Urnenbeispiel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Do 12.06.2008 | | Autor: | Mara22 |
| Aufgabe | Es sind zwei Urnen A und B gegeben, in denen sich rote und weiße Kugeln befinden. In A sind 5 rot und 5 weiße Kugeln, in B eine rote und 9 weiße. Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer willkürklich gewählten Urne gezogen, d.h. die Ws, dass man aus A zieht ist gleich der Ws dass man aus B zieht. Das ergebnis lautet;: die Kugel ist rot.
Wie hoch ist die Ws, dass diese Kugel aus Urne B kommt? |
Das typische urnenbeispiel und trotzdem raff ichs net :)
Als lösung habe ich
R={RA, RB}
A={RA,WA}
B={RB,WB}
dass P(A)=P(B)=0,5 ist mir klar und dass P(R|B)=1/10 und P(R|A)=1/2 auch..
P(B|R) soll ich nun ausrechnen.
und jetzt kommt mein Problem. In meinen Büchern steht dass allg gilt:
P(A|B)= [mm] \bruch{P(A \cap B)}{P(B)}
[/mm]
in meiner Lösunf steht aber: P(B|R)= [mm] \bruch{P(R|B)*P(B)}{P(R|B)+P(B)+P(R|A)*P(A)}
[/mm]
Wieso berechne ich das jetz auf einmal so? und wieso muss ich nochmal dieses P(B) und im nenner und zähler multiplizieren und was sucht dieses
P(A) noch da?
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Hallo!
Hilft es Dir wenn ich Dir sage, dass beides stimmt und es sich nur um verschiedene Weisen handelt, das aufzuschreiben?
Zunächst mal hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, natürlich muss es in Deiner Lösung heißen:
$P(B|R)= [mm] \bruch{P(R|B) \cdot P(B)}{P(R|B) \cdot P(B)+P(R|A) \cdot P(A)}$
[/mm]
Manchmal ist diese Formel zweckmäßiger, weil man die gesuchten Größein direkt einsetzen kann.
Warum aber ist es das gleiche? Nun, zunächst gilt allgemein $P(R|B) [mm] \cdot [/mm] P(B) = P(B [mm] \cap [/mm] R)$ - das ist einfach die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse $R$ und $B$ eintreten, einmal mit Hilfe des Durchschnittes notiert und einmal mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Zerpflückt man nun den Nenner auf diese Weise, so steht da
$P(R [mm] \cap [/mm] A) + P (R [mm] \cap [/mm] B)$
Da $A$ und $B$ disjunkt sind (es kann keinesfalls beides eintreten!) ist das additiv, es folgt also:
$P(A [mm] \cap [/mm] R) + P(B [mm] \cap [/mm] R) = [mm] P\big((A \cap [/mm] R) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap R)\big) [/mm] = P [mm] \big((A \cup [/mm] B) [mm] \cap R\big) [/mm] = P(R)$.
Das malt man sich am besten auf... ist aber ganz leicht.
Und schon hat man die alte Formel zurück. 
Alles klar?
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:36 Do 12.06.2008 | | Autor: | Mara22 |
ja danke, is mir klar :)
aber dann hätte ich es mit der anderen formel ja nicht ausrechnen können weil mir P(R) gefehlt hätte, oder? deshalb wird die "kompliziertere" (längere) Formel genommen?! Sprich ich hätte das P(R) erstma umformen müssen, wobei ich dann eh wieder auf die längere Formel hätte zurückgreifen können... Lol hoffe dass man das versteht was ich meine... *g*
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 14.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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