Urbild bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 03.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo...
ich habe eine Aufgabe gefunden, wo ich das Urbild bestimmen soll...
Bestimmen Sie das Urbild [mm] f^{-1}(U) [/mm] in den folgeden Fällen:
a) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{2}-2 [/mm] für U =[-1,2]
b) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{2}-2 [/mm] für U =[-3,4]
c) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{3}-3x [/mm] für U =(2,18)
d) [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^{3}-3x [/mm] für U =(-2,2)
e) [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7} [/mm] für U [mm] =\{1\}
[/mm]
f) [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8} [/mm] für U [mm] =\{0\}
[/mm]
g) [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9} [/mm] für U [mm] =\{-1\}
[/mm]
Bestimmen Sie zudem jeweils [mm] f(f^{-1}(U)) [/mm] und vergleichen Sie dies mit U. Fällt Ihnen etwas auf? Was könnte dahinter stecken?
also zu a)
[mm] x^{2}-2 \ge [/mm] -1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge \wurzel{3}
[/mm]
[mm] x^{2}-2 \le [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
d.h. [mm] f^{-1}(U)=[\wurzel{3}, [/mm] 2]
zu b)
[mm] x^{2}-2 \ge [/mm] -3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge \wurzel{-1} \Rightarrow [/mm] x = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] x^{2}-2 \le [/mm] 4 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le \wurzel [/mm] {6}
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\emptyset
[/mm]
zu c)
[mm] x^{3}-3x>2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)>0 \Rightarrow [/mm] x>2
[mm] x^{3}-3x<18 \Rightarrow (x-3)(x^{2}+3x+6) [/mm] <0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<-3
d.h. [mm] f^{-1}(U)=(2,-3)
[/mm]
zu d)
[mm] x^{3}-3x>-2 \Rightarrow (x-2)^{2}*(x+2)>0 \Rightarrow [/mm] x>-2
[mm] x^{3}-3x<2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)<0 \Rightarrow [/mm] x<2
d.h. [mm] f^{-1}(U)=(-2,2)
[/mm]
zu e)
[mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7}=1 \Rightarrow (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=1 \Rightarrow x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=1 [/mm] oder [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0
[/mm]
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\{0,1\} [/mm] und [mm] f^{-1}(U)=\{1,0\}
[/mm]
zu f)
[mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8}=0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}=0
[/mm]
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\{0,0\}
[/mm]
zu g)
[mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9}=\{-1\} \Rightarrow x=\emptyset
[/mm]
d.h. [mm] f^{-1}(U)=\emptyset
[/mm]
Ist das so richtig? Oder habe ich da irgendwas verwechselt? Kann man das so machen?
MFG
kiwibox
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> Hallo...
> ich habe eine Aufgabe gefunden, wo ich das Urbild
> bestimmen soll...
>
> Bestimmen Sie das Urbild [mm]f^{-1}(U)[/mm] in den folgeden
> Fällen:
> a) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{2}-2[/mm] für U =[-1,2]
> b) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{2}-2[/mm] für U =[-3,4]
> c) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{3}-3x[/mm] für U =(2,18)
> d) [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x^{3}-3x[/mm] für U =(-2,2)
> e) [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7}[/mm] für U [mm]=\{1\}[/mm]
> f) [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8}[/mm] für U [mm]=\{0\}[/mm]
> g) [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9}[/mm] für U [mm]=\{-1\}[/mm]
> Bestimmen Sie zudem jeweils [mm]f(f^{-1}(U))[/mm] und vergleichen
> Sie dies mit U. Fällt Ihnen etwas auf? Was könnte
> dahinter stecken?
>
> also zu a)
> [mm]x^{2}-2 \ge[/mm] -1 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge \wurzel{3}[/mm]
Quatsch.
> [mm]x^{2}-2 \le[/mm] 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=[\wurzel{3},[/mm] 2]
Hallo,
es sieht mir schon so aus, als hättest Du es eigentlich verstanden - allerdings sind die gezeigten Rechenkünste noch nicht so berauschend.
Tip: zeichne Dir die Funktion f(x) doch mal auf und schau nach, welche x auf Werte zwischen -1 und 2 abgebildet werden.
So kannst Du Deine Ergebnisse kontrollieren.
Weiter: wenn man z.B. hat [mm] x^2=81, [/mm] dann gibt es für diese Gleichung zwei Lösungen, und bei Ungleichungen ist das analog.
>
> zu b)
> [mm]x^{2}-2 \ge[/mm] -3 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge \wurzel{-1} \Rightarrow[/mm] x
> = [mm]\emptyset[/mm]
Das ist falsch. Aus [mm] x^2-2\ge [/mm] -3 folgt [mm] x^2>-1, [/mm] und diese Gleichung hat durchaus Lösungen.
> [mm]x^{2}-2 \le[/mm] 4 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le \wurzel[/mm] {6}
s.o.
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=\emptyset[/mm]
>
> zu c)
> [mm]x^{3}-3x>2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)>0 \Rightarrow[/mm] x>2
> [mm]x^{3}-3x<18 \Rightarrow (x-3)(x^{2}+3x+6)[/mm] <0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> x<-3
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=(2,-3)[/mm]
Kontrolliere auch dies anhand einer Skizze des Graphen und überlege Dir, wo Dein Fehler steckt.
>
> zu d)
> [mm]x^{3}-3x>-2 \Rightarrow (x-2)^{2}*(x+2)>0 \Rightarrow[/mm]
> x>-2
> [mm]x^{3}-3x<2 \Rightarrow (x+1)^{2}*(x-2)<0 \Rightarrow[/mm] x<2
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=(-2,2)[/mm]
richtig.
>
> zu e)
> [mm](x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{7}=1 \Rightarrow (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=1 \Rightarrow x_{1}=0[/mm]
> und [mm]x_{2}=1[/mm] oder [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=0[/mm]
Nein.
Auf welchem geometrischen Gebilde liegen die Punkte, für die [mm] (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=1 [/mm] gilt?
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=\{0,1\}[/mm] und [mm]f^{-1}(U)=\{1,0\}[/mm]
>
> zu f)
> [mm](x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{8}=0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}=0[/mm]
>
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=\{\red{(}0,0\red{)}\}[/mm]
richtig.
>
> zu g)
> [mm](x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{9}=\{-1\} \Rightarrow x=\emptyset[/mm]
??? Die Schreibweise x=0 ist sinnlos. Du meinst es aber richtig.
>
> d.h. [mm]f^{-1}(U)=\emptyset[/mm]
Ja, richtig.
Gruß v. Angela
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