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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 17.07.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | [mm] A_1:=\{(x,y)\in\IR^2|(x^2)^{\bruch{1}{3}}+(y^2)^{\bruch{1}{3}}< 4\}
[/mm]
[mm] A_2:=\{(x,y)\in\IR^2|x^2+xy+y^2=3\}
[/mm]
Sind die Mengen kompakt? |
Hallo,
befindet man sich im [mm] \IR^n [/mm] kann man mit Heine-Borel argumentieren: Eine Menge ist kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Die Beschränktheit zu zeigen, bekomme ich in vielen Fällen hin,
aber bei der Abgeschlossenheit gibt es des öfteren Schwierigkeiten.
Es gilt:
i) Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen sind offen.
ii) Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind abgeschlossen.
Nur mit den Urbildern habe ich da so meine Probleme.
Zur Menge [mm] A_1:
[/mm]
[mm] A_1=f^{-1}((-\infty,4)) [/mm] mit stetiger Funktion [mm] f(x,y)=(x^2)^{\bruch{1}{3}}+(y^2)^{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
Wieso ist das das Urbild? Unter Urbild verstehe ich die x und y, die
[mm] (x^2)^{\bruch{1}{3}}+(y^2)^{\bruch{1}{3}}< [/mm] 4 erfüllen.
Aber wieso kann ich da [mm] -\infty [/mm] wählen? Das passt doch gar nicht?
Und zu [mm] A_2 [/mm] kann ich auch nichts sagen, was das Urbild betrifft.
Hat jemand einen Tipp, wie man das Urbild bestimmt bzw. wo mein Denkfehler liegt?
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo
[mm]-\infty[/mm] kann man wirklich nicht wählen.
Gemeint ist eine Zahl aus dem Intervall ([mm]-\infty[/mm],4)
Das Urbid unter deiner Funktion f sollte man besser als Menge aller Zahlenpaare (x,y) mit der Eigenschaft f(x,y) ist im Intervall ([mm]-\infty[/mm],4) schreiben.
Dann passt´s doch.
Bei der anderen Menge wähle analog eine Funktion f, die Menge ist dann [mm] f^{-1}(3), [/mm] also abgeschlossen.
War der Tipp zu kurz, so melde dich bitte nochmal
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 17.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> War der Tipp zu kurz, so melde dich bitte nochmal
Danke.
> Das Urbid unter deiner Funktion f sollte man besser als Menge aller Zahlenpaare (x,y) mit der Eigenschaft f(x,y) ist im Intervall ($ [mm] -\infty [/mm] $,4) schreiben. Dann passt´s doch.
Achso, unter Urbild verstehe ich also alle Zahlenpaare (x,y), die die Eigenschaft [mm] f(x,y)\le4 [/mm] haben.
Und dann heißt das automatisch, dass sich f(x,y) im Intervall ($ [mm] -\infty [/mm] $,4) "bewegt."
Mein Problem ist/war nur, dass in diesem Fall doch kein Zahlenpaar [mm] -\infty [/mm] annimt, da
[mm] f(x,y)=(x^2)^{\bruch{1}{3}}+(y^2)^{\bruch{1}{3}} \ge0 [/mm] für alle Zahlenpaare (x,y).
Ist mein Problem klar? Oder muss ich das einfach ignorieren und sagen, theoretisch gibt es keine Grenze nach untern?
MfG
barsch
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> Hi,
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> > War der Tipp zu kurz, so melde dich bitte nochmal
>
> Danke.
>
>
> > Das Urbid unter deiner Funktion f sollte man besser als
> Menge aller Zahlenpaare (x,y) mit der Eigenschaft f(x,y)
> ist im Intervall ([mm] -\infty [/mm],4) schreiben. Dann passt´s
> doch.
>
> Achso, unter Urbild verstehe ich also alle Zahlenpaare
> (x,y), die die Eigenschaft [mm]f(x,y)\le4[/mm] haben.
>
> Und dann heißt das automatisch, dass sich f(x,y) im
> Intervall ([mm] -\infty [/mm],4) "bewegt."
>
> Mein Problem ist/war nur, dass in diesem Fall doch kein
> Zahlenpaar [mm]-\infty[/mm] annimt, da
>
> [mm]f(x,y)=(x^2)^{\bruch{1}{3}}+(y^2)^{\bruch{1}{3}} \ge0[/mm] für
> alle Zahlenpaare (x,y).
>
> Ist mein Problem klar? Oder muss ich das einfach ignorieren
> und sagen, theoretisch gibt es keine Grenze nach untern?
Du machst Dir unnötige Sorgen: die Menge [mm] $(-\infty;4)$ [/mm] ist doch eine offene Menge des Wertevorrats [mm] $\IR$ [/mm] der fraglichen stetigen Funktion. - Einverstanden?
Es ist völlig wurst, ob in dieser Menge Werte enthalten sind, die die Funktion $f$ gar nicht annehmen kann: wichtig ist nur, dass es sich um eine offene Menge bezüglich der Topologie von [mm] $\IR$ [/mm] handelt (die stetige Funktion $f$ spielt bei dieser Frage gar keine Rolle).
Und dann gilt eben: das inverse Bild dieser offenen Menge unter $f$ ist ebenfalls offen (zusammen mit der Beschränktheit dieses inversen Bildes folgt daraus, dass dieses inverse Bild nicht abgeschlossen ist). Dieses inverse Bild von [mm] $(-\infty;4)$ [/mm] unter $f$ ist die Menge [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\mid f(x,y) \in (-\infty;4)\}=\{(x,y)\in\IR^2\mid (x^2)^{\bruch{1}{3}}+(y^2)^{\bruch{1}{3}} < 4\}$.
[/mm]
Bem: es kann sein, dass das inverse Bild einer offenen Menge bei einer stetigen Abbildung auch abgeschlossen ist: offen ist es in jedem Falle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mi 18.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
habe noch mal eine Frage:
> Bei der anderen Menge wähle analog eine Funktion f, die
> Menge ist dann [mm]f^{-1}(3),[/mm] also abgeschlossen.
[mm] \{(x,y)\in\IR^2\mid f(x,y) \in (-\infty;3]\} [/mm] oder
[mm] \{(x,y)\in\IR^2\mid f(x,y) \in [3,\infty)\}
[/mm]
ist das das Urbild von [mm] A_2:=\{(x,y)\in\IR^2|x^2+xy+y^2=3\}?
[/mm]
Erst einmal vielen Dank soweit.
MfG
barsch
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hallo
hier soll ja f(x,y) keiner Ungleichung sondern einer Gleichung genügen. Entsrechend sind die Funktionswerte nicht in einem Intervall sondern nehmen nur den Wert 3 an.
Also
[mm]\{(x,y)\in\IR^2\mid f(x,y)=3\} [/mm] [mm] =A_2
[/mm]
mit [mm] f(x,y)=x^{2} [/mm] + xy + [mm] y^{2}
[/mm]
Gruß korbinian
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