Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Di 03.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe:
V ist ein k-Vektorraum, [mm] v,v'$\in$ [/mm] V und W,W' [mm] $\subseteq [/mm] V$ zwei Untervektorräume. Zu Zeigen:
1) [mm] $\forall$ $u\in$v+W [/mm] gilt: v+W=u+W
2) aus v+W=v'+W' folgt [mm] v'-v$\in$W' [/mm] und W=W' |
Ich finde irgendwie keinen Anfang.
Im ersten geht es um die affiner Teilräume, weiss ich aber nicht genau.
Ich wäre sehr Dankbar für eure Tipps!!
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> Hallo,
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> Ich habe folgende Aufgabe:
>
> V ist ein k-Vektorraum, v,v'[mm]\in[/mm] V und W,W' [mm]\subseteq V[/mm] zwei
> Untervektorräume. Zu Zeigen:
>
> 1) [mm]\forall[/mm] [mm]u\in[/mm]v+W
Hallo,
was bedeutet es denn, wenn [mm] u\in [/mm] v+W ?
> gilt: v+W=u+W
Zu zeigen ist hierfür:
A. [mm] x\in [/mm] v+W ==> [mm] x\in [/mm] u+W
B. [mm] x\in [/mm] u+W ==> [mm] x\in [/mm] v+W.
Zu A.
sei [mm] x\in [/mm] v+W.
Dann ist x= v+w'' mit [mm] w''\in [/mm] W
==> x=u+ ...
Versuch jetzt mal ein bißchen.
Wichtig ist, daß Du verstehst, was damit gemeint ist, wenn [mm] a\in [/mm] b+W.
LG Angela
> 2) aus v+W=v'+W' folgt v'-v[mm]\in[/mm]W' und W=W'
> Ich finde irgendwie keinen Anfang.
> Im ersten geht es um die affiner Teilräume, weiss ich
> aber nicht genau.
>
> Ich wäre sehr Dankbar für eure Tipps!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Di 03.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Hallo,
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> was bedeutet es denn, wenn [mm]u\in[/mm] v+W ?
>
>
> > gilt: v+W=u+W
>
> Zu zeigen ist hierfür:
>
> A. [mm]x\in[/mm] v+W ==> [mm]x\in[/mm] u+W
> B. [mm]x\in[/mm] u+W ==> [mm]x\in[/mm] v+W.
>
> Zu A.
>
> sei [mm]x\in[/mm] v+W.
> Dann ist x= v+w'' mit [mm]w''\in[/mm] W
>
> ==> x=u+ ...
>
> Versuch jetzt mal ein bißchen.
>
Ok...
x=u+W=u+w''
Da x=v+w''=u+w'' folgt v=u. Oder?
Zu B.
Sei [mm] x$\in$ [/mm] u+W dann x=u+w' mit [mm] w'$\in$W
[/mm]
x=v+W=v+w' ==> x=u+w'=v+w' ==> u=v
Und Punkt2:
Sei v,v' Vektoren aus V und w,w' [mm] $\in$W' [/mm] Untervektorraum.
v=a+w
v'=a+w'
Da W' ein UVR
v-v'= a+w-(a+w')=w-w' [mm] $\in$W'
[/mm]
Bin mir nicht sicher....
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> > Hallo,
> >
> > was bedeutet es denn, wenn [mm]u\in[/mm] v+W ?
Hallo,
offenbar ist Dir das nicht klar.
v+W ist eine Menge.
[mm] u\in [/mm] v+W <==> es gibt ein [mm] w\in [/mm] W mit u=v+w.
Machen wir mal Beispiele.
Sei [mm] v:=\vektor{1\\0\\0}, W:=<\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}>.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{-4\\-4\\-3}\in [/mm] v+W, denn [mm] \vektor{-4\\-4\\-3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{\vektor{-5\\-4\\-3}}_{\in W}.
[/mm]
In v+W ist auch [mm] \vektor{2\\2\\3} [/mm] , denn [mm] \vektor{2\\2\\3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{ \vektor{1\\2\\3}}_{\in W}.
[/mm]
> >
> >
> > > gilt: v+W=u+W
> >
> > Zu zeigen ist hierfür:
> >
> > A. [mm]x\in[/mm] v+W ==> [mm]x\in[/mm] u+W
> > B. [mm]x\in[/mm] u+W ==> [mm]x\in[/mm] v+W.
