Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 18.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | Beweise: V={(x,y,z) [mm] \in K^3; [/mm] x+y+z=0} ist ein Untervektorraum von [mm] K^3
[/mm]
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Hallo Hallo, und vielen Dank für die tolle Erklärung, die Sache mit Vektorräumen sollte mir nun einigermassen klar sein und da unser Prof gleich die nächsten Übungsblätter raus gegeben hat versuche ich jetzt mit dem Wissen die oben stehende Aufgabe zu lösen und es wäre super wenn mir jemand sagen könnte ob ich da nun Aufgabe und Lösungsweg richtig verstehe und beschreite.
Also meine Überlegung soweit, mögen für euch sicher trivial wirken aber naja,
aber ich schreib jetzt einfach mal alles auf.
[mm] K^3 [/mm] ist ein Vektorraum z.zg. ist jetzt das V [mm] \subset K^3 [/mm] ein Unterraum von [mm] K^3 [/mm] ist.
v [mm] \in K^3 [/mm] ist ein Vektor, definiert durch [mm] v=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und somit muss für [mm] v=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] gelten (x+y+z=0)
stimmt das soweit?
Zu zeigen ist nun das
(UV1) V [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(UV2) [mm] v_1,v_2 \in [/mm] V [mm] \Rightarrow v_1 [/mm] + [mm] v_2 \in [/mm] V
(UV3) v [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in K^3 \Rightarrow \lambda*v \in [/mm] V
stimmt auch das?
Nun also der Beweis:
(UV1) hier könnten man z.B. zeigen [mm] 0_v= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] V somit ist V [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(UV2) [mm] v_1=\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, v_2=\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in [/mm] V so dass [mm] (x_1+y_1+z_1=x_2+y_2+z_2=0) [/mm]
daraus folgt [mm] v_1+v_2 [/mm] = [mm] (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)
[/mm]
falls [mm] (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0 [/mm] stimmt [mm] v_1+v_2 \in [/mm] V
[mm] x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=0 [/mm] (hier bin ich unsicher, sehe ich das richtig, da x+y+z=0 vorgegeben ist, muss das hier auch "zwingend" 0 geben und ich muss nichts mehr weiter zeigen? oder liege ich da falsch?
oder muss ich zeigen [mm] (x_1+y_1+z_1=0 [/mm] ; [mm] x_2+y_2+z_2=0) [/mm] somit von oben (0+0=0) OK?
(UV3) [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] v=\vektor{x \\ y \\ z} \in [/mm] V so ist x+y+z=0, dann ist
[mm] \lambda*v [/mm] = [mm] (\lambda*x, \lambda*y, \lambda*z) [/mm] und [mm] \lambda*x+\lambda*y+\lambda*z [/mm] = [mm] \lambda(x+y+z)=\lambda*0 [/mm] = 0
so wäre [mm] \lambda*v \in [/mm] V
nun stimmt das alles mal soweit? sprich V ist ein Untervektorraum
liebe grüsse
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Hallo raemic,
> Beweise: [mm] $V=\{(x,y,z) \in K^3 \mid x+y+z=0\}$ [/mm] ist ein
> Untervektorraum von [mm] $K^3$
[/mm]
>
> Hallo Hallo, und vielen Dank für die tolle Erklärung, die
> Sache mit Vektorräumen sollte mir nun einigermassen klar
> sein und da unser Prof gleich die nächsten Übungsblätter
> raus gegeben hat versuche ich jetzt mit dem Wissen die oben
> stehende Aufgabe zu lösen und es wäre super wenn mir jemand
> sagen könnte ob ich da nun Aufgabe und Lösungsweg richtig
> verstehe und beschreite.
>
> Also meine Überlegung soweit, mögen für euch sicher trivial
> wirken aber naja,
> aber ich schreib jetzt einfach mal alles auf.
>
> [mm]K^3[/mm] ist ein Vektorraum z.zg. ist jetzt das V [mm]\subset K^3[/mm]
> ein Unterraum von [mm]K^3[/mm] ist.
