www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Untervektorräume
Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Untervektorräume: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Sa 20.04.2013
Autor: Studi_AC

Aufgabe
Ist die Teilmenge [mm] U_{1} [/mm] auch Untervektorraum des jeweiligen [mm] \IR [/mm] -Vektoraums V?

a) V= [mm] \IR^{3}, U_{1}= [/mm] { [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] : x+4y-z=0}

Hallo zusammen! Bei mir gehts nun los mit Linearer Algebra, und hier schon die ersten "Startschwierigkeiten" ... vorab schonmal danke fürs lesen und mitdenken!!

also ich weiß, eine Teilmenge ist UVR wenn 3 Bedingungen gelten...(ich schreib sie hier jetzt nicht alle auf, oder?)

mein beweis bisher:

1. sei [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = 0 = [mm] \vektor{0\\0\\0} \in U_{1}, [/mm] dann gilt 0+4*0-0=0 (wahr)

2. sei u1= [mm] \vektor{x1\\y1\\z1} [/mm] und u2 = [mm] \vektor{x2\\y2\\z2} \in [/mm] U1, dann gilt: u1+u2 = (x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0+0

und jetzt? wie zeig ich dass das wahr ist? Kann ich aus (1.) einfach annehmen, dass x1 und x2 beide = 0 sind und damit die jeweiligen Klammern = 0 oder muss ich x1 mit y1 und z1 zusammenbringen um sagen zu können, dass das dann = 0, also noch ein bisschen sortieren? aber wenn ja, wie?

        
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Sa 20.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo !

> Ist die Teilmenge [mm] U_{1} [/mm] auch Untervektorraum des jeweiligen
> [mm] \IR [/mm] -Vektoraums V?
>  
> a) V= [mm] \IR^{3}, U_{1}= [/mm] { [mm] \vektor{x\\y\\z}: [/mm] x+4y-z=0}



> also ich weiß, eine Teilmenge ist UVR wenn 3 Bedingungen
> gelten...(ich schreib sie hier jetzt nicht alle auf,
> oder?)

Ja (zu beidem).


> mein beweis bisher:
>  
> 1. sei [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = 0 = [mm] \vektor{0\\0\\0} \in U_{1}, [/mm]
> dann gilt 0+4*0-0=0 (wahr)

Prinzipiell alles richtig. Du musst das aber etwas anders aufschreiben.
Dein Ziel ist ja zu zeigen, dass das Nullelement von V (der Nullvektor [mm] \vektor{0\\0\\0}) [/mm] auch in [mm] U_1 [/mm] enthalten ist. Diese Struktur muss auch dein Beweis haben.

Also:

Für $u = [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] := [mm] \vektor{0\\0\\0}$ [/mm] gilt: $x + 4*y -z = 0+4*0-0 = 0$, d.h. $u [mm] \in U_1$. [/mm]


  

> 2. sei $u1= [mm] \vektor{x1\\y1\\z1}$ [/mm] und $u2 = [mm] \vektor{x2\\y2\\z2} \in$ [/mm]
> U1, dann gilt: u1+u2 = (x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0+0

> und jetzt? wie zeig ich dass das wahr ist? Kann ich aus
> (1.) einfach annehmen, dass x1 und x2 beide = 0 sind und
> damit die jeweiligen Klammern = 0 oder muss ich x1 mit y1
> und z1 zusammenbringen um sagen zu können, dass das dann =
> 0, also noch ein bisschen sortieren? aber wenn ja, wie?

Vielleicht meinst du das richtige, aber ganz kann ich dir nicht folgen :-)

So sollte es aussehen:
Seien [mm] $u_1 [/mm] = [mm] \vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2 [/mm] = [mm] \vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in U_1$. [/mm]
Daher gilt [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 4*y_1 [/mm] - [mm] z_1 [/mm] = 0$ und [mm] $x_2 [/mm] + [mm] 4*y_2 [/mm] - [mm] z_2 [/mm] = 0$.  (*)

Nach Def. ist [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] = [mm] \vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}$. [/mm] Es gilt

[mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] 4*(y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] - [mm] (z_1 [/mm] + [mm] z_2) [/mm] = ...

Nun musst du das nur noch umsortieren (evtl. meintest du das) und mit (*) zeigen, dass ... = 0 ist. Dann hast du nachgewiesen, dass [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_1 [/mm] ist.