> >
> > Zu A.
> >
> > sei [mm]x\in[/mm] v+W.
> > Dann ist x= v+w'' mit [mm]w''\in[/mm] W
> >
> > ==> x=u+ ...
> >
> > Versuch jetzt mal ein bißchen.
> >
> Ok...
>
> x=u+W=u+w''
Das ist schon Kokolores.
Es kann nicht u+W=u+w'' sein, denn links steht eine Menge, rechts ein Element.
> Da x=v+w''=u+w''
Warum ist das so? (Es ist nicht so...).
So, wir laufen Gefahr, daß es gleich ein Heidenchaos gibt.
Wir beginnen von vorn und schreiben nochmal hin, was gezeigt werden soll:
| Aufgabe 1 | V sei ein K-Vektorraum, v,v'$ [mm] \in [/mm] $ V und W,W' $ [mm] \subseteq [/mm] V $ zwei Untervektorräume. Zu Zeigen:
1) $ [mm] \forall [/mm] $ $ [mm] u\in [/mm] $v+W gilt: v+W=u+W |
Beweis: sei [mm] u\in [/mm] v+W, dh. es gibt ein [mm] w\in [/mm] W mit u=v+w.
A. Sei [mm] x\in [/mm] v+W.
(Zeigen wollen wir, daß x dann auch in u+W ist.)
Dann gibt es ein w'' [mm] \in [/mm] W mit
x=v+w''
(Da wir haben möchten, daß [mm] x\in [/mm] u+W, müssen wir x erstmal schreiben als u+irgendwas)
=u-u+v+w''
=u+(-u+v+w'')
(jetzt muß man überlegen, warum die Klammer in W ist.)
=u+(-(v+w)+v+w'')
=u+ (w''-w) [mm] \in [/mm] u+W, denn [mm] w''-w\in [/mm] W, weil ...
(Jetzt die umgekehrte Richtung)
B. Sei [mm] x\in [/mm] u+W.
Dann ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..., also ist [mm] x\in [/mm] v+W.
| Aufgabe 2 | | 2) aus v+W=v'+W' folgt v'-v$ [mm] \in [/mm] $W' und W=W' |
Sei v+W=v'+W'
Es ist [mm] v=v+0\in [/mm] v+W, also ist nach Voraussetzung [mm] v\in [/mm] v'+W'.
Also gibt es ein [mm] w'\in [/mm] W' mit v=v'+w'.
Es ist v'-v=... [mm] \in [/mm] W', denn ...
Aus v+W= v'+W' folgt W=(v'-v)+W'=...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo,
>
> offenbar ist Dir das nicht klar.
>
> v+W ist eine Menge.
>
> [mm]u\in[/mm] v+W <==> es gibt ein [mm]w\in[/mm] W mit u=v+w.
>
>
>
> Machen wir mal Beispiele.
>
> Sei [mm]v:=\vektor{1\\0\\0}, W:=<\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}>.[/mm]
>
> Es ist [mm]\vektor{-4\\-4\\-3}\in[/mm] v+W, denn
> [mm]\vektor{-4\\-4\\-3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{\vektor{-5\\-4\\-3}}_{\in W}.[/mm]
>
> In v+W ist auch [mm]\vektor{2\\2\\3}[/mm] , denn
> [mm]\vektor{2\\2\\3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{ \vektor{1\\2\\3}}_{\in W}.[/mm]
Sorry ....Um weiter zu kommen muss ich erstmal dein Beispiel verstehen..
Wie kommst du auf den Vektor [mm] $\vektor{-4\\-4\\-3}$
[/mm]
Hier hast du addiert, oder
[mm] $\vektor{2\\2\\3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{ \vektor{1\\2\\3}}_{\in W}$
[/mm]
Also was mich erstmal interessiert...
Du sagst u ist eine Menge, kein Richtungsvektor..?
Kannst du mir bitte das erklären, oder wo ich mehr darüber lesen kann? Weil ich momentan die Grundlagen nicht verstehe.
Danke!
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> Hallo,
> >
> > offenbar ist Dir das nicht klar.
> >
> > v+W ist eine Menge.
> >
> > [mm]u\in[/mm] v+W <==> es gibt ein [mm]w\in[/mm] W mit u=v+w.
