Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Di 13.10.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathbb{K} [/mm] ein beliebiger Körper und sei U definiert durch:
[mm] U:=\{x=(a_1,a_2,...,a_n)\in\mathbb{K}^n:a_1+a_2=0, a_1+a_n=1\} [/mm] für [mm] n\geq2.
[/mm]
a) Stellt U einen Unterraum des jeweiligen [mm] $\mathbb{K}$-Vektorraumes \mathbb{K}^n [/mm] dar?
b) Sei [mm] e_n:=\{0,0,...,0,1\}\in\mathbb{K}^n [/mm] der n-te Einheitsvektor. Stellt dann [mm] V:=U-e_n:=\{x-e_n:x\in U\} [/mm] einen Untervektorraum von [mm] \mathbb{K}^n [/mm] dar? |
a) Behauptung: U stellt keinen Untervektorraum dar.
Beweis: z.z.: Der Nullvektor [mm] 0_v [/mm] ist nicht enthalten.
Sei [mm] 0_v:=\left(\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\end{array}\right) [/mm] der Nullvektor. Dann ist [mm] a_1+a_n=0+0\not=1 \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Voraussetzung
b) Behauptung: Eigentlich habe ich nach Aufgabenstellung erwartet, dass dies einen UR darstellt, wider erwarten komme ich zu einem anderen Ergebnis...
Beweis:
Seien [mm] u:=\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
u_{2}\\
\vdots\\
u_{n}-1\end{array}\right) [/mm] und [mm] v:=\left(\begin{array}{c}
v_{1}\\
v_{2}\\
\vdots\\
v_{n}-1\end{array}\right)\in [/mm] V mit [mm] u_1+u_2=0 [/mm] und [mm] u_1+u_n=1 [/mm] sowie [mm] v_1+v_2=0 [/mm] und [mm] v_1+v_n=1 [/mm] und sei [mm] \lambda\in\mathbb{R}
[/mm]
dann gilt [mm] \lambda u=\lambda\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
u_{2}\\
\vdots\\
u_{n}-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\lambda u_{1}\\
\lambda u_{2}\\
\vdots\\
\lambda(u_{n}-1)\end{array}\right) [/mm]
daraus folgt [mm] \lambda u_{1}+\lambda u_{2}=\lambda\underbrace{(u_1+u_2)}_{=0}=0
[/mm]
und [mm] \lambda u_{1}+\lambda(u_{n}-1)=\lambda(\underbrace{u_1+u_n}_{=1}-1)=0 [/mm] <- was einen Widerspruch zur voraussetzung darstellen würde, aber ich habe das Gefühl, dass an der ganzen Sache was faul ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Mi 14.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du hast richtig argumentiert.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mi 14.10.2009 | | Autor: | notinX |
Achso. Dann ist damit gezeitgt, dass weder U noch V einen UR des [mm] $\mathbb{K} [/mm] $-Vektorraumes darstellen.
Dankeschön.
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