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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | U sei due Menge aller Linearkombinationen der Vektoren [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1}.
[/mm]
a) Gehören die Vektoren [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 2} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] zu U?
b) Welche geometrische Deutung ist für den Untervektorraum U von [mm] V_{3} [/mm] möglich?
c) Gibt es einen Vektor [mm] \vec{b}\inV_{3}, [/mm] sodass [mm] W={t*\vec{b}|t\in\IR}=U [/mm] gilt? |
Hallo^^
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Kann mir bitte jemand helfen?
a) Die Vektoren [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] bilden offensichtlich einen Untervektorraum des [mm] V_{3}.
[/mm]
Jetzt mudd ich überprüfen ob [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 2} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] zu diesem Untervektorraum gehören.
Ich weiß aber nicht genau,wie ich das machen soll.
Die Kriterien für einen Untervektorraum sind [mm] 1.\vec{a}+\vec{b}=\inV_{3}
[/mm]
und [mm] 2.r*\vec{a}\inV_{3}.
[/mm]
Muss ich dann einfach [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\vektor{3 \\ 0 \\ -1}=\vektor{3 \\ 7 \\ 3} [/mm] und [mm] r*\vec{a}=r*\vektor{4 \\ 5 \\ 2}, r*\vec{b}=r*\vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] rechnen?
Das bringt mich aber nicht weiter.
Wie mach ich das denn?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy und ein frohes neues Jahr,
> U sei due Menge aller Linearkombinationen der Vektoren
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
>
> a) Gehören die Vektoren [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] bzw.
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] zu U?
> b) Welche geometrische Deutung ist für den
> Untervektorraum U von [mm]V_{3}[/mm] möglich?
> c) Gibt es einen Vektor [mm]\vec{b}\inV_{3},[/mm] sodass
> [mm]W=\{t*\vec{b}|t\in\IR\}=U[/mm] gilt?
> Hallo^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Kann mir
> bitte jemand helfen?
>
> a) Die Vektoren [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> bilden offensichtlich einen Untervektorraum des [mm]V_{3}.[/mm]
Na, so offensichtlich ist das m.E. nicht und wird erst mit dem Aufgabentext von b) klar, obwohl auch dann noch nicht klar ist, was der [mm] $V_3$ [/mm] ist ...
Das könnte doch ein VR von Polynomen sein ....
Oder ist mit [mm] $V_3$ [/mm] der [mm] $\IR^3$ [/mm] gemeint?
Dann würde das Ganze auch im Hinblick auf b) mehr Sinn bekommen
> Jetzt mudd ich überprüfen ob [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] bzw.
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] zu diesem Untervektorraum gehören. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau!
> Ich weiß aber nicht genau,wie ich das machen soll.
> Die Kriterien für einen Untervektorraum sind
> [mm]1.\vec{a}+\vec{b}=\inV_{3}[/mm]
> und [mm]2.r*\vec{a}\inV_{3}.[/mm]
>
> Muss ich dann einfach [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\vektor{3 \\ 0 \\ -1}=\vektor{3 \\ 7 \\ 3}[/mm]
> und [mm]r*\vec{a}=r*\vektor{4 \\ 5 \\ 2}, r*\vec{b}=r*\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> rechnen?
> Das bringt mich aber nicht weiter.
Nein, in der Tat nützt das wenig.
Du sollst doch lediglich prüfen, ob die beiden gegebenen Vektoren in U liege, also im Spann von [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{3 \\ 0 \\ -1}$
[/mm]
Versuche also, die gegeben Vektoren als LK dieser beiden darzustellen.
Also (1) [mm] $\vektor{4 \\ 5 \\ 2}=\lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] \ + \ [mm] \mu\cdot{}\vektor{3 \\ 0 \\ -1}$
[/mm]
(2) analog.
Gibt es reelle [mm] $\lambda,\mu$, [/mm] so dass die Gleichungen erfüllt sind?
> Wie mach ich das denn?
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy und ein frohes neues Jahr,
Danke,dir ebenfalls ein frohes neues Jahr.
> > U sei due Menge aller Linearkombinationen der Vektoren
> > [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
> >
> > a) Gehören die Vektoren [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] bzw.
> > [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] zu U?
> > b) Welche geometrische Deutung ist für den
> > Untervektorraum U von [mm]V_{3}[/mm] möglich?