>
> v [mm]\in K^3[/mm] ist ein Vektor, definiert durch [mm]v=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> und somit muss für [mm]v=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] gelten (x+y+z=0)
>
> stimmt das soweit? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu zeigen ist nun das
>
> (UV1) V [mm]\not= \emptyset[/mm]
> (UV2) [mm]v_1,v_2 \in[/mm] V [mm]\Rightarrow v_1[/mm] + [mm]v_2 \in[/mm] V
> (UV3) v [mm]\in[/mm] V, [mm]\lambda \in K^3 \Rightarrow \lambda*v \in[/mm] V
Achtung, [mm] $\lambda\in [/mm] K$ !!, nicht [mm] $\in K^3$
[/mm]
ansonsten
>
> stimmt auch das?
>
> Nun also der Beweis:
>
> (UV1) hier könnten man z.B. zeigen [mm]0_v= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in[/mm]
> V somit ist V [mm]\not= \emptyset[/mm]
Ja, [mm] $V\neq\emptyset$ [/mm] und [mm] $0\in [/mm] V$ sind äquivalent, denn jeder Untervektorraum muss als Vektorraum schließlich den Nullvektor enthalten, der wird sozusagen vom "Oberraum" vererbt
>
> (UV2) [mm]v_1=\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, v_2=\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in[/mm]
> V so dass [mm](x_1+y_1+z_1=x_2+y_2+z_2=0)[/mm]
>
> daraus folgt [mm]v_1+v_2[/mm] = [mm](x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)[/mm]
Bitte als Spaltenvektor schreiben!
>
> falls [mm](x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0[/mm] stimmt [mm]v_1+v_2 \in[/mm] V
>
> [mm]x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=0[/mm] (hier bin ich unsicher, sehe ich
> das richtig, da x+y+z=0 vorgegeben ist, muss das hier auch
> "zwingend" 0 geben und ich muss nichts mehr weiter zeigen?
> oder liege ich da falsch?
> oder muss ich zeigen [mm](x_1+y_1+z_1=0[/mm] ; [mm]x_2+y_2+z_2=0)[/mm] somit
> von oben (0+0=0) OK?
Das ist ein bisschen Kuddelmuddel, du hast 2 Vektoren [mm] $u=\vektor{x_1\\y_2\\z_3}, v=\vektor{x_2\\y_2\\z_2}\in [/mm] V$
Dh. es gilt, wie du schon gesagt hast [mm] $x_1+y_1+z_1=0=x_2+y_2+z_2$
[/mm]
Zu schauen ist nun, ob auch [mm] $u+v=\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}\in [/mm] V$ ist
Dazu müsste ja [mm] $\blue{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0}$ [/mm] sein.
Du weißt aber, dass [mm] $x_1+y_1+z_1=0=x_2+y_2+z_2$, [/mm] da [mm] $u,v\in [/mm] V$
Also addiere und sortiere entsprechend dem blauen Ausdruck und du hast es
>
> (UV3) [mm]\lambda \in[/mm] K und [mm]v=\vektor{x \\ y \\ z} \in[/mm] V so ist
> x+y+z=0, dann ist
> [mm]\lambda*v[/mm] = [mm](\lambda*x, \lambda*y, \lambda*z)[/mm]
Spaltenvektor!
>und [mm]\lambda*x+\lambda*y+\lambda*z[/mm] = [mm]\lambda(x+y+z)=\lambda*0[/mm] = 0
> so wäre [mm]\lambda*v \in[/mm] V
>
> nun stimmt das alles mal soweit? sprich V ist ein
> Untervektorraum
Ja, das ist schon ganz gut soweit, aber schreibe ein wenig konsistenter, also Spaltenvektoren, wenn du welche meinst ...
