nicht
> (mehr) bei so komplizierten Funktionen ;)
> Mit dem CAS ergibt sich als zweite Ableitung:
> f''(x) = [mm]\bruch{2*(a*x^3+3*b*x^2+3*a*x+b)}{(x^2-1)^3}[/mm]
Danke! Dann habe ich mich wohl unterwegs verrechnet. Und da du mit CAS die zweite Ableitung an der Stelle [mm] $-\bruch ba+\wurzel{\bruch{b^2}{a^2}-1}$ [/mm] berechnet hast, wird sie auch stimmen. Kannst du mir auch noch die zweite Ableitung an der Stelle [mm] $-\bruch ba-\wurzel{\bruch{b^2}{a^2}-1}$ [/mm] nennen? Dann kann ich die Lösung der Aufgabe neben den natürlich viel schöneren Ideen von Eckhard auch auf diesem Wege nachvollziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ja klar kann ich das machen :)
da kommt bei mir raus:
[mm] \bruch{a^4*((b^2-a^2)^{3/2}- (a^2-b^2)*b}{2*(\wurzel{b^2-a^2}*b-a^2+b^2)^3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> da kommt bei mir raus:
> [mm]\bruch{a^4*((b^2-a^2)^{3/2}- (a^2-b^2)*b}{2*(\wurzel{b^2-a^2}*b-a^2+b^2)^3}[/mm]
Danke! Der Zähler ist für b>a immer >0, also hätten wir auch auf diesem Wege für b>a stets zwei Extremstellen gefunden - vorausgesetzt, die beiden Stellen liegen überhaupt im Definitionsbereich der Funktion. Letzteres untersuche ich gerade noch mithilfe von Eckhards Tipps.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Dann wünsche ich dir noch viel Spaß dabei :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Tatsächlich liegen für b>a zwei Extremstellen vor. Ich fasse somit das Ergebnis der Aufgabe zusammen:
Keine Extremstellen hat die Funktion genau dann, wenn [mm] $a\ge [/mm] b$. Genau eine Extremstelle hat die Funktion für keine Wahl von a und b.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Beeindrucken wird das wohl eher niemanden, weil mein Kurs
> einfach zu gut für mich ist ;)
Würde deinen Kurs mein Ansatz, bei dem man weder die erste noch die zweite Ableitung explizit berechnen muss, beeindrucken? Dann kannst du ja damit angeben, und alle andren zu Tode argumentieren. Die werden wohlmöglich schön gucken, wenn du da die ganze Breisteite an Sätzen über diff.bare und stetige Funktionen rausholst :p
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vermutlich wären sie beeindruckt wenn der Ansatz von MIR käme, aber ich könnte mir gut vorstellen, dass der ein oder andere auch so nen Ansatz zustande bringt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> jetzt haben wir gezeigt: Wenn a>b, kann es kein Extremum
> geben. Wer sagt uns nun, dass es im Falle [mm]a\ge b[/mm] ein
> Extremum gibt? Noch haben wir ja nur gesehen, dass es in
> diesen Fällen Stellen gibt, für die die notwendige
> Bedingung für Extrema erfüllt ist.
Also für die ganze Aufgabe: Da a>0 kann man OBdA[m]a=1[/m] setzen, denn Multiplikation mit einer positven Zahl ändert an der Art und LAge von Maxima und Minima nichts. Dh wir berechnen die Ableitung von [m](x+b)/(x^2-1)[/m], setzen die 0, finden die Nullstellen in Abh. von [m]c>0[/m].
> Mein Versuch, die potenziellen Extremstellen mit der
> zweiten Ableitung zu untersuchen, lief (wenn ich mich
> unterwegs nicht verrechnet habe) darauf hinaus, die beiden
> Gleichungen
> [mm]4b^3-(4\pm4)ab^2-4a^2b+(4\pm4)a^3\pm\wurzel{(\bruch{b^2}{a^2}-1)}(2ab^2+6a^2b)=0[/mm]
> nach [mm]a,b\in\IR_{>0}[/mm] zu lösen, was wohl aussichtslos ist.
>
> Hat irgendjemand eine Lösungsidee? Vielen Dank im Voraus!
Ja, nie im Leben die zweite Ableitung ausrechnen! Es reicht, den Vorzeichenwechsel der Ableitung zu betrachten - wechselt das Vorzeichen um die Nullstelle, haben wir ein Extrema. Im Falle der ganz-rationalen Funktion müssen wir also schauen, ob die Zählernullstellen a.) nungleich den Nennernullstellen und b.) die Vielfachheit nach Kürzen ungerade ist. Das durchzugehen scheint mir simpler. (Beachte dass ich nur eine positve Zahl b habe!)