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Untervektorräume: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Sa 20.04.2013
Autor: Studi_AC


> Prinzipiell alles richtig. Du musst das aber etwas anders
> aufschreiben.
>  Dein Ziel ist ja zu zeigen, dass das Nullelement von V
> (der Nullvektor [mm]\vektor{0\\0\\0})[/mm] auch in [mm]U_1[/mm] enthalten
> ist. Diese Struktur muss auch dein Beweis haben.
>  
> Also:
>
> Für [mm]u = \vektor{x\\y\\z} := \vektor{0\\0\\0}[/mm] gilt: [mm]x + 4*y -z = 0+4*0-0 = 0[/mm],
> d.h. [mm]u \in U_1[/mm].
>  

Danke für die richtige Schreibweise!

>
> > 2. sei [mm]u1= \vektor{x1\\y1\\z1}[/mm] und [mm]u2 = \vektor{x2\\y2\\z2} \in[/mm]
>  
> > U1, dann gilt: u1+u2 = (x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0+0
>  
> > und jetzt? wie zeig ich dass das wahr ist? Kann ich aus
> > (1.) einfach annehmen, dass x1 und x2 beide = 0 sind und
> > damit die jeweiligen Klammern = 0 oder muss ich x1 mit y1
> > und z1 zusammenbringen um sagen zu können, dass das dann =
> > 0, also noch ein bisschen sortieren? aber wenn ja, wie?
>
> Vielleicht meinst du das richtige, aber ganz kann ich dir
> nicht folgen :-)
>  
> So sollte es aussehen:
>  Seien [mm]u_1 = \vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2 = \vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in U_1[/mm].
>  
> Daher gilt [mm]x_1 + 4*y_1 - z_1 = 0[/mm] und [mm]x_2 + 4*y_2 - z_2 = 0[/mm].
>  (*)
>  
> Nach Def. ist [mm]u_1 + u_2 = \vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm].
> Es gilt
>  
> [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = ...
>  
> Nun musst du das nur noch umsortieren (evtl. meintest du
> das) und mit (*) zeigen, dass ... = 0 ist. Dann hast du
> nachgewiesen, dass [mm]u_1[/mm] + [mm]u_2 \in U_1[/mm] ist.
>  
> Viele Grüße,
>  Stefan

hm.. ich weiß immer noch nicht warum und wo nach ich sortieren muss. zu (x1+y1+z1) um dann zu sagen, dass das =0 ???

aber mein Denkproblem: dann ist doch auch (x2+y2+z2)=0 und somit doch eigentlich auch x1+x2. und das steht ja schon dort:

> [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = 0+0


warum dann noch sortiern?

ach...verstehst du meinen Knoten?



...ich glaub ich hab den Knoten gelöst:

nach def. ist u1+u2 = [mm] \vektor{x1+x2\\y1+y2\\z1+z2}, [/mm] also
(x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)=0
[mm] \gdw [/mm] (das hast du wohl mit umsortieren gemein??) (x1+4y1-z1)+(x2+4y2-z2)=0
und da (x1+4y1-z1) = 0 nach obriger Annahme (gleiches gilt für (x2...)
ist 0+0=0, wahr und somit u1+u2 [mm] \in U_{1} [/mm]

hab ich das korrekt aufgeschrieben?


Bezug
                        
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Sa 20.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,




> > So sollte es aussehen:
>  >  Seien [mm]u_1 = \vektor{x_1\\y_1\\z_1}, u_2 = \vektor{x_2\\y_2\\z_2} \in U_1[/mm].
>  
> >  

> > Daher gilt [mm]x_1 + 4*y_1 - z_1 = 0[/mm] und [mm]x_2 + 4*y_2 - z_2 = 0[/mm].
> >  (*)

>  >  
> > Nach Def. ist [mm]u_1 + u_2 = \vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}[/mm].
> > Es gilt
>  >  
> > [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = ...
>  >  
> > Nun musst du das nur noch umsortieren (evtl. meintest du
> > das) und mit (*) zeigen, dass ... = 0 ist. Dann hast du
> > nachgewiesen, dass [mm]u_1[/mm] + [mm]u_2 \in U_1[/mm] ist.
>  >  
> > Viele Grüße,
>  >  Stefan
>
> hm.. ich weiß immer noch nicht warum und wo nach ich
> sortieren muss. zu (x1+y1+z1) um dann zu sagen, dass das =0
> ???