>
> liebe grüsse
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Sa 18.10.2008 | | Autor: | raemic |
EDIT ***Entschuldigung das sollte nur eine Mitteilung sein***
ne.. ist ja der Hammer, obwohl Eigenlob stinkt, bin doch gerade ein wenig Stolz das ich die Aufgabe soweit selbst gelöst habe :D
und danke für die Ratschläge, werde von jetzt an besser auf die Schreibweise achten.
ja dann mache ich mich doch gleich an die beiden Teilaufgaben und die paar anderen die da noch folgen werden... :)
wenn es ok ist werde ich dich späte auch noch Posten damit ich weiss ob ich das auch verstanden habe.
besten Dank für die Kontrolle und liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 18.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | bezieht sich auf die vorige Aufgabe:
1. Beweise:
V [mm] \subset [/mm] mit [mm] w_1=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, w_2=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
2. Beweise im Bezug auf 1. dass [mm] (w_1, w_2) \subset [/mm] V, (also [mm] V=(w_1, w_2)) [/mm] |
Zu 1)
Es gilt also immer noch das [mm] K^3 [/mm] ein Vektorraum ist und V={(x,y,z) [mm] \in K^3; [/mm] x+y+z=0}
und ich soll jetzt zeigen das V eine Teilmenge bezüglich zwei Vektoren [mm] w_1, w_2 [/mm] und das V auch diesmal, bezüglich diesen Vektoren ein Untervektorraum ist.
Aufgabe soweit richtig verstanden?
Das muss ich wieder mit denn UV-Axiomen beweisen, wie in der Aufgabe vorher:
(UV1) [mm] 0_w_1+0_w_2 \in [/mm] V
(UV2) sei [mm] v_1 [/mm] = [mm] \lambda_1*w_1 [/mm] + [mm] \lambda_2*w_2 [/mm] und sei [mm] v_2 [/mm] = [mm] \mu_1*w_1 [/mm] + [mm] \mu_2*w_2
[/mm]
[mm] v_1+v_2 [/mm] = [mm] \lambda_1*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu_1*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda_2*\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ 1 \\ -1} \gdw (\lambda_1 [/mm] + [mm] \mu_1)*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] (\lambda_2 [/mm] + [mm] \mu_2)*\vektor{0 \\ 1 \\ -1} \gdw \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \mu_1 [/mm] - [mm] \mu_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \mu_2 [/mm] - [mm] \mu_2 [/mm] = 0 somit (UV2) OK
(UV3)
v $ [mm] \in [/mm] $ V, $ [mm] \lambda \in K^3 \Rightarrow \lambda\cdot{}v \in [/mm] $ V
[mm] \lambda [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\lambda_1*\vektor{1 \\ 0 \\ -1})+\lambda [/mm] * [mm] (\lambda_2*(\vektor{0 \\ 1 \\ -1}) \gdw \lambda(\lambda_1-\lambda_1) [/mm] + [mm] \lambda(\lambda_2-\lambda_2) \gdw \lambda*(0) [/mm] + [mm] \lambda*(0) [/mm] = 0 Somit auch (UV3) OK
Ist 1 soweit OK?
Zu 2)
Bei dieser Aufgabe wäre nun zu zeigen das [mm] [/mm] auch Teilmenge von V wären, und somit [mm] V=
[/mm]
nun wie würde das in etwa von statten gehen? wäre das nicht quasi die "Gegenrichtung" von dem was ich vorhin gezeigt habe?
liebe grüsse?
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> bezieht sich auf die vorige Aufgabe:
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> 1. Beweise:
> V [mm]\subset [/mm] mit [mm]w_1=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, w_2=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> 2. Beweise im Bezug auf 1. dass [mm](w_1, w_2) \subset[/mm] V, (also
> [mm]V=(w_1, w_2))[/mm]
> Zu 1)
>
> Es gilt also immer noch das [mm]K^3[/mm] ein Vektorraum ist und
> [mm] V={(x,y,z)\in K^3;x+y+z=0}
[/mm]
>
> und ich soll jetzt zeigen das V eine Teilmenge bezüglich
> zwei Vektoren [mm]w_1, w_2[/mm]
Hallo,
Du sollst zeigen, daß V eine Teilmenge von [mm] [/mm] ist
> und das V auch diesmal, bezüglich
> diesen Vektoren ein Untervektorraum ist.
