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| Aufgabe | Es sei f:[a,b] [mm] -->\IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion. Unter dem Mittelwert von f über dem Intervall [a,b] versteht man die Zahl
[mm] \mu_{f} [/mm] := [mm] \bruch{1}{(b-a)} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]
Sei [mm] U:={x\in [a,b] | f(x)= \mu_{f} } [/mm] das Urbild des Mittelwertes unter f. Begründe oder widerlege folgende Aussagen:
a) f stetig [mm] \Rightarrow [/mm] |U | > 0
b) |U | > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig
c) f streng monoton [mm] \Rightarrow [/mm] |U | [mm] \le [/mm] 1
d) |U | = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton |
Wie kann ich diese Aussagen begründen oder wiederlegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f:[a,b] [mm]-->\IR[/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion.
> Unter dem Mittelwert von f über dem Intervall [a,b]
> versteht man die Zahl
> [mm]\mu_{f}[/mm] := [mm]\bruch{1}{(b-a)} \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> Sei [mm]U:={x\in [a,b] | f(x)= \mu_{f} }[/mm] das Urbild des
> Mittelwertes unter f. Begründe oder widerlege folgende
> Aussagen:
> a) f stetig [mm]\Rightarrow[/mm] |U | > 0
> b) |U | > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig
> c) f streng monoton [mm]\Rightarrow[/mm] |U | [mm]\le[/mm] 1
> d) |U | = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] f streng monoton
> Wie kann ich diese Aussagen begründen oder wiederlegen?
Ich zeig Dir mal a) und b)
a)
Da f stetig ist ex. m:=min [mm] \{f(x): x \in [a,b] \} [/mm] und M:=max [mm] \{f(x): x \in [a,b] \} [/mm]
Auf [a,b] haben wir also: m [mm] \le [/mm] f [mm] \le [/mm] M. Wenn wir integrieren bekommen wir:
m(b-a) [mm] \le \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le [/mm] M(b-a)
Wir teilen durch b-a>0:
m [mm] \le \mu_f \le [/mm] M
Jetzt bemühe den Zwischenwertsatz.
b)
Betrachte mal f:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] def. durch
f(0)=0 unf f(x)=1 für x [mm] \in [/mm] (0,1]
Begründe: f ist Riemannntegrierbar, |U | > 0, f ist nicht stetig.
FRED
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herzlichen Dank,
ich habe mal noch eine Frage, wie sieht denn diese Funktion |U| aus.
Also was wäre ein Beispiel dafür?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> herzlichen Dank,
>
> ich habe mal noch eine Frage, wie sieht denn diese Funktion
> |U| aus.
Mit |U| ist die Anzahl der Elemente von U gemeint.
FRED
>
> Also was wäre ein Beispiel dafür?
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wenn ich jetzt so eine funktion f mit |U|=0 für das Intervall [1,0] konstruieren würde, heißt das, dass alle Elemente von f =0 sein müssen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich kapiere die Frage nicht:
> wenn ich jetzt so eine funktion f mit |U|=0 für das
> Intervall [1,0]
[mm] $$[1,0]=\emptyset\,. \text{ Du meinst }[0,1]\,.$$
[/mm]
(Irgendwie finde ich [mm] $\varnothing$ [/mm] ein schöneres Symbol für [mm] $\emptyset\,,$
[/mm]
aber halten wir uns halt an die Definitionen in Latex...)
> konstruieren würde, heißt das, dass alle
> Elemente von f =0 sein müssen?