> >
> >
> >
> > Machen wir mal Beispiele.
> >
> > Sei [mm]v:=\vektor{1\\0\\0}, W:=<\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}>.[/mm]
>
> >
> > Es ist [mm]\vektor{-4\\-4\\-3}\in[/mm] v+W, denn
> >
> [mm]\vektor{-4\\-4\\-3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{\vektor{-5\\-4\\-3}}_{\in W}.[/mm]
>
> >
> > In v+W ist auch [mm]\vektor{2\\2\\3}[/mm] , denn
> > [mm]\vektor{2\\2\\3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{ \vektor{1\\2\\3}}_{\in W}.[/mm]
>
> Sorry ....Um weiter zu kommen muss ich erstmal dein
> Beispiel verstehen..
> Wie kommst du auf den Vektor [mm]\vektor{-4\\-4\\-3}[/mm]
Hallo,
den Vektor [mm] \vektor{-4\\-4\\-3} [/mm] habe ich mir ausgedacht.
Und dann habe ich gezeigt, daß er in der Menge v+W liegt, denn ich kann ihn schreiben als Summe von v und einem Element aus W, nämlich als
[mm]\vektor{-4\\-4\\-3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{\vektor{-5\\-4\\-3}}_{\in W}[/mm]
[mm] =\vektor{-4\\-4\\-3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{3\vektor{1\\2\\3}-2\vektor{4\\5\\6}}_{\in W}
[/mm]
> Hier hast du addiert, oder
> [mm]\vektor{2\\2\\3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{ \vektor{1\\2\\3}}_{\in W}[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{2\\2\\3} [/mm] ist auch einer von vielen Vektoren aus v+W, denn ich kann ihn schreiben als Summe von v und einem Element aus W, nämlich als
[mm] \vektor{2\\2\\3}=\vektor{1\\0\\0}+\underbrace{ \vektor{1\\2\\3}}_{\in W}.
[/mm]
Die Def. von v+W lautet ja: [mm] v+W:=\{v+w|w\in W\}.
[/mm]
Da sind alle Elemente drin, die man schreiben kann als Summe von v und einem Element aus W.
W ist die lineare Hülle (=Span =Erzeugnis) von [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{4\\5\\6}, [/mm] also sind in W alle Linearkombinationen der beiden.
Damit bekommen wir
[mm] v+W=\{\vektor{1\\0\\0}+r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{4\\5\\6}| r,s\in \IR\}.
[/mm]
>
> Also was mich erstmal interessiert...
> Du sagst u ist eine Menge, kein Richtungsvektor..?
??? Wo hab' ich denn das gesagt? Es wäre hilfreich, wenn Du mitzitieren würdest, worauf Du Dich beziehst.
Wahrscheinlich meinst Du dies:
"Es kann nicht u+W=u+w'' sein, denn links steht eine Menge, rechts ein Element."
Mit "links" ist natürlich "links des Gleichheitszeichens" gemeint, "rechts" meint "rechts des Gleichheitszeichens".
> Kannst du mir bitte das erklären, oder wo ich mehr
> darüber lesen kann?
Die erste Instanz wäre Dein Skript/Deine Mitschrift.
Unter welchem Thema läuft das denn gerade bei Euch? Affine Räume? Oder ist das Thema der Quotientenraum?
Ich hatte zur Vorlesung halt immer noch ein paar Bücher daheim, in denen ich die gerade behandelten Themen nachschlagen konnte. Muß man halt gucken, welches einem gefällt und halbwegs zur Vorlesung paßt.
> Weil ich momentan die Grundlagen nicht
> verstehe.
Wichtig ist halt zunächst, daß Dir Dinge wie die Definition von v+W bekannt sind.
Und dann kann man sich auch immer mal selbst ein Beispiel basteln, wie ich es oben tat, um den Begriffen Leben einzuhauchen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Do 05.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo ,
> 2) aus v+W=v'+W' folgt v'-v[mm] \in [/mm]W' und W=W'
>
>
> Sei v+W=v'+W'
>
> Es ist [mm]v=v+0\in[/mm] v+W, also ist nach Voraussetzung [mm]v\in[/mm]
> v'+W'.
>
> Also gibt es ein [mm]w'\in[/mm] W' mit v=v'+w'.