Daß V ein Vektorraum - nämlich ein UVR des [mm] K^3 [/mm] ist - ist ja bereits gezeigt. Diesbezüglich ist nichts mehr zu tun.
Was bedeutet [mm] ? [/mm] Das ist die Menge aller Linearkombinationen, die man aus [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] schreiben kann.
Deine Aufgabe: Du mußt zeigen, daß jeder Vektor, der in V einhalten ist, als Linearkombination von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] geschrieben werden kann, also
zu zeigen:
[mm] v\in [/mm] V ==> es gibt [mm] \lambda [/mm] und [mm] \nu [/mm] aus K mit [mm] v=\lambdaw_1 +\nu w_2.
[/mm]
> Aufgabe soweit richtig verstanden?
Leider nicht.
Fang so an:
sei [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in [/mm] V.
Was bedeutet das, daß der in V ist? Was gilt für die Komponenten?
Drücke nun [mm] v_3 [/mm] durch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aus:
[mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in [/mm] V ==> es ist [mm] v=\vektor{v_1\\v_2\\...}.
[/mm]
Überlege Dir jetzt, wie Du [mm] \vektor{v_1\\v_2\\...} [/mm] als Linearkombination von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] schreiben kannst.
> Zu 2)
>
> Bei dieser Aufgabe wäre nun zu zeigen das [mm][/mm] auch
> Teilmenge von V wären, und somit [mm]V=[/mm]
>
> nun wie würde das in etwa von statten gehen? wäre das nicht
> quasi die "Gegenrichtung" von dem was ich vorhin gezeigt
> habe?
Ja.
Rechne vor, daß jede Linearkombination von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] in V liegt, dh. die Bedingung "Summe der Komponenten ergibt 0" erfüllt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Was bedeutet [mm]?[/mm] Das ist die Menge aller
> Linearkombinationen, die man aus [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] schreiben
> kann.
Stimmt, das habe ich eigentlich bei einer weitern Aufgabe gemerkt das es die Menge von Linearkombinationen sein muss und nicht Vektoren, sorry.
> Deine Aufgabe: Du mußt zeigen, daß jeder Vektor, der in V
> einhalten ist, als Linearkombination von [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm]
> geschrieben werden kann, also
>
> zu zeigen:
>
> [mm]v\in[/mm] V ==> es gibt [mm]\lambda[/mm] und [mm]\nu[/mm] aus K mit [mm]v=\lambda w_1 +\nu w_2.[/mm]
>
Ok das ist nun auch klar, dass ich das so schreiben muss
> Fang so an:
>
> sei [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] V.
>
> Was bedeutet das, daß der in V ist?
Das bedeutet das er auch in in [mm] K^3 [/mm] sein muss, also das jeder Vektor von V auch im Vektorraum ist, also würde das heissen das auch jeder Vektor v in [mm] K^3 [/mm] auch also Linearkombination von [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] geschrieben werden kann?
> Was gilt für die Komponenten?
Die einzelnen Komponenten müssen immer noch diese Vorschrift erfüllen x+y+z=0
> Drücke nun [mm]v_3[/mm] durch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
Aber wieso soll ich den [mm] v_3 [/mm] durch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] ausdrücken? das verstehe ich nicht ganz.
> [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] V ==> es ist
> [mm]v=\vektor{v_1\\v_2\\...}.[/mm]
>
> Überlege Dir jetzt, wie Du [mm]\vektor{v_1\\v_2\\...}[/mm] als
> Linearkombination von [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] schreiben kannst.
>
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> > Fang so an:
> >
> > sei [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] V.
> >
> > Was bedeutet das, daß der in V ist?
>
> Das bedeutet das er auch in in [mm]K^3[/mm] sein muss,
Hallo,
das stimmt zwar - ist aber nicht so weltbewegend...
> also das
> jeder Vektor von V auch im Vektorraum ist, also würde das
> heissen das auch jeder Vektor v in [mm]K^3[/mm] auch also
> Linearkombination von [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm] geschrieben werden kann?
