Untervektorraum von R²? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
Hallo,
ich soll von den Mengen U1, U2 und U3 sagen, ob sie Untervektorräume von R² sind.
Ich weiß, dass ein UVR nicht leer sein darf, und auf Addition und Multiplikation abgeschlossen sein muss. Ich weiß aber absolut nicht, wie ich dass für die gegebenen Mengen zeigen soll.
Die Mengen sehen wie folgt aus:
U1: x² + [mm] y^4 [/mm] = 0
U2: x² + y² = 1
U3: x² + y² = -1
Bei U3 hätte ich mal direkt gesagt, dass es kein UVR ist, denn keine quadrierte Zahl aus R ergibt, mit einer anderen quadrierten Zahl aus R, -1. Also wäre die Menge hier leer. Ist dieser Gedanke richtig?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank und liebe Grüße
MoniTor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Mengen sehen wie folgt aus:
> U1: x² + [mm]y^4[/mm] = 0
> U2: x² + y² = 1
> U3: x² + y² = -1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich sehe hier keine Mengen...
Du solltest Dir schon die Mühe machen, die [mm] U_i [/mm] richtig hinzuschreiben.
Wir wollen Dir doch helfen und nicht an einem Ratespiel teilnehmen.
Zu [mm] U_1: [/mm] überlege Dir mal, welche Elemente des [mm] \IR^2 [/mm] in der Menge enthalten sind.
Zu [mm] U_2: [/mm] sag mal ein Element, welches in dieser Menge ist. Ist das 5-fache auch drin?
> Bei U3 hätte ich mal direkt gesagt, dass es kein UVR ist,
> denn keine quadrierte Zahl aus R ergibt, mit einer anderen
> quadrierten Zahl aus R, -1. Also wäre die Menge hier leer.
> Ist dieser Gedanke richtig?
Ja.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Und sorry für die falsche Notation.
In [mm]U_1[/mm] kann nur die 0 enthalten sein. Und in [mm]U_2[/mm] die 0 und die 1. Aber wieso das 5-fache? Das verstehe ich nicht so ganz. Und wie überprüfe ich das denn jetzt weiter?
LG MoniTor
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> Und sorry für
> die falsche Notation.
Hallo,
die richtige Notation ist für Dich wichtiger als für mich.
Ich bin mir nämlich überhaupt nicht sicher, daß Du die Mengen richtig verstanden hast.
> In [mm]U_1[/mm] kann nur die 0 enthalten sein.
Was meinst Du damit? Ist Dir klar, daß Du gerade Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] betrachtest?
Recht hast Du damit, daß [mm] U_1 [/mm] nur ein Element enthält.
> Und in [mm]U_2[/mm] die 0 und
> die 1.
Nein. Weder 1 noch 0 sind in dieser Menge.
Schreib jetzt die Menge mal richtig auf, damit wir sie besprechen können.
> Aber wieso das 5-fache? Das verstehe ich nicht so
> ganz.
Wie lauten die Unterraumkriterien?
Du sagst doch selbst, daß Du die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation mit Skalaren prüfen mußt.
Das bedeutet: wenn [mm] U_2 [/mm] ein UVR ist, dann muß jedes Vielfache eines Elementes von [mm] U_2 [/mm] auch in [mm] U_2 [/mm] sein.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
Ich glaub jetzt bin ich ganz verwirrt. :-(
Die Mengen sind doch [mm]U_1[/mm] mit (x,y)[mm]\in[/mm] [mm]\IR^2[/mm] mit [mm] x^2+y^4 [/mm] = 0.
Und [mm]U_2[/mm] mit (x,y)[mm]\in[/mm] [mm]\IR^2[/mm] mit [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1.
[mm]U_3[/mm] muss ich ja jetzt nicht mehr betrachten.
Ich weiß nicht weiter.
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> Ich glaub jetzt bin ich ganz verwirrt. :-(
Hallo,
es wäre gut, würdest Du diese verwirrung mal in Worte fassen, damit wir sie entwirren können.
> Die Mengen sind doch [mm]U_1[/mm] mit (x,y)[mm]\in[/mm] [mm]\IR^2[/mm] mit [mm]x^2+y^4[/mm] =
> 0.
> Und [mm]U_2[/mm] mit (x,y)[mm]\in[/mm] [mm]\IR^2[/mm] mit [mm]x^2+y^2[/mm] = 1.
Ja.
[mm] U_1:=\{(x,y)\in \IR^2| x^2+y^4=0\}
[/mm]
[mm] U_2:=\{(x,y)\in \IR^2| x^2+y^2=1\}.
[/mm]
In diesen Mengen sind keine reellen Zahlen, sondern es sind Zahlenpaare drin!