>
> Es ist v'-v=... [mm]\in[/mm] W', denn ...
> Aus v+W= v'+W' folgt W=(v'-v)+W'=...
==>Null, da (v'-(v'+w'))+w'=0
>
>
> LG Angela
v+W=v'+W' d.h es gibt ein w [mm] $\in$ [/mm] W und w' [mm] $\in$ [/mm] W' mit v+w=v'+w'
Wenn w=0
dann v=v'+w'
w=w'+(v'-v) folgt w=w'-(v-v') [mm] $\in$ [/mm] W'
Ich weiss nicht mehr weiter
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> Hallo ,
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> > 2) aus v+W=v'+W' folgt v'-v[mm] \in [/mm]W' und W=W'
> >
> >
> > Sei v+W=v'+W'
> >
> > Es ist [mm]v=v+0\in[/mm] v+W, also ist nach Voraussetzung [mm]v\in[/mm]
> > v'+W'.
> >
> > Also gibt es ein [mm]w'\in[/mm] W' mit v=v'+w'.
> >
> > Es ist v'-v=... [mm]\in[/mm] W', denn ...
>
>
> > Aus v+W= v'+W' folgt W=(v'-v)+W'=...
>
> ==>Null, da (v'-(v'+w'))+w'=0
Hallo,
was soll denn "daraus folgt Null" bedeuten? Was ist gleich Null? Das müßte man schon sagen.
Wir hatten: aus v+W= v'+W' folgt W=(v'-v)+W'.
Da es aufgrund der Voraussetzung ein [mm] w'\in [/mm] W' gibt mit v=v'+w', bekommt man
W=(v'-v)+W'=(v'-(v'+w'))+W'=-w'+W'.
Nun muß man sich überlegen, daß -w'+W'=W' ist.
Daß [mm] -w'+W'\subseteq [/mm] W', ist klar.
Sei nun [mm] x\in [/mm] W'. Es ist [mm] x=-w'+(w'+x)\in [/mm] -w'+W'.
Also ist auch [mm] W'\subseteq [/mm] -w'+W' und damit hat man die Gleichheit.
>
Was möchtest Du jetzt zeigen?
Es hilft dem Leser und vo allem auch Dir, wenn Du es genau sagst.
> v+W=v'+W' d.h es gibt ein w [mm]\in[/mm] W und w' [mm]\in[/mm] W' mit
> v+w=v'+w'
Nein. Du mußt genauer arbeiten.
Es ist so:
zu jedem [mm] w\in [/mm] W findet man ein passendes [mm] w'\in [/mm] W' so, daß v+w=v'+w'.
Also
> Wenn w=0,
dann findet man ein passendes [mm] w'\in [/mm] W' mit
v+0=
> v=v'+w'
Wenn Du jetzt noch wüßtest, was Du zeigen willst, wäre das sicher hilfreich.
Du willst zeigen, daß [mm] v'-v\in [/mm] W'.
Was ist v'-v?
Es ist v'-v=v'-(v'+w')=-w',
und vielleicht findest Du einen Grund dafür, daß das in W' ist.
LG Angela
>
> w=w'+(v'-v) folgt w=w'-(v-v') [mm]\in[/mm] W'
>
> Ich weiss nicht mehr weiter
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | 1)Für alle [mm] u$\in$ [/mm] v+w gilt:
v+W=u+W
2) Aus v+W=v'+W'
Folgt [mm] v'-v$\in$W' [/mm] u d W=W' |
Hallo Angela,
Ich habe jetzt nochmal alles zusammengefasst, was du mir erklärt hast.
Kannst du bitte einen Blick darauf werfen, da ich mir noch nicht sicher bin ob ich alles soweit verstanden habe.
Danke!
1.)
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Sei u [mm] $\in$ [/mm] v+W d.h. Es gibt ein [mm] w$\in$W [/mm] mit u=v+w.
Sei [mm] x$\in$ [/mm] v+W mit [mm] w'$\in$ [/mm] W und x=v+w'.