Ganz sicher nicht. (Falls Basis und Dimension schon dran waren: der [mm] K^3 [/mm] hat doch die Dimension 3.)
>
> > Was gilt für die Komponenten?
> Die einzelnen Komponenten müssen immer noch diese
> Vorschrift erfüllen x+y+z=0
Aha. Darauf zielte meine Frage.
Daß sie diese Gleichung lösen ist ja gerade das markenzeichen der Vektoren, die in V sind.
>
> > Drücke nun [mm]v_3[/mm] durch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
>
> Aber wieso soll ich den [mm]v_3[/mm] durch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] ausdrücken?
> das verstehe ich nicht ganz.
Bestimmt verstehst Du es gleich.
Wenn [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] [/mm] V gilt,
ist doch [mm] v_1+v_2+v_3=0.
[/mm]
Also ist [mm] v_3= [/mm] ???,
und somit [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\....}.
[/mm]
Wenn Du soweit bist, kannst Du v leicht als die gewünschte Linearkombination schreien.
Gruß v. Angela
>
> > [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] V ==> es ist
> > [mm]v=\vektor{v_1\\v_2\\...}.[/mm]
> >
> > Überlege Dir jetzt, wie Du [mm]\vektor{v_1\\v_2\\...}[/mm] als
> > Linearkombination von [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] schreiben kannst.
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
hmm ok, nun ich verstehe es immer noch nicht :)
zumindest nicht was mir das dann bringt.
also was ich verstehe ist das ich [mm] v=\lambda [/mm] * [mm] w_1 [/mm] + [mm] \nu [/mm] * [mm] w_2 [/mm] schreiben soll, also z.B. konkret:
[mm] v=\lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \nu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
hier kann ich ja auch prüfen ob das Linear Abhängig oder Unabhängig ist wenn ich die Gleichung 0 setze, und dann kommt ja raus das sie Linear Unabhängig ist.
Würde ja dann heissen das keine Vektor v in V als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann, und dann würde sich ja alles andere erübrigen. oder sehe ich da mal wieder was falsch?
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> hmm ok, nun ich verstehe es immer noch nicht :)
>
> zumindest nicht was mir das dann bringt.
Hallo,
aber Du könntest doch mal haargenau das machen, was ich zuvor gesagt habe, oder?
Manchmal versteht man's nämlich, wenn man's getan hat.
>
> also was ich verstehe ist das ich [mm]v=\lambda[/mm] * [mm]w_1[/mm] + [mm]\nu[/mm] *
> [mm]w_2[/mm] schreiben soll,
Ja, das ist das Ziel, denn dann weißt Du daß jedes Element aus v auch in [mm] [/mm] liegt, und wie Du dahinkommst, habe ich Dir zuvor gesagt. Du mußt's nun bloß machen. Los!!!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
ok da hast ja recht,
also [mm] v_3 [/mm] kann ich also [mm] v_3=-v_1-v_2 [/mm] schreiben
und dann wäre
v:= [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ -v_1-v_2} [/mm] und wenn nun v so definiert ist
kann ich das ganze ja mal so hinschreiben, [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind ja gegeben. also: $ [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ -v_1-v_2} =\lambda [/mm] $ * $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] $ + $ [mm] \nu [/mm] $ * $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm] $
nur ganz ehrlich, ich hab das jetzt zwar so gemacht aber weshalb ich genau [mm] v_3 [/mm] anders schreiben muss, wenn [mm] v_1+v_2+v_3=0, [/mm] das verstehe ich nicht.. dann müsste ich doch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] auch anders schreiben?
