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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen des [mm] \IR^{2} [/mm] bilden mit der üblichen Vektoraddition und Skalarmultiplikation einen Untervektorraum des Vektorraums [mm] \IR^{2} [/mm] über dem Körper [mm] \IR?
[/mm]
[mm] (iii)\{ \vektor{a \\ a^{2}}| a \in \IR} [/mm]
[mm] (iv)\{ \vektor{a \\ b}| a,b \in \IR, ab \ge 0} [/mm] |
Hallo,
vorweg bei der Aufgabe wollte er irgendwie die 2te Mengenklammer nicht haben, also eigentlich gehören bei beiden Aufgaben jeweils eine zum Schluss hin.
So also eigentlich hab ich gedacht, dass die beiden relativ leicht zu testen sind, aber die Lösung hat mich dann doch verwundert.
Es gelten ja die drei Bedingungen für UVR:
(U1) [mm] \vec{0} \in [/mm] U
(U2) if [mm] u_{1} \in [/mm] U and [mm] u_{2} \in [/mm] U then [mm] u_{1}+u_{2} \in [/mm] U
(U3) if k [mm] \in \IK [/mm] and u [mm] \in [/mm] U then ku [mm] \in [/mm] U
Nun dachte ich mir wenn ich bei (iii) a=0 setze bekomm ich schonmal den [mm] \vec{0} [/mm] da [mm] \vektor{0 \\ 0^{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
somit sollte (U1) erfüllt sein.
(U2) [mm] \vektor{a_{1} \\ a^{2}_{1}}+\vektor{a_{2} \\ a^{2}_{2}}=\vektor{a_{1}+a_{2} \\ a^{2}_{1}+a^{2}_{2}}
[/mm]
selbes Spiel für a=0 ist (U1) erfüllt und somit ist (U2) auch erfüllt.
(U3) [mm] k*\vektor{a \\ a^{2}} [/mm] ist für a=0 wieder erfüllt.
Wahrscheinlich darf man a=0 setzen, aber wie prüf ich das dann richtig ?
Zu der zweiten Aufgabe schreib ich was sobald ihr mich auf den Fehler hingewiesen habt :D
danke im voraus
euer infoandi
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Hallo Infoandi,
> Welche der folgenden Teilmengen des [mm]\IR^{2}[/mm] bilden mit der
> üblichen Vektoraddition und Skalarmultiplikation einen
> Untervektorraum des Vektorraums [mm]\IR^{2}[/mm] über dem Körper
> [mm]\IR?[/mm]
>
> [mm](iii)\{ \vektor{a \\
a^{2}}| a \in \IR\}[/mm]
> [mm](iv)\{ \vektor{a \\
b}| a,b \in \IR, ab \ge 0\}[/mm]
> Hallo,
>
> vorweg bei der Aufgabe wollte er irgendwie die 2te
> Mengenklammer nicht haben, also eigentlich gehören bei
> beiden Aufgaben jeweils eine zum Schluss hin.
Sowohl öffnende als auch schließende Mengenklammern musst du mit vorangehendem Backslash schreiben: \{ \}
> So also eigentlich hab ich gedacht, dass die beiden relativ
> leicht zu testen sind, aber die Lösung hat mich dann doch
> verwundert.
>
> Es gelten ja die drei Bedingungen für UVR:
>
> (U1) [mm]\vec{0} \in[/mm] U
> (U2) if [mm]u_{1} \in[/mm] U and [mm]u_{2} \in[/mm] U then [mm]u_{1}+u_{2} \in[/mm]
> U
> (U3) if k [mm]\in \IK[/mm] and u [mm]\in[/mm] U then ku [mm]\in[/mm] U ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun dachte ich mir wenn ich bei (iii) a=0 setze bekomm ich
> schonmal den [mm]\vec{0}[/mm] da [mm]\vektor{0 \\
0^{2}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm]
Genau!
>
> somit sollte (U1) erfüllt sein.
Jo
> (U2) [mm]\vektor{a_{1} \\
a^{2}_{1}}+\vektor{a_{2} \\
a^{2}_{2}}=\vektor{a_{1}+a_{2} \\
a^{2}_{1}+a^{2}_{2}}[/mm]
Ja ist das denn erfüllt für beliebige Vektoren [mm]u_1,u_2[/mm] aus der gegebenen Menge?
Ich meine, wenn du [mm]u_1=u_2=\vektor{1\\
1}[/mm] nimmst (der ist in der betrachteten Menge, denn [mm]1=1^2[/mm])
Dann ist [mm]u_1+u_2=\vektor{2\\
2}[/mm] und der ist offensichtlich nicht mehr in der Menge, denn die zweite Komponente (2) ist nicht das Quadrat der ersten ...
Allg. gilt ja nicht [mm](a+b)^2=a^2+b^2[/mm]
>
> selbes Spiel für a=0 ist (U1) erfüllt und somit ist (U2)
> auch erfüllt.
> (U3) [mm]k*\vektor{a \\
a^{2}}[/mm] ist für a=0 wieder erfüllt.
