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| Aufgabe | Es sei V ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum und U [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum. Zeigen sie:
a) Für v, v' [mm] \in [/mm] V ist v+U=v'+U genau dann wenn v-v' [mm] \in [/mm] U. Insbesondere ist v+U=U genau dann, wenn v [mm] \in [/mm] U
b)Auf V wird duch
$v~v' [mm] \gdw [/mm] v-v' [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] v+U=v'+U für v, v' [mm] \in [/mm] V
eine Äquivalenzrelation eingeführt |
Mag vielleicht mal einer hier drüber schauen. Ich bin mir nicht sicher, ob das so korrekt ist.
a)
1)
v+U=U [mm] \gdw v\in [/mm] U
ist trivial, denn wenn u [mm] \in [/mm] U dann ist v+u [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] v [mm] \in [/mm] U
2)
v-v' [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U mit u=v-v'
u+U = U [mm] \gdw [/mm] v-v'+U=U [mm] \gdw [/mm] v+U=v'+
U
b)
Reflexivität:
v+U=v+U [mm] \Rightarrow [/mm] wahr
Symmetrie:
v+U=v'+U [mm] \gdw [/mm] v'+U=v+U
Transitivität:
v+U=v'+U; v'+U=v'' + U [mm] \Rightarrow [/mm] v+U=v''+U
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Di 28.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei V ein [mm]\IR[/mm] - Vektorraum und U [mm]\subset[/mm] V ein
> Untervektorraum. Zeigen sie:
> a) Für v, v' [mm]\in[/mm] V ist v+U=v'+U genau dann wenn v-v' [mm]\in[/mm]
> U. Insbesondere ist v+U=U genau dann, wenn v [mm]\in[/mm] U
> b)Auf V wird duch
> $v~v' [mm]\gdw[/mm] v-v' [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] v+U=v'+U für v, v' [mm]\in[/mm] V
> eine Äquivalenzrelation eingeführt
> Mag vielleicht mal einer hier drüber schauen. Ich bin mir
> nicht sicher, ob das so korrekt ist.
>
> a)
> 1)
> v+U=U [mm]\gdw v\in[/mm] U
> ist trivial, denn wenn u [mm]\in[/mm] U dann ist v+u [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] v
> [mm]\in[/mm] U
naja, ich würde es (gerade anfangs) ein wenig übersichtlicher aufschreiben, und zum Teil auch ein wenig anders:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Sei $v [mm] \in [/mm] V$ und es gelte die Gleichheit [mm] $v+U\,=U\,.$ [/mm] Wegen $U [mm] \subset [/mm] V$ Untervektorraum ist insbesondere $0 [mm] \in U\,.$ [/mm] Somit gilt $v=v+0 [mm] \in [/mm] v+U$, also wegen $v+U=U$ damit $v [mm] \in U\,.$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Gelte nun $v [mm] \in U\,.$ [/mm] Zu zeigen ist nun, dass $v+U=U$ gilt.
1.) Zu zeigen ist $v+U [mm] \subset [/mm] U$:
Das ergibt sich aber gerade aus der Untervektorraumeigenschaft von [mm] $U\,$ [/mm] und weil $v [mm] \in [/mm] U$ (genauer: Für jedes $u [mm] \in [/mm] U$ gilt $v+u [mm] \in U,\,$ [/mm] da $v,u [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $U\,$ [/mm] Untervektorraum).
2.) Zu zeigen ist zudem, dass $U [mm] \subset [/mm] v+U$:
Das ergibt sich, weil man jedes beliebige $u [mm] \in [/mm] U$ schreiben kann als $u=v+x$ mit einem $x [mm] \in U\,.$ [/mm] Dazu setze einfach [mm] $x:=u-v\,.$ [/mm] Zu begründen ist dabei noch kurz, dass $x [mm] \in [/mm] U$ gilt, was Dir sicher gelingen wird.