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> also [mm]v_3[/mm] kann ich also [mm]v_3=-v_1-v_2[/mm] schreiben
> und dann wäre
>
> v:= [mm]\vektor{v_1 \\ v_2 \\ -v_1-v_2}[/mm] und wenn nun v so
> definiert ist
>
> kann ich das ganze ja mal so hinschreiben, [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] sind
> ja gegeben. also: [mm]\vektor{v_1 \\ v_2 \\ -v_1-v_2} =\lambda[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] + [mm]\nu[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> nur ganz ehrlich, ich hab das jetzt zwar so gemacht aber
> weshalb ich genau [mm]v_3[/mm] anders schreiben muss, wenn
> [mm]v_1+v_2+v_3=0,[/mm] das verstehe ich nicht.. dann müsste ich
> doch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] auch anders schreiben?
Paß mal auf, was Du jetzt erreicht hast:
[mm] v:=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} \in [/mm] V
==>
[mm] v=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ -v_1-v_2}= v_1*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] v_2*\vektor{0 \\ 1 \\ -1} \in .
[/mm]
Und weil das so ist, ist [mm] V\subseteq
[/mm]
---
Du hattest den Vektor v aus V, und Du hast nun gesagt, wie (!) man diesen als Linearkombination von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] schreiben kann.
Jetzt weiß man, wie's für jeden Vektor aus V geht, nämlich
[mm] v=1.Komponente*w_1 [/mm] + [mm] 2.Komponente*w_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Paß mal auf, was Du jetzt erreicht hast:
>
> [mm]v:=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} \in[/mm] V
>
> ==>
>
> [mm]v=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ -v_1-v_2}= v_1*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> + [mm]v_2*\vektor{0 \\ 1 \\ -1} \in .[/mm]
>
> Und weil das so ist, ist [mm]V\subseteq [/mm]
>
> ---
>
> Du hattest den Vektor v aus V, und Du hast nun gesagt, wie
> (!) man diesen als Linearkombination von [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm]
> schreiben kann.
> Jetzt weiß man, wie's für jeden Vektor aus V geht,
> nämlich
>
> [mm]v=1.Komponente*w_1[/mm] + [mm]2.Komponente*w_2.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Was? das war alles? hmm naja daran sieht man wohl das ich es wirklich noch nicht komplett verstanden habe :) aber ich werde es nochmal aufschreiben und mal versuchen ob ich es dann komplett verstehe.
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 19.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | Bezieht sich wieder auf die Grundaufgabe
Falls K= [mm] F_2 [/mm] , berechne |V| |
Die anderen Teilaufgaben habe ich soweit verstanden, nur bei dieser habe ich jetzt ein Problem, bzw. ist mir nicht ganz klar was ich zeigen muss.
Muss ich zuerst prüfen ob [mm] F_2 [/mm] überhaupt der Körper sein kann oder nicht? und wenn ja, dann muss ich den Betrag des Untervektorraums berechnen? Nur wie berechne ich den Betrag eines Untervektorraums? Ich denke das kann nicht schwierig sein :D nur habe ich im Moment keine Ahnung wo ich ansetzen muss
Wäre dankbar für paar Tipps
liebe grüsse
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> Bezieht sich wieder auf die Grundaufgabe
>
> Falls K= [mm]F_2[/mm] , berechne |V|
> Die anderen Teilaufgaben habe ich soweit verstanden, nur
> bei dieser habe ich jetzt ein Problem, bzw. ist mir nicht
> ganz klar was ich zeigen muss.
>
> Muss ich zuerst prüfen ob [mm]F_2[/mm] überhaupt der Körper sein
> kann oder nicht?
Hallo,
nein, ich denke nicht, daß Du das zeigen mußt.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr in der Vorlesung gezeigt habt, daß es einen Körper mit genau zwei Elementen gibt und daß Ihr diesen [mm] F_2 [/mm] genannt habt.
Oder so ähnlich. Jedenfalls darfst Du verwenden, daß [mm] F_2 [/mm] ein Körper ist, und zwar der mit genau zwei Elementen.
Du kannst Dir ja nun erstmal überlegen, welches die Elemente des [mm] K^3 [/mm] sind - also des [mm] F_2^3. [/mm] Am besten alle aufschreiben, der Aufwand hält sich in Grenzen.
Wenn Du sie dastehen hast, rechne einfach der Reihe nach durch, welche in V liegen, bei welchen die Summe der Komponenten also =0 ist.
