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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mi 11.06.2008 | | Autor: | ereger |
| Aufgabe | Es sei U:= { [mm] x=(x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] , [mm] x_{4} [/mm] ) [mm] \in \IR^{4} [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{4} x_{i} [/mm] = 0 }
1) Man zeige: U ist Untervektorraum des [mm] \IR [/mm] - Vektorraums [mm] \IR^{4}.
[/mm]
2) Man bestimme eine Basis von U
3) Ist V:= { [mm] x=(x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] , [mm] x_{4} [/mm] ) [mm] \in \IR^{4} [/mm] : [mm] \produkt_{i=1}^{4} x_{i} [/mm] = 0 }
auch ein Untervektorraum? ( Es ist [mm] \produkt_{i=1}^{4} x_{i}:= (x_{1}* x_{2}*x_{3}*x_{4}) [/mm] ). |
Hallo!
Ich habe mit der 1) so angefangen: Nach Eigenschaften des Untervektorraumes zubeweisen
UVR1 habe ich so bewiesen: x [mm] \in [/mm] U ist, ist [mm] U\not= \emptyset
[/mm]
nun komme ich nicht witer, die anderen Eigenschaften zu beweisen.
Könnte mir jemand hiermit helfen.Danke voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 11.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Es sei [mm] U:=\{x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \IR^{4}:\summe_{i=1}^{4} x_{i}=0\}
[/mm]
> 1) Man zeige: U ist Untervektorraum des [mm]\IR[/mm] - Vektorraums
> [mm]\IR^{4}.[/mm]
> Ich habe mit der 1) so angefangen: Nach Eigenschaften des
> Untervektorraumes zubeweisen
> UVR1 habe ich so bewiesen: x [mm]\in[/mm] U ist, ist [mm]U\not= \emptyset[/mm]
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Vielleicht meinst du das Richtige, aber...
Du sollst ja zeigen, dass [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
Hier ist der Standardtrick, zu zeigen, dass der Nullvektor [mm] 0_v\in{U}. [/mm] Das ist ja offensichtlich der Fall. Demnach [mm] 0_v\in{U}, [/mm] also [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
> nun komme ich nicht witer, die anderen Eigenschaften zu
> beweisen.
Wie lauten denn die beiden anderen Eigenschaften?! Wenn ich mich recht entsinne, müssen wir auf Abgeschlossenheit gegenüber der Addition prüfen:
Zu zeigen ist also: [mm] x,y\in{U}\Rightarrow{x+y}\in{U}
[/mm]
Sei [mm] x,y\in{U}, [/mm] dann gilt: [mm] \summe_{i=1}^{4} x_{i}=0 \wedge \summe_{i=1}^{4} y_{i}=0
[/mm]
[mm] 0=0+0\overbrace{=}^{\text{da }x,y\in{U}}\summe_{i=1}^{4} x_{i}+\summe_{i=1}^{4} y_{i}=x_1+x_2+x_3+x_4+y_1+y_2+y_3+y_4=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)+(x_4+y_4)=\summe_{i=1}^{4} (x_{i}+y_{i}), [/mm] also [mm] x+y\in{U}
[/mm]
Als letztes bleibt noch die Abgeschlossenheit gegenüber der Multplikation mit Skalaren zu zeigen:
Sei [mm] \lambda\in\IR [/mm] und [mm] x\in{U},
[/mm]
[mm] \lambda*x_1+\lambda*x_2+\lambda*x_3+\lambda*x_4=\lambda*(x_1+x_2+x_3+x_4)=\lambda*\summe_{i=1}^{4}x_i\underbrace{=}_{\text{da }x\in{U}}\lambda*0=0, [/mm] also ist U auch abgeschlossen gegenüber der Multiplikation mit Skalaren.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 11.06.2008 | | Autor: | ereger |
Danke!
Ich hätte niemals gedacht, dass man es so leicht beweisen kann.
Mit 2) verstehe ich nicht so ganz, muss man da konkrette Vektoren angeben, die basis bilden und die zwei eigenschaften erfüllen:
i)Vektoren müssen linear unabhängig sein
ii) U= [mm] \alpha [/mm] ( [mm] {x_{i} : i \in I} [/mm] )
Zu drei meine ich dass V auch ein Untervektorraum von [mm] \IR^{4} [/mm] ist. Dies kann man auch genauso wie in 1 beweisen( bezüglich multiplikation)?
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> Mit 2) verstehe ich nicht so ganz, muss man da konkrette
> Vektoren angeben, die basis bilden und die zwei
> eigenschaften erfüllen:
>
> i)Vektoren müssen linear unabhängig sein
> ii) U= [mm]\alpha[/mm] ( [mm]{x_{i} : i \in I}[/mm] )
Hallo,
ja, da sind ganz konkrete Vektoren gefragt.
Es handelt sich um den Lösungsraum der linearen Gleichung
[mm] x_1+x_2+x_3+x_4=0.
[/mm]
Die Basis besteht aus drei Vektoren, welche zu finden Deine Aufgabe ist.
> Zu drei meine ich dass V auch ein Untervektorraum von
> [mm]\IR^{4}[/mm] ist. Dies kann man auch genauso wie in 1 beweisen(
> bezüglich multiplikation)?
Ich befürchte, daß Dir ein Beweis nicht gelingen wird. Du wirst bei der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition scheitern, versuch's mal.
Um die Aufgabe zu lösen, gibst Du dann zwei Vektoren an, die in V liegen, deren Summe aber nicht drin ist.
Gruß v. Angela
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