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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich N − 1 weiße und eine schwarze Kugel. Es
werden n ≤ N Kugeln (a) mit Zur¨ucklegen (b) ohne Zurücklegen zufällig
gezogen.
Bestimmen Sie in beiden Fällen die W-keit des Ereignisses, dass die schwarze
Kugel in der Stichprobe enthalten ist. |
Hallo,
Ich wollte mit (a) beginnen.
Zuerst schreibe ich mir immer die Kardinalität der Grundmenge [mm] |\Omega| [/mm] auf, doch da stehe ich schon an.
Das ist doch dann eine Kombination mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge, also n+k-1 über k.
Das n ist dann groß N und k ist die Menge die gezogen wird, also klein n.
--> [mm] |\Omega| [/mm] = N+n-1 über n.
Da hat sich aber anscheinend schon ein Fehler eingeschlichen.
Kann mir wer sagen, was ich falsch mache?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Ok ich habe die Aufgabe neu begonnen und komme jetzt auf das Ergebnis:
[mm] (n*(N-1)^{n-1})/ (N^n)
[/mm]
Stimmt das so?
Liebe Grüße:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 So 15.03.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
das Gegenereignis von "die schwarze Kugel ist enthalten" ist "Die schwarze Kugel ist nicht enthalten".
Dass man in n Versuchen nie die schwarze Kugel zieht, hat beim Ziehen mit Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit [mm] $(\frac{N-1}{N})^n$.
[/mm]
Jetzt 1 minus...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Okay, danke dir. Was war bei meiner Herangehensweise falsch? Würde mich interessieren.
Ich dachte so:
Man hat die Kombinationsmöglichkeit 1 schwarze kugel aus n gezogenen durch (n über 1) =n.
Dann kann man die Plätze ja noch versch. besetzen: s*w*w*w...*w = s* w ^(n-1) =n(N-1)^(n-1).Durch die Anzahl der möglichen Fälle ergibt eben
(n(N-1)^(n-1)) [mm] /N^n. [/mm]
Wo liegt der Fehler?
Liebe Grüße, kosamui
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Hallo Kosamui,
> Okay, danke dir. Was war bei meiner Herangehensweise
> falsch? Würde mich interessieren.
> Ich dachte so:
> Man hat die Kombinationsmöglichkeit 1 schwarze kugel aus n
> gezogenen durch (n über 1) =n.
> Dann kann man die Plätze ja noch versch. besetzen:
> s*w*w*w...*w = s* w ^(n-1) =n(N-1)^(n-1).Durch die Anzahl
> der möglichen Fälle ergibt eben
> (n(N-1)^(n-1)) [mm]/N^n.[/mm]
> Wo liegt der Fehler?
Ein wesentlicher Fehler ist, dass du nicht berücksichtigst, dass bei "Ziehen mit Zurücklegen" theoretisch auch mehrmals die schwarze Kugel gezogen werden kann. Deine genannten Kombinationen $s*w*w*...*w$ sind also nicht die einzig möglichen.
Wenn du das berücksichtigen würdest, würdest du sehen, dass du insgesamt
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}(N-1)^{k}\cdot \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] N^n [/mm] - [mm] (N-1)^n$
[/mm]
günstige Möglichkeiten hast, was genau der Formel von abakus entspricht, wenn du durch [mm] $N^n$ [/mm] teilst.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Danke! Jetzt verstehe ich, warum mein Ergebnis falsch war. Also [mm] (N-(N-1)^n) /N^n [/mm] ist das richtige Ergebnis.
Danke euch :)
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Hallo,
> Danke! Jetzt verstehe ich, warum mein Ergebnis falsch war.
> Also [mm](\red{N}-(N-1)^n) /N^n[/mm] ist das richtige Ergebnis.
> Danke euch :)
Du meinst statt dem [mm] \red{roten} [/mm] N ein [mm] $N^n$.
[/mm]
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Ja natürlich, sorry! Ich höre jetzt lieber auf mit mathe, bevor ich noch mehr unsinn schreibe :D
Lg :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 15.03.2015 | | Autor: | abakus |
> Okay, danke dir. Was war bei meiner Herangehensweise
> falsch? Würde mich interessieren.
> Ich dachte so:
> Man hat die Kombinationsmöglichkeit 1 schwarze kugel aus n
> gezogenen durch (n über 1) =n.
> Dann kann man die Plätze ja noch versch. besetzen:
> s*w*w*w...*w = s* w ^(n-1) =n(N-1)^(n-1).Durch die Anzahl
> der möglichen Fälle ergibt eben
> (n(N-1)^(n-1)) [mm]/N^n.[/mm]
> Wo liegt der Fehler?
Hallo,
beim Ziehen mit Zurücklegen könnte die schwarze Kugel auch mehrmals gezogen werden. Du geht nur von genau einer schwarzen Kugel aus.
>
> Liebe Grüße, kosamui
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Hallo,
bei (a) hat die Abakus ja schon einen Tipp gegeben.
Zu (b):
Rechne "Anzahl günstige Ereignisse" durch "Anzahl mögliche Ereignisse", um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Das heißt hier:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, $n$ aus den $N$ Kugeln (ohne Zurücklegen) zu ziehen, und die schwarze ist mit dabei?
Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, $n$ aus $N$ Kugeln (ohne Zurücklegen) zu ziehen?
Benutze für deine Rechnungen den Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{n\\k}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Hallo,
also bei b: Ohne Zurücklegen habe ich mir berechnet:
[mm] \bruch{\vektor{N-1 \\ N-1}}{ \vektor{N \\ n}} [/mm] = n/N.
Stimmt das?
Ich habe mir gedacht die günstigen Fälle sind ja [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{N-1 \\ N-1} [/mm] und die möglichen Fälle sind [mm] \vektor{N \\ n}
[/mm]
lg :)
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Hallo Kosamui,
> Hallo,
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> also bei b: Ohne Zurücklegen habe ich mir berechnet:
> [mm]\bruch{\vektor{N-1 \\ \red{N}-1}}{ \vektor{N \\ n}}[/mm] = n/N.
>
> Stimmt das?
Du meinst beim [mm] \red{roten} [/mm] N sicher ein n (nur ein Schreibfehler vermurlich). Das Ergebnis stimmt.
> Ich habe mir gedacht die günstigen Fälle sind ja
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{N-1 \\ \red{N}-1}[/mm] und die möglichen
> Fälle sind [mm]\vektor{N \\ n}[/mm]
Genau so ist es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 15.03.2015 | | Autor: | Kosamui |
Ja sorry, da habe ich mich vertippt, bin schon etwas verwirrt. Okay super, danke dir!! :)
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