Diese Rechnung mußt Du natürlich in [mm] F_2 [/mm] durchführen und nicht etwa in den natürlichen Zahlen. Es ist hier z.B. 1+1=0.
Tja, zu guter letzt zählst Du, wieviele Elemente in V sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
also das würde heissen der [mm] F_2^3 [/mm] hat insgesamt 8 Möglichkeiten.
da ich für x,y,z immer die 0 oder 1 wählen kann
dann sind dies Möglichkeiten:
0 0 0 = 0+0+0 = 0
0 0 1 = 0+0+1 = 1
0 1 0 = 0+0+1 = 1
0 1 1 = 0+(1+1) = 0+0 = 0
1 0 0 = 1+0+0 = 0
1 0 1 = 1+0=1+1=0
1 1 0 = (1+1)+0=0+0=0
1 1 1 = (1+1)+1=0+1=1
also habe ich |V|=4
stimmt wenigsten das für ein mal :D ?
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> also das würde heissen der [mm]F_2^3[/mm] hat insgesamt 8
> Möglichkeiten.
Hallo,
genau, er enthält 8 Elemente.
> da ich für x,y,z immer die 0 oder 1 wählen kann
>
> dann sind dies Möglichkeiten:
> 0 0 0 = 0+0+0 = 0
> 0 0 1 = 0+0+1 = 1
> 0 1 0 = 0+0+1 = 1
> 0 1 1 = 0+(1+1) = 0+0 = 0
> 1 0 0 = 1+0+0 = 0
???
> 1 0 1 = 1+0+1=1+1=0
> 1 1 0 = (1+1)+0=0+0=0
> 1 1 1 = (1+1)+1=0+1=1
>
> also habe ich |V|=4
Ja.
(Die Sache bei ??? war offensichtlich nur ein Tippfehler.)
>
> stimmt wenigsten das für ein mal :D ?
Ja. das stimmt.
(Daran, daß man ziemlich oft etwas nicht ganz richtig macht, muß man sich i.d.R. gewöhnen, wenn man ein Mathestudium beginnt. Ich hätt's mir damals auch nicht träumen lassen... Deinen Kollegen wird's nicht anders gehen.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
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> > also das würde heissen der [mm]F_2^3[/mm] hat insgesamt 8
> > Möglichkeiten.
>
> Hallo,
>
> genau, er enthält 8 Elemente.
>
>
> > da ich für x,y,z immer die 0 oder 1 wählen kann
> >
> > dann sind dies Möglichkeiten:
> > 0 0 0 = 0+0+0 = 0
> > 0 0 1 = 0+0+1 = 1
> > 0 1 0 = 0+0+1 = 1
> > 0 1 1 = 0+(1+1) = 0+0 = 0
> > 1 0 0 = 1+0+0 = 0
>
> ???
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> > 1 0 1 = 1+0+1=1+1=0
> > 1 1 0 = (1+1)+0=0+0=0
> > 1 1 1 = (1+1)+1=0+1=1
> >
> > also habe ich |V|=4
>
> Ja.
>
> (Die Sache bei ??? war offensichtlich nur ein Tippfehler.)
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> >
> > stimmt wenigsten das für ein mal :D ?
>
> Ja. das stimmt.
>
> (Daran, daß man ziemlich oft etwas nicht ganz richtig
> macht, muß man sich i.d.R. gewöhnen, wenn man ein
> Mathestudium beginnt. Ich hätt's mir damals auch nicht
> träumen lassen... Deinen Kollegen wird's nicht anders
> gehen.)
>
> Gruß v. Angela
>
Besten Dank für die Antwort und deine Hilfe, na immerhin mal etwas richtig, aber es ist halt oft wirklich deprimierend wenn man einfach nicht weiss oder versteht was man genau machen muss, und es auch nach dem 10. Versuch noch nicht klar ist, aber dann muss ich mich wohl daran gewöhnen mich in der nächsten Zeit also "ziemlicher Depp" zu fühlen :)
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