> 2)
> v-v' [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw \exists[/mm] u [mm]\in[/mm] U mit u=v-v'
> u+U = U [mm]\gdw[/mm] v-v'+U=U [mm]\gdw[/mm] v+U=v'+ U
Hier gehst Du etwas zu leichtfertig mit einer Mengengleichheit um:
$$v-v'+U=U [mm] \gdw [/mm] v+U=v'+ [mm] U\,.$$
[/mm]
Wie begründest Du denn, dass Du hier einfach "wie gewohnt" rechnen darfst und quasi bei beiden Mengen [mm] "$+v'\,$" [/mm] (bzw. $-v'$) rechnen (und dann auch "zusammenfassen" ) kannst, ohne dass die Gleichheit verletzt wird? Das ist ja nichts 'offensichtliches'.
(Genauer: Woher weißt Du, dass $v'+(v-v'+U)=v+U$ gilt?)
Auch hier empfiehlt sich folgende Vorgehensweise:
Wir setzen generell $v, v' [mm] \in [/mm] V$ voraus. Zu zeigen ist nun:
$$v +U=v' +U [mm] \gdw [/mm] v-v' [mm] \in U\,.$$
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Es gelte [mm] $v+U=v'+U\,.$ [/mm] Ist $x [mm] \in v+U,\,$ [/mm] so gilt auch $x [mm] \in v'+U\,.$ [/mm] Damit existieren Darstellungen [mm] $x=v+u_1$ [/mm] und [mm] $x=v'+u_2$ [/mm] mit einem [mm] $u_1, u_2 \in U\,.$ [/mm] Es folgt [mm] $\underbrace{v-v'}_{\in V}=(x-u_1)-(x-u_2)=u_2-u_1\,.$ [/mm] Erkennst Du nun, warum damit $v-v' [mm] \in [/mm] U$ gelten muss?
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Es gelte $v-v' [mm] \in U\,.$ [/mm] Du hast nun zu zeigen:
1.) $v+U [mm] \subset [/mm] v'+U$:
Jedes $x [mm] \in [/mm] v+U$ hat eine Darstellung $x=v+u$ mit einem $u [mm] \in U\,,$ [/mm] und nun läßt sich schreiben:
[mm] $$x=v+u=v'+(v-v')+u=v'+\tilde{u}\,,$$
[/mm]
wobei Du noch kurz [mm] $\tilde{u}=(v-v')+u \in [/mm] U$ begründen solltest.
2.) $v'+U [mm] \subset [/mm] v+U$:
Das geht vollkommen analog zu 1.).
> b)
> Reflexivität:
> v+U=v+U [mm]\Rightarrow[/mm] wahr
Du solltest auch schreiben, dass $v+U=v+U$ für jedes $v [mm] \in [/mm] V$ gilt. Damit ist die Reflexivität trivial.
> Symmetrie:
> v+U=v'+U [mm]\gdw[/mm] v'+U=v+U
Auch hier sollte irgendwo stehen: Für alle $v, v' [mm] \in [/mm] V$ gilt...
> Transitivität:
> v+U=v'+U; v'+U=v'' + U [mm]\Rightarrow[/mm] v+U=v''+U
Auch hier sollte irgendwo stehen: Für alle $v, v', v'' [mm] \in [/mm] V$ gilt...