EDIT: also wir haben OBdA die Funktion [m](x+c)/(x^2-1), c>0[/m]. Falls [m]c>1[/m] hat die Funktion eine Nullstelle links von -1, da die Funktion im Limes gegen unedlich auch gegen 0 geht, muss sie ein Extremum links dieser Nullstelle haben (Satz von Rolle und ein bisschen arbeiten, meine Lieblingswaffe in der Schule! ;)). Für [m]c=1[/m] erhalten [m]1/(x-1)[/m] ohne Extrema. Falls [m]c<1[/m], liegt die Nullstelle zwischen -1 und 0. Darauf solgt, dass das Vorzeichenverhalten für -1 und 1 unterschieldich ist für die Polstelle. Ein Extremum würde dann das Vorhandenseinn eines zweiten Extremums implizieren (kann man alle sohne Ableitung zeigen), und dies würde zu einem b führen, so dass [m](x+c)/(x^2-1)=b[/m] für mindestens drei paarweise verschieden x erfüllt ist, was bei einer Gleichung zweiten Grades nicht sein kann. Also - man kann alles ohne Ableitung lösen. So, btw ...
EDIT 2: warum haben wir für c>1 genau 2 Extrema? Das eine liegt links von -1 (es ist soagr ein Minimum), da die Funktion zwischen den Polstellen das Vorzeichen nicht wechselt, liegt hier auch ein Extremum (ein Maximum) vor. Da die Nullstellender Ableitung das Lösen einer quadratischen Gleichung entspricht, sind wir wieder fertig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Danke schon einmal für die tollen Ideen!
Ich brauche noch etwas Zeit, um die Lösungswege nachzuvollziehen. Melde mich nochmal, wenn ich soweit bin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, nie im Leben die zweite Ableitung ausrechnen! Es
> reicht, den Vorzeichenwechsel der Ableitung zu betrachten -
> wechselt das Vorzeichen um die Nullstelle, haben wir ein
> Extrema. Im Falle der ganz-rationalen Funktion müssen wir
> also schauen, ob die Zählernullstellen a.) nungleich den
> Nennernullstellen und b.) die Vielfachheit nach Kürzen
> ungerade ist. Das durchzugehen scheint mir simpler.
> (Beachte dass ich nur eine positve Zahl b habe!)
Ach ja! Das ich da nicht selbst drauf gekommen bin... Danke!
Reaktion auf deinen zweiten Lösungsweg folgt noch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> EDIT: also wir haben OBdA die Funktion [m](x+c)/(x^2-1), c>0[/m].
> Falls [m]c>1[/m] hat die Funktion eine Nullstelle links von -1, da
> die Funktion im Limes gegen unedlich auch gegen 0 geht,
> muss sie ein Extremum links dieser Nullstelle haben (Satz
> von Rolle und ein bisschen arbeiten, meine Lieblingswaffe
> in der Schule! ;)). Für [m]c=1[/m] erhalten [m]1/(x-1)[/m] ohne Extrema.
> Falls [m]c<1[/m], liegt die Nullstelle zwischen -1 und 0. Darauf
> solgt, dass das Vorzeichenverhalten für -1 und 1
> unterschieldich ist für die Polstelle. Ein Extremum würde
> dann das Vorhandenseinn eines zweiten Extremums implizieren
> (kann man alle sohne Ableitung zeigen), und dies würde zu
> einem b führen, so dass [m](x+c)/(x^2-1)=b[/m] für mindestens
> drei paarweise verschieden x erfüllt ist, was bei einer
> Gleichung zweiten Grades nicht sein kann. Also - man kann
> alles ohne Ableitung lösen. So, btw ...
>
> EDIT 2: warum haben wir für c>1 genau 2 Extrema? Das eine
> liegt links von -1 (es ist soagr ein Minimum), da die
> Funktion zwischen den Polstellen das Vorzeichen nicht
> wechselt, liegt hier auch ein Extremum (ein Maximum) vor.
> Da die Nullstellender Ableitung das Lösen einer
> quadratischen Gleichung entspricht, sind wir wieder
> fertig.
So, jetzt bin ich endlich durch! Sehr schöner Weg, völlig ohne Ableitung!
Zwei Stellen sind mir unklar geblieben:
> Falls [m]c>1[/m] hat die Funktion eine Nullstelle links von -1, da
> die Funktion im Limes gegen unedlich auch gegen 0 geht,
> muss sie ein Extremum links dieser Nullstelle haben (Satz
> von Rolle und ein bisschen arbeiten, meine Lieblingswaffe
> in der Schule! ;)).
Die Existenz des Extremums konnte ich zeigen, jedoch nicht mit dem Satz von Rolle. Erstens sehe ich nicht, auf welches Intervall man ihn anwenden soll. Zum anderen liefert er doch nur eine Stelle mit Ableitung 0, nicht notwendig eine Extremstelle. Wie kommt man so zur Existenz einer Extremstelle?
> und dies würde zu
> einem b führen, so dass [m](x+c)/(x^2-1)=b[/m] für mindestens
> drei paarweise verschieden x erfüllt ist, was bei einer
> Gleichung zweiten Grades nicht sein kann.
Was ist hier mit Gleichung zweiten Grades gemeint? Warum hat eine solche höchstens zwei Lösungen? Ich weiß nur, dass Polynome zweiten Grades höchstens zwei Nullstellen haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Existenz des Extremums konnte ich zeigen, jedoch nicht
> mit dem Satz von Rolle.
Das war flapsig von mir formuliert.
