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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Anu |
| Aufgabe | | Zeige am Beispiel zweier geeigneter Untervektorräume [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] von [mm] \IR\^2 [/mm] , dass im Allgemeinen durch die Vereinigung zweier Untervektorräume KEIN Untervektorraum gegeben ist. |
Hallo an alle =)
Also bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen.
Zuerst habe ich [mm] U_1,U_2 \subset\ \IR\x\IR\ [/mm] gewählt mit [mm] U_1 [/mm] = [mm] \left( \bruch{x}{0} \right) [/mm] und [mm] U_2 [/mm] = [mm] \left( \bruch{0}{y} \right).
[/mm]
Für [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] \left( \bruch{x}{y} \right) [/mm] => Die Summe der UVR [mm] U_1,U_2 \subset\ \IR\
[/mm]
Woran erkenne ich nun, dass die Vereinigung der UVR [mm] U_1,U_2 [/mm] KEIN Untervektorraum bildet?
Irgendwo habe ich glaub ich etwas falsch verstanden, denn wenn [mm] U_1 \subset\ \IR\ [/mm] ist und [mm] U_2 \subset\ \IR\ [/mm] ist, dann müsste doch auch die Summe [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 \subset\ \IR\ [/mm] sein...??
[mm] \IR\ [/mm] im zweidimensionalem Raum natürlich.
Danke für evtl Tipps.
Viele Grüße,
Anu
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Hallo Anu,
die Vereinigung zweier Vektorräume ist NICHT [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2, [/mm] sondern [mm]U_1 \cup U_2[/mm]
Deine Idee ist schon nicht schlecht, nimm
[mm]U_1 = \{\vektor{x \\ 0}, x \in \IR\}[/mm] und
[mm]U_2 = \{\vektor{0 \\ y}, y \in \IR\}[/mm]
Wie sieht dann [mm]U_1 \cup U_2[/mm] aus?
Was wäre dann mit dem Vektor [mm]u = u_1 + u_2[/mm] mit [mm] u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 [/mm] ?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Anu |
Hey Gono,
danke für deine Antwort.
Also die Vereinigungsmenge von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] wäre doch dann
v = { [mm] \left( \bruch{x}{y} \right) [/mm] | x,y [mm] \subset\ \IR\} [/mm] aber da die Nullen "wegfallen" ist der Vektor v kein Element der Vereinigungsmenge und simit kein UVR....und die Schnittmenge der Nullvektor?
Richtig? =)
lg
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Hallo,
leider verstehe nicht wirklich was du sagen willst. Ich sage dir dafür mal, was ich mir dazu überlegen würde:
Wir sind also im [mm] \IR^2
[/mm]
Wähle [mm] U_1 [/mm] als die x-Achse und [mm] U_2 [/mm] als die y-Achse.
Das hast du ja auch getan.
Dann ist [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] das Koordinatenkreuz.
Nun muss ein Untervektorraum bzgl. der Addition abgeschlossen sein. Ich wähle mir also die Punkte (1,0) und (0,1).
Was ist dann die Summe davon? Liegt dieser Punkt auf dem Koordinatenachsen?
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Anu |
Hallo,
oh tut mir leid, falls ich mich nicht deutlich ausgedrückt hab.
Also die Summe ist ja dann (1,1) und dieser Punkt liegt ja nicht auf den Koordinatenachsen und daher ist dieser Punkt (1,1) auch kein UVR von [mm] U_1, U_2.
[/mm]
Allgemein wären UVR von [mm] \IR\ [/mm] x [mm] \IR\ [/mm] Geraden, die nur durch den Ursprungspunkt laufen....
So hab dis gemeint 
Liebe Grüße,
Anu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mi 11.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
> Hallo,
>
> oh tut mir leid, falls ich mich nicht deutlich ausgedrückt
> hab.
>
> Also die Summe ist ja dann (1,1) und dieser Punkt liegt ja
> nicht auf den Koordinatenachsen und daher ist dieser Punkt
> (1,1) auch kein UVR von [mm]U_1, U_2.[/mm]
...,also (1,1) [mm] $\not\in U_1 \cup U_2$ [/mm] und daher ist [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] i.A. kein UVR.
>
> Allgemein wären UVR von [mm]\IR\[/mm] x [mm]\IR\[/mm] Geraden, die nur durch
> den Ursprungspunkt laufen....
>
Das ist korrekt.
(Manchmal hingegen wird der [mm] \IR^2 [/mm] auch selber als UVR von [mm] \IR^2 [/mm] bezeichnet.)
> So hab dis gemeint
>
> Liebe Grüße,
> Anu
Gruß zurück , Patrick
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