Urbild einer unstetigen Funkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f eine Abbildung von R nach R mit f(x)=1 für [mm] x\geq [/mm] 0 und f(x)=0, wenn x<0.
Wir haben folgendes aufgeschrieben, das ich absolut nicht kapiere:
[mm] f^{-1}((-2,2))=R
[/mm]
[mm] f^{-1}((-2,1))=(-\infty,0)
[/mm]
[mm] f^{-1}((0,1))=leere [/mm] Menge
[mm] f^{-1}((0,2))=[0,\infty) [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich stehe total auf dem Schlauch- wie komme ich bei der obigen Funktion vom Bild auf die Urbildwerte. Das verstehe ich gerade absolut nicht mehr...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f eine Abbildung von R nach R mit f(x)=1 für [mm]x\geq[/mm] 0
> und f(x)=0, wenn x<0.
> Wir haben folgendes aufgeschrieben, das ich absolut nicht
> kapiere:
> [mm]f^{-1}((-2,2))=R[/mm]
> [mm]f^{-1}((-2,1))=(-\infty,0)[/mm]
> [mm]f^{-1}((0,1))=leere[/mm] Menge
> [mm]f^{-1}((0,2))=[0,\infty)[/mm]
> Hallo zusammen!
> Ich stehe total auf dem Schlauch- wie komme ich bei der
> obigen Funktion vom Bild auf die Urbildwerte. Das verstehe
> ich gerade absolut nicht mehr...
Z.B.: [mm]f^{-1}((-2,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (-2,2)\}[/mm]
Da Deine Funktion f nur die Werte 0 und 1 annimmt , gilt: f(x) [mm] \in [/mm] (-2,2) für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Damit: [mm]f^{-1}((-2,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (-2,2)\}= \IR[/mm]
Noch ein Beispiel:
[mm]f^{-1}((0,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (0,2)\}[/mm]
Für jedes x [mm] \ge [/mm] 0 ist f(x)=1 [mm] \in(0,2)
[/mm]
Für jedes x <0 ist f(x)=0 [mm] \notin [/mm] (0,2)
Fazit: [mm]f^{-1}((0,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (0,2)\}=\{x \in \IR: x \ge 0\}= [0, \infty)[/mm]
Ists jetzt klar ?
FRED
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| Aufgabe | | [mm] \sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases} [/mm] |
So, ich habs meiner Ansicht jetzt kapiert...Aber zur Kontrolle hätte ich gern gewusst, ob das hier alles richtig ist
[mm] f^{-1}((-2,2))=\{x\in R|f(x)\in (-2,2)\}=R
[/mm]
[mm] f^{-1}((-2,1))=\{x\in R|f(x)\in (-2,1)\}=(-\infty,0)
[/mm]
[mm] f^{-1}((0,1))=\{x\in R|f(x)\in (0,1)\}=leere [/mm] Menge
[mm] f^{-1}((-1,0))=\{x\in R|f(x)\in (-1,0)\}=leere [/mm] Menge
[mm] f^{-1}((0,2))=\{x\in R|f(x)\in (0,2)\}=[0,\infty)
[/mm]
[mm] f^{-1}((-1,1))=\{x\in R|f(x)\in (-1,1)\}=\{0\}
[/mm]
[mm] f^{-1}((-0,5,0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5,0,5)\}=\{0\}
[/mm]
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> [mm]\sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}[/mm]
>
> So, ich habs meiner Ansicht jetzt kapiert...Aber zur
> Kontrolle hätte ich gern gewusst, ob das hier alles
> richtig ist
>
> [mm]f^{-1}((-2,2))=\{x\in R|f(x)\in (-2,2)\}=R[/mm]
Richtig.
>
> [mm]f^{-1}((-2,1))=\{x\in R|f(x)\in (-2,1)\}=(-\infty,0)[/mm]
Falsch. Überprüfe für jeden der drei Funktionswerte $-1, 0, +1$, ob er in $(-2,1)$ liegt.
Wenn ja, gehören die zugehörigen $x$-Werte zur Menge [mm] $M=f^{-1}\bigl((-2,1)\bigr)$, [/mm] und wenn nein, dann nicht.
Also: Es ist [mm] $-1\in(-2,1)$ [/mm] und damit ist [mm] $(-\infty, 0)\subset [/mm] M$.
Es ist [mm] $0\in(-2,1)$ [/mm] und damit ist [mm] $0\in [/mm] M$.
Es ist [mm] $+1\notin(-2,1) [/mm] und damit liegt keines der Elemente von [mm] $(0,+\infty)$ [/mm] in [mm]M[/mm].
Also ist [mm] $M=(-\infty, [/mm] 0]$.
Ähnlich mit den anderen Beispielen...
>
> [mm]f^{-1}((0,1))=\{x\in R|f(x)\in (0,1)\}=leere[/mm] Menge
Richtig.
> [mm]f^{-1}((-1,0))=\{x\in R|f(x)\in (-1,0)\}=leere[/mm] Menge
Richtig.
> [mm]f^{-1}((0,2))=\{x\in R|f(x)\in (0,2)\}=[0,\infty)[/mm]
Falsch. Welche Funktionswerte liegen in $(0,2)$?
>
> [mm]f^{-1}((-1,1))=\{x\in R|f(x)\in (-1,1)\}=\{0\}[/mm]
Richtig.
>
> [mm]f^{-1}((-0,5,0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5,0,5)\}=\{0\}[/mm]
Richtig.
OK?
Wolfgang
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