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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Lösungesmenge L aller Tripel (x,y,z) [mm] \in \IR^3, [/mm] welche die lineare Gleichung
ax+by+cz =d
erfüllen (dabei seien a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] fest gewählt) nur dann einen Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] bilden, wenn d=0 ist. |
Hallo,
hier weiss ich nicht so richtig einen Anfang.
Jeder Vektorraum enth. mind. 2 Untervektorräume, einmal sich selbst und dann noch den kleinsten Untervektorraum {0} (0 ist Nullvektor)
wenn ich für a,b,c [mm] \in\IR [/mm] Null einsetze kommt für d=0 raus.
ich finde keine gute Erklärung für die Eigenschaft (U= Untervektorraum), [mm] U\not=0.
[/mm]
Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
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> Beweisen Sie, dass die Lösungesmenge L aller Tripel (x,y,z)
> [mm]\in \IR^3,[/mm] welche die lineare Gleichung
>
> ax+by+cz =d
>
> erfüllen (dabei seien a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] fest gewählt) nur
> dann einen Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bilden, wenn d=0 ist.
> Hallo,
>
> hier weiss ich nicht so richtig einen Anfang.
Hallo,
am besten zeigst Du erstmal, daß man für d\not=0 keinen Untervektorraum hat:
Such erstmal ein Tripel, welches in L liegt. Multipliziere es z.B. mit 5. Liegt das Ergebnis auch in L?
Oder anders - schnell und einfach : liegt der Nullvektor in L? Wenn nicht, ist's kein Unterraum des \IR^3.
So, und danach betrachtest Du die Sache für d=0.
Schaust also nach, ob L:=\{\vektorx\\y\\z}\in \IR^3 | ax+by+cz=0\} ein Untervektorraum des \IR^3 ist.
Du hast zwei Möglichkeiten: entweder weist Du von A-Z die Vektorraumaxiome nach,
oder Du schaust nach, was Ihr aufgeschrieben habt darüber, wie man "Unterraum" nachweist, also die ![[]](/images/popup.gif) Unterrraumkriterien.
Letzeres ist der geschicktere Weg.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Feiratos |
zu zeigen:
[mm] d\not=0
[/mm]
meine Frage hierzu: d ist doch die Lösungsmenge,oder? das heisst dass "d" doch immer in der Lösungsmenge liegt, da es ja die Lösungsmenge selbst ist?
ax+by+cz =d
als Beispiel:
a,b,c =5
5x+5y+5z=d
also wäre hier die Lösungsmenge d= 5(x+y+z)=5x+(5y+5z)=(5x+5y)+5z=5x+5y+5z ?
bin total verwirrt, und unwissend.
Leider war ich nicht bei der ersten Vorlesung, es ging zeitlich gar nicht, und daher die Probleme.
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> zu zeigen:
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> [mm]d\not=0[/mm]
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> meine Frage hierzu: d ist doch die Lösungsmenge,oder? das
> heisst dass "d" doch immer in der Lösungsmenge liegt, da es
> ja die Lösungsmenge selbst ist?
>
> ax+by+cz =d
>
> als Beispiel:
> a,b,c =5
>
> 5x+5y+5z=d
>
> also wäre hier die Lösungsmenge d=
> 5(x+y+z)=5x+(5y+5z)=(5x+5y)+5z=5x+5y+5z ?
Hallo,
wir nehmen mal lieber a=2, b=3, c=4, d=5, damit die nicht alle gleich sind.
[mm] L:=\{\vektor{x\\,y\\z}\in \IR^3| 2x+3y+4z=5\} [/mm] enthält alle [mm] \vektor{x\\,y\\z}, [/mm] die die Gleichung 2x+3y+4z=5 lösen.
Also sind z.B. [mm] \vektor{-5\\1\\3}, \vektor{1.5 \\2\\-1}, \vektor{0\\0\\ 1.25} [/mm] in L enthalten.
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Jetzt wieder allgemein: seien a,b,c,d irgendwelche reellen Zahlen.
[mm] L:=\{\vektor{x\\,y\\z}\in \IR^3| ax+by+cz=d\} [/mm] enthält die [mm] \vektor{x,y,z}, [/mm] welche ax+by+cz=d lösen.
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Wenn gesagt wird "d=0", dann ist [mm] L:=\{\vektor{x\\,y\\z}\in \IR^3| ax+by+cz=0\} [/mm] und die [mm] \vektor{x,y,z}, [/mm] welche ax+by+cz=0 lösen.