Nein.


> aber mein Denkproblem: dann ist doch auch (x2+y2+z2)=0 und
> somit doch eigentlich auch x1+x2. und das steht ja schon
> dort:
>  
> > [mm](x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] + [mm]4*(y_1[/mm] + [mm]y_2)[/mm] - [mm](z_1[/mm] + [mm]z_2)[/mm] = 0+0
>  
>
> warum dann noch sortiern?
>  
> ach...verstehst du meinen Knoten?

Nicht ganz. Du musst doch die Voraussetzung benutzen, also (*).
Bei dir ist noch nicht klar, dass du diese benutzt. Vielleicht meinst du auch die ganze Zeit das richtige, aber ich vermisse noch einen Zwischenschritt (siehe rot unten).

Aber vielleicht löst der Knoten sich ja, wenn ich die Lösung hinschreibe:

[mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] 4*(y_1 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] - [mm] (z_1 [/mm] + [mm] z_2) =\red{ (x_1 + 4*y_1 - z_1) + (x_2 + 4*y_2 - z_2) }\overset{(*)}{=} [/mm] 0+0 = 0.$

Damit folgt jetzt [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_1$. [/mm]


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Untervektorräume: alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Sa 20.04.2013
Autor: Studi_AC

hatte meine Frage noch zeitgleich zu deiner Antwort geändert und habs verstanden! Dankeschön!!

Jetzt sind mir die Schritte klar, nur leider werden die Aufgaben schwieriger... (also bis später :) )

Bezug
        
Bezug
Untervektorräume: nächste Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Sa 20.04.2013
Autor: Studi_AC

Aufgabe
V= {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] Abbildung}
[mm] U_{1} [/mm] = {f [mm] \in [/mm] V ; [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : f(-x)= - f(x) }
[mm] U_{2} [/mm] = {f besitzt eine Nullstelle}



1. Schritt: ich will zeigen, dass 0 [mm] \in U_{1}.. [/mm] und schon hab ich keine Ahnung... wer hilft mir?


ich hab eine Lösung (abgeschrieben)in der steht: 0= -f(-x) = -f(x)=0=f(x)
daraus folgt 0 [mm] \in U_{1} [/mm]

kann mir das jemand erklären?

Bezug
                
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 So 21.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> V= {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] Abbildung}
>  [mm] U_{1} [/mm] = {f [mm] \in [/mm] V ; [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : f(-x)= - f(x) }
>  [mm] U_{2}= [/mm] {f besitzt eine Nullstelle}


> 1. Schritt: ich will zeigen, dass 0 [mm] \in U_{1}.. [/mm] und schon
> hab ich keine Ahnung... wer hilft mir?


> ich hab eine Lösung (abgeschrieben)in der steht: 0= -f(-x)
> = -f(x)=0=f(x)
>  daraus folgt 0 [mm] \in U_{1} [/mm]
>  
> kann mir das jemand erklären?


Als erstes musst du überlegen, was das (additive) Nullelement im Vektorraum V ist. Und das ist die Nullfunktion $f(x) = 0$ (sie weist jedem Wert x den Wert 0 zu).

Du willst nun zeigen, dass diese Funktion auch im Raum [mm] U_1 [/mm] liegt.

Du musst also zeigen, dass die Nullfunktion die Eigenschaft von [mm] $U_1$ [/mm] erfüllt: $f(-x) = -f(x)$.
Rechnen wir es nach:

$f(-x) = 0 = -0 = -f(x)$.

Viele Grüße,
Stefan


Bezug
                        
Bezug
Untervektorräume: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:50 So 21.04.2013
Autor: Studi_AC


> Als erstes musst du überlegen, was das (additive)
> Nullelement im Vektorraum V ist. Und das ist die
> Nullfunktion [mm]f(x) = 0[/mm] (sie weist jedem Wert x den Wert 0
> zu).

Ja, ok!

> Du willst nun zeigen, dass diese Funktion auch im Raum [mm]U_1[/mm]
> liegt.

Ja!

> Du musst also zeigen, dass die Nullfunktion die Eigenschaft
> von [mm]U_1[/mm] erfüllt: [mm]f(-x) = -f(x)[/mm].

Ja!

>  Rechnen wir es nach:
>  
> [mm]f(-x) = 0 = -0 = -f(x)[/mm].

warum fängst man jetzt hier nicht mit f(x) = ... an, warum sagst du direkt f(-x) ?