> > c) Gibt es einen Vektor [mm]\vec{b}\inV_{3},[/mm] sodass
> > [mm]W=\{t*\vec{b}|t\in\IR\}=U[/mm] gilt?
> > Hallo^^
> >
> > Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Kann mir
> > bitte jemand helfen?
> >
> > a) Die Vektoren [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> > bilden offensichtlich einen Untervektorraum des [mm]V_{3}.[/mm]
>
> Na, so offensichtlich ist das m.E. nicht und wird erst mit
> dem Aufgabentext von b) klar, obwohl auch dann noch nicht
> klar ist, was der [mm]V_3[/mm] ist ...
>
> Das könnte doch ein VR von Polynomen sein ....
>
> Oder ist mit [mm]V_3[/mm] der [mm]\IR^3[/mm] gemeint?
Genau so ist es.
>
> Dann würde das Ganze auch im Hinblick auf b) mehr Sinn
> bekommen
>
>
>
> > Jetzt mudd ich überprüfen ob [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] bzw.
> > [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] zu diesem Untervektorraum gehören.
>
>
> genau!
>
> > Ich weiß aber nicht genau,wie ich das machen soll.
> > Die Kriterien für einen Untervektorraum sind
> > [mm]1.\vec{a}+\vec{b}=\inV_{3}[/mm]
> > und [mm]2.r*\vec{a}\inV_{3}.[/mm]
> >
> > Muss ich dann einfach [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\vektor{3 \\ 0 \\ -1}=\vektor{3 \\ 7 \\ 3}[/mm]
> > und [mm]r*\vec{a}=r*\vektor{4 \\ 5 \\ 2}, r*\vec{b}=r*\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> > rechnen?
> > Das bringt mich aber nicht weiter.
>
> Nein, in der Tat nützt das wenig.
>
> Du sollst doch lediglich prüfen, ob die beiden gegebenen
> Vektoren in U liege, also im Spann von [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> Versuche also, die gegeben Vektoren als LK dieser beiden
> darzustellen.
>
> Also (1) [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}=\lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} \ + \ \mu\cdot{}\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> (2) analog.
>
> Gibt es reelle [mm]\lambda,\mu[/mm], so dass die Gleichungen
> erfüllt sind?
Achso ok.Also der erste Vektor gehört zu U und der zweite nicht.
Dann komme ich jetzt zur b)
Als geometrische Deutung würde ich sagen,spannen diese beiden Vektoren eine Ebene auf.Ist es vielleicht eine parallele zur z-Achse?
c) Muss ich hier einfach einen Vektor aus dem [mm] V_{3} [/mm] suchen,der im angegebenen Untervektorraum liegt,bzw.kollinear zu einem Vektor aus U ist? Also [mm] t*\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}=\vektor{3 \\ 0 \\ -1}?
[/mm]
vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mandy!
> > Hallo Mandy und ein frohes neues Jahr,
> Danke,dir ebenfalls ein frohes neues Jahr.
> > > U sei due Menge aller Linearkombinationen der Vektoren
> > > [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
> > >
> > > a) Gehören die Vektoren [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] bzw.
> > > [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] zu U?
> > > b) Welche geometrische Deutung ist für den
> > > Untervektorraum U von [mm]V_{3}[/mm] möglich?
> > > c) Gibt es einen Vektor [mm]\vec{b}\inV_{3},[/mm] sodass
> > > [mm]W=\{t*\vec{b}|t\in\IR\}=U[/mm] gilt?
> > > Hallo^^
> > >
> > > Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Kann mir
> > > bitte jemand helfen?
> > >
> > > a) Die Vektoren [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> > > bilden offensichtlich einen Untervektorraum des [mm]V_{3}.[/mm]
> >
> > Na, so offensichtlich ist das m.E. nicht und wird erst mit
> > dem Aufgabentext von b) klar, obwohl auch dann noch nicht
> > klar ist, was der [mm]V_3[/mm] ist ...
> >
> > Das könnte doch ein VR von Polynomen sein ....
> >
> > Oder ist mit [mm]V_3[/mm] der [mm]\IR^3[/mm] gemeint?
>
> Genau so ist es.
> >
> > Dann würde das Ganze auch im Hinblick auf b) mehr Sinn
> > bekommen
> >
> >
> >
> > > Jetzt mudd ich überprüfen ob [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}[/mm] bzw.