---
Du sollst nun untersuchen, ob die Menge L ein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist, bzw. folgendes zeigen:
A. Für [mm] d\not=0 [/mm] ist L kein Vektorraum,
B. Für d=0 ist L ein Vektorraum.
Du hast nun schon die Unterraumkriterien herausgesucht:
> 1.U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> 2. für alle x,y,z [mm]\in\IR^3[/mm] gilt x+y+z
> [mm]\in\IR^3[/mm]
> [mm]3.\vektor{x\\ y\\ z} \in\IR^3[/mm] und [mm]a\in[/mm] Vektorraum gilt
> [mm]a*\vektor{x\\ y\\ z} \in[/mm] U
>
> und a wäre ein Skalar.
Wenn Du beweisen willst, daß irgendeine Menge kein Untervektorraum ist, mußt Du ein Beispiel vorzeigen, welches eine bedingung verletzt. Damit ist dann "Untervektorraum" gestorben.
So. Wir betrachten jetzt den Fall A, also [mm] d\not=0.
[/mm]
1. Man muß zeigen, daß L nichtleer ist. Dazu weist man ein konkretes Element vor, welches drin liegt.
i) wenn a,b,c alle gleich Null sind, hat man dastehen 0=d.
Diese Gleichung hat keine Lösung (das d ist fest vorgegeben!), also ist L die leere Menge. ==> kein Vektorraum für a=b=c=0 und [mm] d\not=0.
[/mm]
ii) Es sei etwa [mm] a\not=0. [/mm] Dann ist [mm] \vektor{\bruch{d-b-c}{a} \\1\\1} \in [/mm] L. (Rechne das nach). Wenn a,b,c nicht alle Null sind, hat man also im Moment noch Chancen auf Vektorraum.
2. Überspringe ich erstmal.
3. Abgeschlossenheit der Multiplikation. Die sagt, daß jedes Element aus L, welches man mit einem Skalar multipliziert, wieder in L liegt.
Berechne jetzt mal [mm] 5*\vektor{\bruch{d-b-c}{a} \\1\\1} [/mm] und schau, ob's in L liegt, also die Gleichung ax+by+cz=d löst.
Wenn nicht, ist Bedingung 3 verletzt, und L ist kein Vektorraum.
__
Nun zum Fall d=0
1. Gib ein Element an, welches drinliegt.
2. Zeig, daß wenn [mm] \vektor{x,y,z}, \vektor{x'\\y'\\z'} [/mm] die Gleichung lösen, also ax+by+cz=0 und ax'+by'+cz'=0 gilt, dann auch
[mm] \vektor{x,y,z}+\vektor{x'\\y'\\z'} [/mm] eine Lösung der Gleichung ist. (Vorrechnen).
3. Für die Multiplikation so ähnlich
---
Wenn Dir die a,b,c im Moment noch Probleme bereiten, löse die Aufgabe erstmal für die beiden Mengen [mm] L_1:=\{\vektor{x\\,y\\z}\in \IR^3| 2x+3y+4z=5\} [/mm] und [mm] L_2:=\{\vektor{x\\,y\\z}\in \IR^3| 2x+3y+4z=0\} [/mm] .
Das ist bestimmt weniger verwirrend, und danach fällt Dir die eigentliche Aufgabe etwas leichter.
Gruß v. Angela
P.S.: ein Trick noch: wenn man schaut, ob ein Unterraumkandidat nichtleer ist, prüft am am besten gleih, ob das neutrale Element drin liegt. Wenn 's nicht drin ist, ist nach 3. die Menge kein Vektorraum, und man kann sich bequem zurücklehnen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:27 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Feiratos |
Ich glaube etwas weiter gekommen zu sein, bin mir aber gar nicht sicher, also:
Um zu zeigen dass ax+by+cz =d ein Untervektorraum bildet gilt die Eigenschaften nachzuweisen: (U= Untervektorraum)
1.U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. für alle x,y,z [mm] \in\IR^3 [/mm] gilt x+y+z [mm] \in\IR^3
[/mm]
[mm] 3.\vektor{x\\ y\\ z} \in\IR^3 [/mm] und [mm] a\in [/mm] Vektorraum gilt [mm] a*\vektor{x\\ y\\ z} \in [/mm] U
und a wäre ein Skalar.
Diese drei Axiome muss ich jetzt irgendwie beweisen.
Kann vielleicht jemand helfen?
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