Zu zeigen: [mm] u$\in$ [/mm] v+W schreibe ich u als
x=u+(-u)+v+w' dabei u=v+w
x=u+(-(v+w)+v+w'
x=u+(w'-w) da [mm] w,w'$\in [/mm] $W dann x=u+W
[mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Sei [mm] x$\in$ [/mm] u+W d.h es gibt ein w'' [mm] $\in$ [/mm] W mit x= u+w''
Sei [mm] u$\in$ [/mm] v+W d.h. es gibt ein [mm] w$\in [/mm] $ W mit u=v+w
Zu zeigen: x=v+W
x=u+w''= v+(-v)+u+w''
x=v+(-v+u+w'')=v+(w+w'')=v+W da [mm] w,w''$\in [/mm] $ W
2.)
Sei v+w=v'+w' mit [mm] w$\inW [/mm] und [mm] w'$\in$ [/mm] W'
Setzen wir w=0 , dann v=v'+w' [mm] $\rightarrow$ [/mm] v-v'= w' mit [mm] w'$\in$ [/mm] W
d.h. [mm] v-v'$\in$ [/mm] W' (ist das richtig?)
Zu zeigen W=W' aus v+W=v'+W'
[mm] W=(v'-v)+w'=(v'-($\underbrace{v'+w'}_{v}$))+w'=-w'+W'
[/mm]
[mm] -w'+W'$\in$W'
[/mm]
Also W=W'
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> 1)Für alle u[mm]\in[/mm] v+W gilt:
> v+W=u+W
>
> 2) Aus v+W=v'+W'
> Folgt v'-v[mm]\in[/mm]W' u d W=W'
> 1.)
[mm]\Rightarrow[/mm]
> Zu zeigen:
[mm] x\in [/mm] v+W ==> [mm] x\in [/mm] u+W
> Sei u [mm]\in[/mm] v+W d.h. Es gibt ein w[mm]\in[/mm]W mit u=v+w.
>
> Sei x[mm]\in[/mm] v+W
Dann gibt es ein
> w'[mm]\in[/mm] W
mit
> x=v+w'.
(Null addieren, damit das u im Rennen ist)
> x=u+(-u)+v+w'
>dabei wegen u=v+w
> x=u+(-(v+w))+v+w'
> x=u+(w'-w) ,
> da w,w'[mm]\in [/mm]W
und W ein Untervektorraum, ist [mm] w'-w\in [/mm] W, also
>dann x=u+W.
>
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
Zu zeigen: [mm] x\in [/mm] u+W ==> [mm] x\in [/mm] v+W
>
> Sei x[mm]\in[/mm] u+W d.h es gibt ein w'' [mm]\in[/mm] W mit x= u+w''
>
> Sei Da u[mm]\in[/mm] v+W d.h. es gibt gibt es ein ein w[mm]\in[/mm] W mit u=v+w
> Zu zeigen: x=v+W
Nein. Zu zeigen ist [mm] x\in [/mm] v+W
> x=u+w''= v+(-v)+u+w''
> x=v+(-v+u+w'')=
v+(-v+(v+w)+w''=
> v+(w+w'')=v+W da w,w''[mm]\in[/mm] W
Den Part könntest Du schneller haben: [mm] x=u+w''=(v+w)+w''=v+(w+w'')\in [/mm] v+W
>
> 2.)
Sei v+W=v'+W'.
für jedes [mm] w\in [/mm] W findet man dann ein [mm] w'\in [/mm] W', so daß v+w=v'+w'
> Setzen wir w=0 , dann
gibt es also ein passendes [mm] w'\in [/mm] W' mit
> v=v'+w' [mm]\rightarrow[/mm] v-v'= w' mit
> w'[mm]\in[/mm] W
> d.h. v-v'[mm]\in[/mm] W' (ist das richtig?)
Ja.
>
> Zu zeigen W=W' aus v+W=v'+W'
Sei v+W=v'+W'.
Dann ist [mm] W=\underbrace {(v'-v)}_{\in W'}+W'
[/mm]
Wir zeigen nun noch, daß (v'-v)+W'=W'.
1. sei [mm] x\in [/mm] (v'-v)+W'.
Dann gibt es ein [mm] w'\inW [/mm] mit [mm] x=(v'-v)+w'\in [/mm] W', weil W' UVR.
2. Sei [mm] w'\in [/mm] W'.
w'= [mm] (v'-v)+\underbrace{(v-v')+w'}_{\in W'}\in [/mm] (v'-v)+W'.
Insgesamt hat man nun W=(v'-v)+W'=W'
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 So 08.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Ohje! Eine Menge Korrektur!
Danke!!
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