Im Prinzip erhältst Du also, dass [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $V\,$ [/mm] ist, durch die in a) gezeigten Eigenschaften und den Eigenschaften von "Mengengleichheiten":
[mm] $$A=A\,; \text{ wenn }A=B \text{, dann auch }B=A;\; \text{ wenn }A=B\text{ und }B=C,\, \text{ dann auch }A=C\;\text{ für Mengen }A,B,C\,.$$
[/mm]
Die in a) gegebene Charakterisierung $v [mm] \sim [/mm] v': [mm] \gdw \blue{v-v' \in U \gdw v+U=v'+U}$ [/mm] erleichtert es also enorm, zu erkennen, dass [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $V\,$ [/mm] ist. Hätte man diese Charakterisierung nicht, könnte man es dennoch auch per Hand nachrechnen:
$v [mm] \sim [/mm] v$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$ ist klar, da $v-v=0 [mm] \in [/mm] U$ für jedes $v [mm] \in V\,.$
[/mm]
$v [mm] \sim [/mm] v' [mm] \gdw [/mm] v' [mm] \sim [/mm] v$ für alle $v, v' [mm] \in [/mm] V$ ergibt sich, da $v-v' [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] -(v-v')=v'-v [mm] \in U\,.$
[/mm]
$v [mm] \sim [/mm] v'$ und $v' [mm] \sim [/mm] v''$ liefert $v [mm] \sim [/mm] v''$ für alle $v,v',v'' [mm] \in V,\,$ [/mm] denn dies folgt aus $v-v''=(v-v')+(v'-v'') [mm] \in U,\,$ [/mm] da nach Voraussetzung $v-v', v'-v'' [mm] \in [/mm] U$ gilt und [mm] $U\,$ [/mm] Untervektorraum ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:23 Mi 29.07.2009 | | Autor: | derdickeduke |
> Hier gehst Du etwas zu leichtfertig mit einer
> Mengengleichheit um:
> [mm]v-v'+U=U \gdw v+U=v'+ U\,.[/mm]
> Wie begründest Du denn, dass
> Du hier einfach "wie gewohnt" rechnen darfst und quasi bei
> beiden Mengen "[mm]+v'\,[/mm]" (bzw. [mm]-v'[/mm]) rechnen (und dann auch
> "zusammenfassen" ) kannst, ohne dass die Gleichheit
> verletzt wird? Das ist ja nichts 'offensichtliches'.
> (Genauer: Woher weißt Du, dass [mm]v'+(v-v'+U)=v+U[/mm] gilt?)
Die Mengen sind doch auch nur eine Sammlung von Einzelvektoren. Was das ganze doch letztlich aussagt ist:
Verschiebe ich U um v und U um v' sind die beiden Mengen gleich, wenn der Anteil von v und v', der nicht in U enthalten ist gleich ist.
daher erkenne ich, dass ich mit dem Gleichheitszeichen hier ganz normal rechnen darf.
Oder erliege ich da einem Fehlschluss?
@Marcel
Vielen Dank für deine bisher so ausführliche Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mi 29.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Dein Beweis ist mathematisch gesehen einfach schlampig, denn die Begründungen fehlen einfach. Dass man so rechnen darf wie du es tust, ist zunächst überhaupt nicht klar, auch wenn die Notation es nahelegt - das reicht einfach nicht. Schau dir die Herangehensweise von Marcel an, so muss es sein!
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hier gehst Du etwas zu leichtfertig mit einer
> > Mengengleichheit um:
> > [mm]v-v'+U=U \gdw v+U=v'+ U\,.[/mm]
> > Wie begründest Du denn,
> dass
> > Du hier einfach "wie gewohnt" rechnen darfst und quasi bei
> > beiden Mengen "[mm]+v'\,[/mm]" (bzw. [mm]-v'[/mm]) rechnen (und dann auch
> > "zusammenfassen" ) kannst, ohne dass die Gleichheit
> > verletzt wird? Das ist ja nichts 'offensichtliches'.
> > (Genauer: Woher weißt Du, dass [mm]v'+(v-v'+U)=v+U[/mm] gilt?)
>
> Die Mengen sind doch auch nur eine Sammlung von
> Einzelvektoren. Was das ganze doch letztlich aussagt ist:
> Verschiebe ich U um v und U um v' sind die beiden Mengen
> gleich, wenn der Anteil von v und v', der nicht in U
> enthalten ist gleich ist.
> daher erkenne ich, dass ich mit dem Gleichheitszeichen
> hier ganz normal rechnen darf.
> Oder erliege ich da einem Fehlschluss?
ich weiß, wie Du das meinst und ich würde sogar sagen, dass das geometrisch einleuchtend ist. Aber das alleine macht Deine Rechnung zwar plausibel, aber baut sie nicht zu einem Beweis aus.
Wie definierst Du "den Anteil von v und v', der nicht in U enthalten ist"? Was Du meinst, kann man sich eigentlich schön an einem Beispiel klarmachen, aber dann sollte man auch in der Lage sein, solche Sachen zu definieren.