$|U|=0 [mm] \gdw U=\emptyset\,.$ [/mm] Anders gesagt, weil ja [mm] $U=f^{-1}(\{\mu_f\})=\{x \in [a,b]: f(x)=\mu_f\}$ [/mm] war:
1. Fall: [mm] $U=\emptyset$ [/mm] bzw. [mm] $|U|=0\,:$ [/mm] Hier gibt es kein $x' [mm] \in [/mm] [a,b]$ so,
dass [mm] $f(x')=\mu_f\,.$ [/mm] Anders gesagt: Für alle [mm] $x\in [/mm] [a,b]$ gilt $f(x) [mm] \not=\mu_f\,.$
[/mm]
2. Fall: $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] bzw. $|U| > [mm] 0\,:$ [/mm] Hier gibt es (mindestens) ein
$x' [mm] \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x')=\mu_f\,.$
[/mm]
Fred hat schon gezeigt: Ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig, so ist $|U| > [mm] 0\,.$ [/mm] Oder anders
gesagt: Es ist $|U| [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Denn nach dem Zwischenwertsatz existiert...
Bei Aufgabe b) sagt er: Er hat ein nicht-stetiges [mm] $f\,$ [/mm] so angegeben, so
dass $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] ist: Genaugenommen ist [mm] $U=(0,1]\,$ [/mm] (und damit
[mm] $|U|=\infty\,,$ [/mm] zudem ist [mm] $U\,$ [/mm] sogar überabzählbar) - auch das folgt
sofort aus allem, was Fred da geschrieben hat. Damit kann b) nicht wahr sein.
Ein anderes Beispiel:
Betrachte [mm] $\tilde{\text{f}}(x):=\frac{1}{2}*x$ [/mm] für $x [mm] \in [0,1]\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\mu_{\;\tilde{\text{f}}}=1^2/4=1/4\,,$
[/mm]
und aus [mm] $\tilde{\text{f}}^{-1}(\{1/4\})=\{1/2\}$ [/mm] folgt [mm] $|U|=|\{1/2\}|=1\,.$
[/mm]
Nun definiere man einfach [mm] $f(x):=\tilde{\text{f}}(x)$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] (0,1]$ und
etwa [mm] $f(0):=27*\pi\,,$ [/mm] und schon gilt für [mm] $f\,$ [/mm] das gleiche wie für [mm] $\tilde{\text{f}}$
[/mm]
abgesehen von der Tatsache, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig ist (da unstetig in [mm] $x_0=0$).
[/mm]
Das ganze habe ich nur deswegen ergänzt, dass niemand auf die Idee
kommt, dass für so ein unstetiges [mm] $f\,$ [/mm] sicher [mm] $|U|=\infty$ [/mm] gelten müßte...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> c) f streng monoton [mm]\Rightarrow[/mm] |U | [mm]\le[/mm] 1
die Aufgabe ist doch ziemlich trivial: Als streng monotone Abbildung ist [mm] $f\,$
[/mm]
insbesondere injektiv. Wieviele Elemente kann denn allgemein ein Urbild
[mm] $$h^{-1}(\{y\})$$
[/mm]
maximal haben, wenn $h: X [mm] \to [/mm] Y$ injektiv ist und [mm] $y\in [/mm] Y$ bel., aber fest,
gewählt wurde?
> d) |U | = 1 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f streng monoton
Ohne, dass ich es explizit beachtete: Die Antwort zu dieser Frage findest
Du insbesondere auch hier (klick!).
Gruß,
Marcel
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was wäre denn eigentlich wenn f strenf monoton ist.
Wäre dann [mm] \mu_{f} [/mm] auch streng monoton?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> was wäre denn eigentlich wenn f strenf monoton ist.
>
> Wäre dann [mm]\mu_{f}[/mm] auch streng monoton?
Die Frage ist doch völlig unsinnig !
Es ist doch
$ [mm] \mu_{f} [/mm] $ := $ [mm] \bruch{1}{(b-a)} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
FRED
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warum ist diese Frage unsinnnig, weil sich das Monotonieverhalten von f auf das Monotonieverhalten von [mm] \mu_{f} [/mm] auswirkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Do 29.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> warum ist diese Frage unsinnnig, weil sich das
> Monotonieverhalten von f auf das Monotonieverhalten von
> [mm]\mu_{f}[/mm] auswirkt?
[mm] $\mu_{f}$ [/mm] ist ein Skalar, also eine Zahl. Und eine Zahl kann nicht monoton sein.
Marius
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