(U2) und (U3) müssen aber für alle Vektoren und alle Skalare erfüllt dein, nicht nur für den Nullvektor!
>
> Wahrscheinlich darf man a=0 setzen, aber wie prüf ich das
> dann richtig ?
Da (U2) verletzt ist (sieht man mit ein wenig Erfahrung sehr schnell), kannst du dir den Rest sparen.
Die Menge in (iii) bildet keinen VR
>
> Zu der zweiten Aufgabe schreib ich was sobald ihr mich auf
> den Fehler hingewiesen habt :D
>
> danke im voraus
> euer infoandi
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
Hallo schachuzipus ,
das mit der backslash Rundeklammer hab ich versucht, aber er hat rumgemeckert, angeblich habe ich keine benutzt wobei ich ja eigentlich so angefangen habe. Aber selbst jetzt wo ich das geschrieben habe meckert er :D
gut ich hab natürlich nicht an alle vektoren gedacht :D
d.h bei den zweiten Aufgabe (iv)
(U2) [mm] \vektor{a_{1} \\ b_{1}}+\vektor{a_{2} \\ b_{2}}=\vektor{a_{1}+a_{2} \\ b_{1}+b_{2}} [/mm] da wir uns im [mm] \IR [/mm] befinden nehm ich einfachmal den Vektor [mm] a=b=\vektor{-1 \\ 1} [/mm] (oder darf ich das garnicht wegen der Bedingung ab [mm] \ge [/mm] 0 ? dann könnte ich das auch noch mit nem negativen Skalar beweisen)
was ergeben würde [mm] \vektor{-1 \\ 1}+\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{-1+(-1) \\ 1+1} [/mm] = [mm] \vektor{ -2 \\ 2 } [/mm] a = -2 b = 2 a*b=-4 somit ist a*b [mm] \le [/mm] 0 also auch kein UVR ?
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus ,
>
> das mit der backslash Rundeklammer hab ich versucht, aber
> er hat rumgemeckert, angeblich habe ich keine benutzt
> wobei ich ja eigentlich so angefangen habe. Aber selbst
> jetzt wo ich das geschrieben habe meckert er :D
Wieso runde Klammer? Geschweifte Klammer zu, du solltest immer Klammerpaare eingeben, sonst meckert er ...
>
> gut ich hab natürlich nicht an alle vektoren gedacht :D
> d.h bei den zweiten Aufgabe (iv)
>
> (U2) [mm]\vektor{a_{1} \\
b_{1}}+\vektor{a_{2} \\
b_{2}}=\vektor{a_{1}+a_{2} \\
b_{1}+b_{2}}[/mm]
> da wir uns im [mm]\IR[/mm] befinden nehm ich einfachmal den Vektor
> [mm]a=b=\vektor{-1 \\
1}[/mm] (oder darf ich das garnicht wegen der
> Bedingung ab [mm]\ge[/mm] 0 ?
Genau! Obiger Vektor erfüllt das nicht, ist also nicht in der gegebenen Menge drin
> dann könnte ich das auch noch mit nem
> negativen Skalar beweisen)
Aber ob das klappt?
> was ergeben würde [mm]\vektor{-1 \\
1}+\vektor{-1 \\
1}=\vektor{-1+(-1) \\
1+1}[/mm]
> = [mm]\vektor{ -2 \\
2 }[/mm] a = -2 b = 2 a*b=-4 somit ist a*b [mm]\le[/mm]
> 0 also auch kein UVR ?
Das ist noch nicht raus, denn dein Gegenbsp. ist keines ...
Das klappt wie gesagt nicht, da der Vektor [mm] $\vektor{-1\\1}$ [/mm] gar nicht in der gegebenen Menge ist.
Das ist also kein Gegenbsp. ...
Also weiter überlegen ...
Was bedeutet denn [mm] $ab\ge [/mm] 0$ ?? für $a,b$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
das beide positiv oder beide negativ sein müssen.
Wenn ich dann also auf (U3) testen will für k=-1 nehme und a=1 und b=1, ach mist das klappt auch nicht.
Dann wieder (U2)
wenn ich den Vektor [mm] \vektor{-1 \\ -1} [/mm] als [mm] u_{1} [/mm] nehme und [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] als [mm] u_{2} [/mm] dann ist [mm] u_{1}+u_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] und der erfüllt nicht die Bedingung a*b [mm] \ge [/mm] 0 und ist also kein UVR ?
so sollte es klappen.
gruß andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Fr 24.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> das beide positiv oder beide negativ sein müssen.
>
> Wenn ich dann also auf (U3) testen will für k=-1 nehme und
> a=1 und b=1, ach mist das klappt auch nicht.
>
> Dann wieder (U2)
>
> wenn ich den Vektor [mm]\vektor{-1 \\ -1}[/mm] als [mm]u_{1}[/mm] nehme und
> [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] als [mm]u_{2}[/mm] dann ist [mm]u_{1}+u_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{1\\-1}[/mm] und der erfüllt nicht die Bedingung a*b [mm]\ge[/mm]
> 0 und ist also kein UVR ?
Ja
FRED
>
> so sollte es klappen.
>
> gruß andi
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