Dass man oben so rechnen kann, wie Du es tust, ergibt sich eigentlich erst wirklich daraus, dass [mm] $v+U:=\{v+u:\;u \in U\}$ [/mm] definiert ist (besser würde man sogar schreiben: $v [mm] \oplus U:=\{v+u:\;u \in U\}$; [/mm] ich werde das der Deutlichkeit wegen unten mal tun).
Daraus folgt dann nämlich, dass
[mm] $$-v\oplus\big((v+w)\oplus U\big)=\{-v+x:\; x \in (v+w)\oplus U\}=\{-v+\big((v+w)+u\big):\;u \in U\}=\{w+u:\;u \in U\}=w \oplus U\,.$$
[/mm]
Hierbei wurden schon ein paar Sachen benutzt, wie z.B. die Assoziativität bzgl. der Addition im Vektorraum etc...
(Wenn Du nun nochmal hinguckst:
Die Regel, die Du angewendet hast, lautet in dieser Notation dann:
[mm] $$-v\oplus\big((v+w)\oplus U\big)=w \oplus [/mm] U,$$
so dass das, was vorher so offensichtlich scheint, hier wegen des [mm] $\oplus$ [/mm] gar nicht mehr so offensichtlich ist!)
Alternativ kann man auch so vorgehen, dass man [mm] $-v\oplus\big((v+w)\oplus U\big)=w \oplus [/mm] U$ mithilfe der folgenden beiden Schritte beweist:
1.) Zeige, dass
[mm] $$-v\oplus\big((v+w)\oplus U\big) \subset [/mm] w [mm] \oplus U\,.$$
[/mm]
2.) Zeige, dass
$$w [mm] \oplus [/mm] U [mm] \subset -v\oplus\big((v+w)\oplus U\big)$$
[/mm]
gilt.
P.S.:
Ich gebe Dir auch mal ein anderes Beispiel:
Sei ein Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] (meinetwegen über [mm] $\IR$) [/mm] gegeben. Für Unterräume $X,Y [mm] \subset [/mm] V$ definieren wir
$$X [mm] \blue{\large{\text{+}}}Y:=\{x+y:\;x\in X \text{ und }y \in Y\}\,,$$
[/mm]
und
[mm] $$\red{\large{\text{-}}}X:=\{-x:\;x \in X\}\,.$$
[/mm]
Frage: Was ist [mm] $X\blue{\large{\text{-}}}X:=X\blue{\large{\text{+}}}\big(\red{\large{\text{-}}}X\big)$?
[/mm]
P.P.S.:
Es gilt übrigens auch
[mm] $$(v+w)\oplus U=\{(v+w)+u:\;u \in U\}=\{v+(w+u): u \in U\}=\{v+x:\; x \in w \oplus U\}=v \oplus \big(w \oplus U\big)\,.$$
[/mm]
Dieses "Assoziativgesetz" ergibt sich nach Definition von [mm] $\oplus$ [/mm] und der Assoziativität bzgl. der Addition im Vektorraum. Aber Du erkennst hierbei, dass bei diesem "Assoziativgesetz" linkerhand einmal die Addition [mm] $+\,$ [/mm] des Vektorraums und einmal [mm] $\oplus$ [/mm] steht, rechterhand aber zweimal das [mm] $\oplus$ [/mm] steht. Deshalb habe ich das Wort "Assoziativgesetz" hier auch in Anführungszeichen stehen.
Ersetzt man allerdings [mm] $\oplus$ [/mm] durch [mm] $+\,,$ [/mm] so sieht man eigentlich gar nicht, dass das Wort "Assoziativgesetz" hier eigentlich etwas mit Vorsicht zu genießen ist, denn dann steht da
[mm] $$(v+w)+U=v+\big(w+U\big),$$
[/mm]
und sicher fast jeder wird sofort sagen, dass dieses Assoziativgesetz ja trivial sei, wenn er/sie nicht genauer hinguckt...
Gruß,
Marcel
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