Jedem x-wert wird der wert 0 zugeschrieben, also ist klar, dass auch f(-x)=0. mir ist nur nicht klar, dass man das direkt so schreiben darf... aber ok, ich nimms hin
  
andere Frage:
ist die Lösung,die ich oben angegeben hatte denn dann formal auch richtig?

LG und Dankeschön, Sarah

Bezug
                                
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 So 21.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> > Du musst also zeigen, dass die Nullfunktion die Eigenschaft
> > von [mm]U_1[/mm] erfüllt: [mm]f(-x) = -f(x)[/mm].
>  
> Ja!
>  
> >  Rechnen wir es nach:

>  >  
> > [mm]f(-x) = 0 = -0 = -f(x)[/mm].
>  
> warum fängst man jetzt hier nicht mit f(x) = ... an, warum
> sagst du direkt f(-x) ?

Weil wir nachrechnen wollen: $f(-x) = -f(x)$.
Das heißt, wir müssen auf der linken Seite mit

$f(-x) = ....$

beginnen, dann umformen .... und zuletzt muss bei der rechten Seite genau das rauskommen, was wir zeigen wollen, also

$.... = -f(x)$

Wir überzeugen uns also von der Richtigkeit der Gleichung $f(-x) = -f(x)$, indem wir genügend Zwischenschritte einfügen, so dass es offensichtlich wird.



> Jedem x-wert wird der wert 0 zugeschrieben, also ist klar,
> dass auch f(-x)=0. mir ist nur nicht klar, dass man das
> direkt so schreiben darf... aber ok, ich nimms hin

Dein Problem ist, dass wir f(x) = 0 schreiben, und dann irgendwie nicht klar ist, dass f(-x) = 0 ist.
Das ist aber nur ein Problem, weil wir das ganze nicht "hyper-ordentlich" aufgeschrieben haben. Es ist ja anhand der Funktionsdefinition klar. (Das x ist bei einer Funktionsvorschrift nur ein Platzhalter).

Wenn man ganz exakt ist, würde man "f(x) = 0" nicht als Funktionsdefinition verstehen (das hängt daran, dass man x als Variable sieht, die einen Wert hat, z.B. x = 1. Wenn man schreibt: f(x) = 0, würde man somit nur meinen f(1) = 0 und die Funktion nur an einer Stelle beschreiben). Exakt müsste man schreiben:

[mm] $f:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0$.


> andere Frage:
>  ist die Lösung,die ich oben angegeben hatte denn dann
> formal auch richtig?

Bei mir hätte man dafür nicht volle Punktzahl bekommen. Es ist nicht klar, warum die Aussage f(-x) = -f(x) gezeigt ist, und warum da drei f(..) in der Gleichung stehen.

Du musst dich in den Übungsleiter hineinversetzen: Die Aufgabe ist aus seiner Sicht trivial. Das einzige, für was man Punkte geben kann, ist also, dass es gewissenhaft und "nachvollziehbar" (im mathematischen Sinne) aufgeschrieben ist.


Viele Grüße,
Stefan


Bezug
                                        
Bezug
Untervektorräume: 2. Schritt richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 So 21.04.2013
Autor: Studi_AC

man fragt sich halt im 1. Semester so einiges... aber danke für deine sehr ausführlichen Antworten.

So gehts jetzt bei mir weiter:

seien u1 [mm] \in [/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm] \in [/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
Also ist
(f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)= -f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)= -(f1+f2)(x)
daraus folgt u1+u2 [mm] \in [/mm] U1

ich hoffe das ist korrekt aufgeschrieben?! Vermutlich könnte ich mir einiges sparen, aber so ist es auch später noch für mich verständlich.

Danke nochmal und eine gute Nacht!

Bezug
                                                
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 So 21.04.2013
Autor: fred97


> man fragt sich halt im 1. Semester so einiges... aber danke
> für deine sehr ausführlichen Antworten.
>  
> So gehts jetzt bei mir weiter:
>  
> seien u1 [mm]\in[/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm]\in[/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
>  f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
>  u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
>  Also ist
>  (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)= -f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)=
> -(f1+f2)(x)
>  daraus folgt u1+u2 [mm]\in[/mm] U1
>  
> ich hoffe das ist korrekt aufgeschrieben?!

Nein.