> > > [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] zu diesem Untervektorraum gehören.
> >
> >
> > genau!
> >
> > > Ich weiß aber nicht genau,wie ich das machen soll.
> > > Die Kriterien für einen Untervektorraum sind
> > > [mm]1.\vec{a}+\vec{b}=\inV_{3}[/mm]
> > > und [mm]2.r*\vec{a}\inV_{3}.[/mm]
> > >
> > > Muss ich dann einfach [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\vektor{3 \\ 0 \\ -1}=\vektor{3 \\ 7 \\ 3}[/mm]
> > > und [mm]r*\vec{a}=r*\vektor{4 \\ 5 \\ 2}, r*\vec{b}=r*\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> > > rechnen?
> > > Das bringt mich aber nicht weiter.
> >
> > Nein, in der Tat nützt das wenig.
> >
> > Du sollst doch lediglich prüfen, ob die beiden gegebenen
> > Vektoren in U liege, also im Spann von [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> >
> > Versuche also, die gegeben Vektoren als LK dieser beiden
> > darzustellen.
> >
> > Also (1) [mm]\vektor{4 \\ 5 \\ 2}=\lambda\cdot{}\vektor{2 \\ 1 \\ 0} \ + \ \mu\cdot{}\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> >
> > (2) analog.
> >
> > Gibt es reelle [mm]\lambda,\mu[/mm], so dass die Gleichungen
> > erfüllt sind?
>
> Achso ok.Also der erste Vektor gehört zu U und der zweite
> nicht.
>
> Dann komme ich jetzt zur b)
>
> Als geometrische Deutung würde ich sagen,spannen diese
> beiden Vektoren eine Ebene auf.
> Ist es vielleicht eine
> parallele zur z-Achse?
Hmm, ich bin mir nicht sicher, was du hier meinst.
Bedenke: der Vektor [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] liegt in der xy-Ebene und der Vektor [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm] in der xz-Ebene. Daher liegt die aufgespannte Ebene irgendwie schief zu den Achsen.
>
> c) Muss ich hier einfach einen Vektor aus dem [mm]V_{3}[/mm]
> suchen,der im angegebenen Untervektorraum
> liegt,bzw.kollinear zu einem Vektor aus U ist? Also
> [mm]t*\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}=\vektor{3 \\ 0 \\ -1}?[/mm]
Nein gefragt ist viel mehr: Du hast die Menge [mm]W=\{t*\vec{b}_3\mid t\in\IR\}[/mm]. Die Frage ist: ist diese Menge genau der auf deinen beiden Vektoren [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm] aufgespannte Unterraum $U$?
Wie sieht die Menge $W$ denn aus? Sie besteht doch auch allen Vektoren, die kollinear zu [mm] $\vec{b_3}$ [/mm] sind. Kann sie also gleich $U$ sein?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 03.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> > c) Muss ich hier einfach einen Vektor aus dem [mm]V_{3}[/mm]
> > suchen,der im angegebenen Untervektorraum
> > liegt,bzw.kollinear zu einem Vektor aus U ist? Also
> > [mm]t*\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}=\vektor{3 \\ 0 \\ -1}?[/mm]
>
> Nein gefragt ist viel mehr: Du hast die Menge
> [mm]W=\{t*\vec{b}_3\mid t\in\IR\}[/mm]. Die Frage ist: ist diese
> Menge genau der auf deinen beiden Vektoren [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm] aufgespannte Unterraum [mm]U[/mm]?
>
> Wie sieht die Menge [mm]W[/mm] denn aus? Sie besteht doch auch allen
> Vektoren, die kollinear zu [mm]\vec{b_3}[/mm] sind. Kann sie also
> gleich [mm]U[/mm] sein?
Ich denke nicht,dass W gleich U sein kann,denn W enthält nur parallele Vektoren,die folglich nicht eine Ebene aufspannen können wie U?
Stimmt das so?
lg
> Viele Grüße
> Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 03.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mandy,
> Ich denke nicht,dass W gleich U sein kann,denn W enthält
> nur parallele Vektoren,die folglich nicht eine Ebene
> aufspannen können
Tatsächlich kann man (muss man aber hier zur Lösung nicht) W noch genauer beschreiben. Denk dazu mal an Geradengleichungen in Parameterform...
Viele Grüße
Tobias
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