> Erstens sehe ich nicht, auf welches
> Intervall man ihn anwenden soll.
Gedanklich auf das [-unendlich, erste Nullstelle] ;) Ein bisschen Arbeit muss man da reinstecken!
> Zum anderen liefert er
> doch nur eine Stelle mit Ableitung 0, nicht notwendig eine
> Extremstelle. Wie kommt man so zur Existenz einer
> Extremstelle?
Der Beweis von Rolle liefert das ... eigtl. ist es ja nicht Rolle, sondern stetige Funktionen nehmen auf kompakte Max und Min an. Aber die Stelle, die uns der Beweis liefert, ist tatsächlich eine Extremalstelle.
> > und dies würde zu
> > einem b führen, so dass [m](x+c)/(x^2-1)=b[/m] für mindestens
> > drei paarweise verschieden x erfüllt ist, was bei einer
> > Gleichung zweiten Grades nicht sein kann.
> Was ist hier mit Gleichung zweiten Grades gemeint? Warum
> hat eine solche höchstens zwei Lösungen? Ich weiß nur,
> dass Polynome zweiten Grades höchstens zwei Nullstellen
> haben.
Okay, eine *Polynom*gleichung zweiten Grades (wenn man mit dem HN multipliziert). So meinte ich das, womit wir uns ja einig sind.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Zum anderen liefert er
> > doch nur eine Stelle mit Ableitung 0, nicht notwendig eine
> > Extremstelle. Wie kommt man so zur Existenz einer
> > Extremstelle?
>
> Der Beweis von Rolle liefert das ... eigtl. ist es ja nicht
> Rolle, sondern stetige Funktionen nehmen auf kompakte Max
> und Min an. Aber die Stelle, die uns der Beweis liefert,
> ist tatsächlich eine Extremalstelle.
Ja, so hatte ich das auch!
> > > und dies würde zu
> > > einem b führen, so dass [m](x+c)/(x^2-1)=b[/m] für mindestens
> > > drei paarweise verschieden x erfüllt ist, was bei einer
> > > Gleichung zweiten Grades nicht sein kann.
> > Was ist hier mit Gleichung zweiten Grades gemeint?
> Warum
> > hat eine solche höchstens zwei Lösungen? Ich weiß nur,
> > dass Polynome zweiten Grades höchstens zwei Nullstellen
> > haben.
>
> Okay, eine *Polynom*gleichung zweiten Grades (wenn man mit
> dem HN multipliziert). So meinte ich das, womit wir uns ja
> einig sind.
Ach ja, sorry. War gerade zu doof diese einfache Gleichungsumformung zu erkennen. Was ist bloß heute mit mir los?
Danke für deine Hilfe!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:25 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > Hey,
> > erstmal viele Dank für deine Antwort!
> >
> > > [mm]\gdw x_{1;2}=-\bruch{b}{a}\pm\wurzel{\bruch{b^{2}}{a^{2}}-1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was kannst du nun über die Lösbarkeit davon sagen.
> > > Wann gibt es zwei Lösungen, wann eine, und wann
> > keine.
> >
> > ok, also gibt genau eine Lösung wenn a = b ist.
Hallo,
hier müsste es (erst einmal) heißen |a|=|b|. Es ist also auch a=-b möglich.
Wie groß ist denn nun die "eine Lösung" x?
Die Wurzel ist sowohl für a=b als auch für a=-b Null, und der Ausdruck [mm] \bruch{-b}{a} [/mm] ist je nach Fall -1 oder 1. Diese beiden x-Werte sind aber laut Definitionsbereich VERBOTEN.
Gruß Abakus
>
>
>
> > Und keine Lösung, wenn a > b ist und zwei Lösungen, wenn
> > a < b ist (?) Ist das so richtig oder hab ich da jetzt nen
> > Denkfehler?
> >
> > Bedeutet das jetzt, dass f kein Extremum besitzt, wenn a >
> > b ist ? Und dementsprechend genau ein Extremum für a = b ,
> > oder?
>
> Fast.
>
> Damit keine Lösung auftritt, muss ja gelten:
> [mm]\bruch{b^{2}}{a^{2}}-1<0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{b^{2}}{a^{2}}<1[/mm]
> [mm]\gdw b^{2}
> Jetzt musst
> du über den Betrag arbeiten also
> [mm]\gdw b^{2}
> [mm]\gdw|b|>|a|[/mm]
>
> > Dann könnte ich bei einer entsprechenden Funktion, die
> > ich ja zeichnen soll, einfach dementsprechend Werte
> > nehmen?
> >
> > LG Pia
>
> Marius
> > (
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:41 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> hier müsste es (erst einmal) heißen |a|=|b|. Es ist
> also auch a=-b möglich.
Prinzipiell ja alles richtig, wenn nicht [m]a,b>0[/m] laut Aufgabenstellung wäre ...
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo abakus,
> hier müsste es (erst einmal) heißen |a|=|b|. Es ist also auch a=-b möglich.
In der Aufgabenstellung sind a und b als >0 vorausgesetzt. also ist $a=-b$ gar nicht möglich.
Viele Grüße
Tobias
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