Seien [mm] u_1,u_2 \in U_1 \quad (u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind Funktionen !)

Nun mußt Du testen, ob [mm] u:=u_1+u_2 \in U_1 [/mm] gilt:

[mm] u(-x)=(u_1+u_2)(-x) =u_1(-x)+u_2(-x)=-u_1(x)-u_2(x) =-(u_1+u_2)(x)=-u(x) [/mm] für jedes x.

Fazit : [mm] u:=u_1+u_2 \in U_1 [/mm]

FRED




> Vermutlich
> könnte ich mir einiges sparen, aber so ist es auch später
> noch für mich verständlich.
>  
> Danke nochmal und eine gute Nacht!


Bezug
                                                        
Bezug
Untervektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 So 21.04.2013
Autor: Studi_AC


> > man fragt sich halt im 1. Semester so einiges... aber danke
> > für deine sehr ausführlichen Antworten.
>  >  
> > So gehts jetzt bei mir weiter:
>  >  
> > seien u1 [mm]\in[/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm]\in[/mm] U1 : f2(-x), dann gilt
>  >  f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie
>  >  u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).
>  >  Also ist
>  >  (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)=
> -f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)=
> > -(f1+f2)(x)
>  >  daraus folgt u1+u2 [mm]\in[/mm] U1
>  >  
> > ich hoffe das ist korrekt aufgeschrieben?!
>  
> Nein.
>  
> Seien [mm]u_1,u_2 \in U_1 \quad (u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] sind Funktionen
> !)
>  
> Nun mußt Du testen, ob [mm]u:=u_1+u_2 \in U_1[/mm] gilt:
>
> [mm]u(-x)=(u_1+u_2)(-x) =u_1(-x)+u_2(-x)=-u_1(x)-u_2(x) =-(u_1+u_2)(x)=-u(x)[/mm]
> für jedes x.
>  
> Fazit : [mm]u:=u_1+u_2 \in U_1[/mm]
>
> FRED
>  

Ok. Dann kann ich aber doch auch das hier stehen lassen (oder?)

seien f1 und f2 [mm] \in [/mm] U , dann gilt:

>  >f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x), sowie

f1 +f2  = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).

>  >  Also ist
>  >  (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)=
>  >-f1(x)+(-(f2(x))=(-f1-f2)(x)=
>  > -(f1+f2)(x)

daraus folgt f1+f2 [mm] \in [/mm] U

Bezug
                                                                
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 So 21.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

Ich nehme auch nochmal auf deinen vorherigen Post Bezug:

> > > So gehts jetzt bei mir weiter:
>  >  >  
> > > seien u1 [mm]\in[/mm] U1 : f1(-x) und u2 [mm]\in[/mm] U1 : f2(-x), dann gilt

Bei dir bezeichnen hier u1 und f1 fast dasselbe? Wieso führst du zwei Variablen  für dasselbe ein?
u1 bezeichnet eine Funktion, und wenn du etwas einsetzt, also [mm] u_1(x), [/mm] dann kommt eine Zahl raus.
Deswegen ist es nicht sinnvoll,

>  >  >  u1+u2 = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).

zu schreiben. Auf der linken Seite des ersten Gleichheitszeichens stehen Funktionen, auf der rechten Seite stehen Zahlen. Richtiger wäre es gewesen, [mm] (u_1 [/mm] + [mm] u_2)(x) [/mm] zu schreiben.




> Ok. Dann kann ich aber doch auch das hier stehen lassen
> (oder?)
>  
> seien f1 und f2 [mm]\in[/mm] U , dann gilt:
>  
> >  >f1(-x)= -f1(x) und f2(-x)= -f2(x)

... für alle x [mm] \in \IR, [/mm]

> , sowie
>  f1 +f2  = f1(-x) + f2(-x) = (lt Def.) (f1+f2)(-x).

Du kannst diesen Teil vollständig weglassen. Das erste Gleichheitszeichen hat keinen Sinn, s.o.
Du musst unterscheiden zwischen der Funktion f1 und dem Funktionswert f1(x) !
Du möchtest zeigen, dass die Funktion f1 eine bestimmte Eigenschaft besitzt, in diesem Fall: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR: f_1(-x) [/mm] = [mm] -f_1(x)$. [/mm] Du siehst, dass in dieser zu zeigenden Eigenschaft nur FunktionsWERTE vorkommen, also müssen in deiner ganzen Argumentation auch nur FunktionsWERTE vorkommen.