Es enthält [mm] U_1 [/mm] nur ein Element, es ist [mm] U_1=\{(0,0)\}.
[/mm]
Du solltest nun überlegen, ob dies ein UVR ist.
In [mm] U_2 [/mm] sind alle Punkte des Einheitskreises.
Wie Du die UVR-Eigenschaft widerlegen kannst, habe ich Dir schon gesagt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
Vielen Dank. Ich probiere mal noch ein bisschen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
So, ich habe das jetzt nochmal versucht nachzuweisen.
Ich kam jetzt darauf, dass [mm]U_1[/mm] ein UVR von [mm]\IR^2[/mm] ist. Aber [mm]U_2[/mm] ist kein UVR von [mm]\IR^2[/mm], denn schon die Addition ist nicht abgeschlossen. Deshalb musste ich die Multiplikation nicht mehr prüfen.
Ich hoffe, dass das so stimmt?! 
LG
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Hallo,
> So, ich habe das jetzt nochmal versucht nachzuweisen.
> Ich kam jetzt darauf, dass [mm]U_1[/mm] ein UVR von [mm]\IR^2[/mm] ist.
Ja, das ist richtig. Der Nullvektorraum ist immer Untervektorraum!
> Aber
> [mm]U_2[/mm] ist kein UVR von [mm]\IR^2[/mm], denn schon die Addition ist
> nicht abgeschlossen. Deshalb musste ich die Multiplikation
> nicht mehr prüfen.
Ja, das ist richtig.
Du solltest aber ein konkretes Gegenbeispiel für die Nicht-Abgeschlossenheit der Addition hinschreiben. Kannst du so eines angeben?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
Hallo Stefan,
also ich habe das bei [mm]U_2[/mm] mit der Addition so gezeigt:
[mm]\pmat{ (x_1)^2 & +(y_1)^2 \\ 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ (x_2)^2 & +(y_2)^2 \\ 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ (x_1)^2 + (x_2)^2 & +(y_1)^2 + (y_2)^2 \\ 1+1 }[/mm] = [mm]\pmat{ (x_1)^2 + (x_2)^2 & +(y_1)^2 + (y_2)^2 \\ 2 }[/mm] und das ist [mm]\not\in[/mm] [mm]U_2[/mm]
Kann ich das so zeigen?
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Hallo,
> also ich habe das bei [mm]U_2[/mm] mit der Addition so gezeigt:
>
> [mm]\pmat{ (x_1)^2 & +(y_1)^2 \\ 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ (x_2)^2 & +(y_2)^2 \\ 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ (x_1)^2 + (x_2)^2 & +(y_1)^2 + (y_2)^2 \\ 1+1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ (x_1)^2 + (x_2)^2 & +(y_1)^2 + (y_2)^2 \\ 2 }[/mm] und
> das ist [mm]\not\in[/mm] [mm]U_2[/mm]
>
> Kann ich das so zeigen?
Nein. Wie angela gesagt hast, ist dir vielleicht doch noch nicht ganz klar, welche Elemente in [mm] U_2 [/mm] sind.
Die Elemente in [mm] $U_2$ [/mm] sind Tupel [mm] $(x,y)\in \IR^2$, [/mm] für die [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2= [/mm] 1$ sind.
Ein Element von [mm] $U_2$ [/mm] ist also zum Beispiel [mm] $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) [/mm] $ oder $(1,0)$.
Du hast ja die Bedingung, dass ein Vektor in [mm] $U_2$ [/mm] liegt, in die Komponenten deiner Vektoren geschrieben. Das macht gar keinen Sinn!
Um zu zeigen, dass [mm] $U_2$ [/mm] nicht bzgl. der Addition abgeschlossen ist, musst du zwei Elemente [mm] $(x_1,y_1), (x_2,y_2) \in U_2$ [/mm] nehmen und zeigen, dass [mm] $(x_1,y_1) [/mm] + [mm] (x_2, y_2) [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2, y_1 [/mm] + [mm] y_2) \not\in U_2$ [/mm] ist.
Beispiel: $(1,0), (0,1) [mm] \in U_2$. [/mm] (denn es ist [mm] $1^2 [/mm] + [mm] 0^2 [/mm] = 1, [mm] 0^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] = 1$) <-- Sind dir diese Gleichungen klar? Also dass dadurch gezeigt ist, dass $(1,0), (0,1) [mm] \in U_2$ [/mm] ?)
Aber: $(1,1) = (0,1) + (1,0) [mm] \not\in U_2$, [/mm] denn es ist [mm] $1^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] = 2 [mm] \not= [/mm] 1$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:40 Di 25.06.2013 | | Autor: | MoniTor |
Ok, das leuchtet ein.
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