>  >  >  Also ist
>  >  >  (f1+f2)(-x)=f1(-x)+f2(-x)=
> >  >-f1(x)+(-(f2(x))

Bis hierher wunderbar. Ab jetzt wäre es besser, das "-" zuvor auszuklammern.

$= [mm] -(f_1(x) [/mm] + [mm] f_2(x)) [/mm] = [mm] -(f_1 [/mm] + [mm] f_2)(x)$. [/mm]

Das hat den Grund, das für Funktionen zunächst nur "+" definiert wird. Du benutzt ansonsten soetwas wie ein Distributivgesetz für Funktionen (das gilt natürlich, aber dann basiert der Beweis nicht mehr nur auf den Definitionen).


Viele Grüße,
Stefan


Bezug
        
Bezug
Untervektorräume: Aufgabenteil 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 So 21.04.2013
Autor: Studi_AC

Aufgabe
V={ [mm] {(a_{i})_{i\in \IN}| \forall i \in \IN : a_{i} \in \IR} [/mm] }
U1= { [mm] {(a_{i})_{i\in \IN} \in V | \forall i \in \IN : a_{i+1} = a_{i}^2} [/mm] }


mein Ansatz:

1. Ein Nullelement in VR V ist die Nullfolge [mm] (a_{i})_{i?in ?IN} [/mm] = 0,
z.z. Nullfkt erfüllt die Eigenschaft [mm] a_{i+1} [/mm] = [mm] a_{i}^2 [/mm]
da [mm] a_{i} [/mm] = 0 = (0,0,0,0,...) ist, ist jedes Folgenglied gleich Null, also gilt [mm] a_{i+1} [/mm] = 0 = [mm] a_{i}^2. [/mm] Somit 0 [mm] \in [/mm] U1.

kann ich das so schreiben?

2. zur Abgeschlossenheit der Addition fällt mir formal nix ein. Meine Gedanken: sei die folge a = (2,4,16,...) und b= (3,9,81,...) [mm] \in [/mm] U1. zu zeigen ist dann, dass a+b auch element von U1 ist und das wäre mit dem Zahlenbespiel ja richtig: 4+9 = [mm] 2^2+3^2 [/mm]
aber wie drücke ich das aus?

Bezug
                
Bezug
Untervektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 So 21.04.2013
Autor: angela.h.b.

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> V={ [mm]{(a_{i})_{i\in \IN}| \forall i \in \IN : a_{i} \in \IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

Hallo,

es wird also der VR der reellen Folgen betrachtet mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation mit Elementen aus \IR.

> U1= { [mm]{(a_{i})_{i\in \IN} \in V | \forall i \in \IN : a_{i+1} = a_{i}^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }

>

> mein Ansatz:

>

> 1. Ein Nullelement
> in VR V ist die Nullfolge [mm](a_{i})_{i?in ?IN}[/mm] = 0,
> z.z. Nullfkt erfüllt die Eigenschaft [mm]a_{i+1}[/mm] = [mm]a_%7Bi%7D%5E2[/mm]
> da [mm]a_{i}[/mm] = 0 = (0,0,0,0,...) ist, ist jedes Folgenglied
> gleich Null, also gilt [mm]a_{i+1}[/mm] = 0 = [mm]a_{i}^2.[/mm] Somit 0 [mm]\in[/mm]
> U1.

>

> kann ich das so schreiben?

Ich würde es so schreiben:

das (!) Nullelement in V ist die Nullfolge (0,0,0,...).
Diese Folge ist wegen [mm] 0=0^2 [/mm] auch in [mm] U_1. [/mm]


>

> 2. zur Abgeschlossenheit der Addition fällt mir formal nix
> ein. Meine Gedanken: sei die folge a = (2,4,16,...) und b=
> (3,9,81,...) [mm]\in[/mm] U1. zu zeigen ist dann, dass a+b auch
> element von U1 ist

Genau.
Dazu schreiben wir mal a+b auf:

a+b=(2+3, 4+9,16+81,...)=(5,13,97,...).

Und? Ist [mm] a+b\in U_1? [/mm] Woran merkt man, daß eine Folge "drin" ist?

LG Angela





> und das wäre mit dem Zahlenbespiel ja
> richtig: 4+9 = [mm]2^2+3^2[/mm]
> aber wie drücke ich das aus?


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de