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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:39 Sa 04.11.2006 | | Autor: | the-one |
| Aufgabe | [Urnenmodelle]Ein gut gemischtes Skatspiel wird an drei Spieler verteilt, wobei zwei Karten "in den Skat" gelegt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) ein beliebiger Spieler alle Buben erhält?
b) ein bestimmter Spieler keinen Buben erhält?
c) genau k Buben im Skat liegen (k=0,1,2)? |
Hallo zusammen,
diese Aufgabe beschäftigt mich nun schon eine ganze Weile und ich komme einfach nicht vorwärts.
Zum W-Raum habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] Omega={w=(w1,...,w32):wi\in{1,...,32}, wi\not=wj, i\not=j}
[/mm]
Ich hoffe mal das stimmt so.
Mächtigkeit von Omega ist meiner Meinung nach = 32!
Doch nun mein Problem. Wie beschreibe ich, dass ein beliebiger Spieler alle Buben bekommt? Wenn ich Karten verteile, kann ich ja nicht von der Ausgangssituation ausgehen, dass alle Spieler 10 Karten haben.
Es ist doch so: 1. Spieler bekommt mit Wkt 4/32 einen Buben hat er einen Buben bekommen, so bekommt der 2. Spieler mit Wkt 3/31 einen Buben falls nicht bekommt der 2. Spieler mit Wkt 4/31 einen Buben.
Nur wie packe ich diese ganzen Informationen in ein Urnenmodell?
Sorry bin totaler Anfänger. Ein Ansatz an dem ich mich probieren könnte würde mir schon sehr helfen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Sa 04.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo the-one,
leider stimmt 32! nicht. Nenne die Spieler V(orhand), M(ittelhand) und
H(interhand). Der Skat sei S. Du musst zunaechst fragen, wieviel
Moeglichkeiten es gibt, die 32 Karten so zu verteilen, dass V, M und H
jeweils 10 Karten und S 2 Karten erhaelt. Solche Fragen werden mit dem
Multinomialkoeffizienten geloest. Im vorliegenden Fall besteht [mm] $\Omega$
[/mm]
aus [mm] ${32\choose 10,10,10,2}=(32!)/(10!\times 10!\times 10!\times [/mm] 2!)$
Elementen.
Bei den Teilaufgaben koennten auch Multinomialkoeffizienten eine Rolle
spielen. Bei c) duerfte es helfen, sich mit dem Begriff der
hypergeometrischen Verteilung vertraut zu machen.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 So 05.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi the-one.
ich komm grad von ner Party und bin mittelschwer angetrunken,also genieße mein Tipps bitte mit Vorsicht.
Ich würde sagen, dass alle deine Ereignisse einer hypergeometrischen Verteilung folgen. Dass heisst einem Urnenmodell:Ziehen ohne zurücklegen. Du hast eine Urne mit 32 verschiedenen Kugeln (die Karten), aus der gezogen (verteilt wird). Das Ereignis "ein bestimmter Spieler erhält 4 Buben" auf das Urnenmodell übertragen heisst:
Es gibt 28 weisse Kugeln (nicht Buben) und 4 rote (Buben) in der Urne. Der Spieler zieht 10 Kugeln raus (ohne zurücklegen).
Die Zufallsvariable
X: Anzahl der Buben
ist hypergeometrisch verteilt, mit
[mm] P(X=4)=\bruch{\vektor{4 \\ 4}\vektor{28 \\ 6}}{\vektor{32 \\ 10}}
[/mm]
Das bedeutet: Es gibt 4 Buben und 28 nicht Buben. Er hat 4 von 4 Buben und von den 28 anderen Karten beliebige 6 Stück. Insgesamt gibt es [mm] \vektor{32 \\ 10} [/mm] mögliche Kartenkombinationen. (Das ist wie die bekannte Lottoformel 6 aus 49 ). Beachten musst du noch, dass es ja drei Spieler gibt und jeder diese Wahrscheinlichkeit hat, also noch mit drei multiplizieren.
Dafür, dass ein bestimmter Spieler keinen Buben hat, gilt dann
[mm] P(X=0)=\bruch{\vektor{4 \\ 0}\vektor{28 \\ 10}}{\vektor{32 \\ 10}}
[/mm]
0 von 4 Buben und 10 von den 28 anderen Karten.
k Buben im Skat:
X:Anzahl Buben im Skat
[mm] P(X=k)=\bruch{\vektor{4 \\ k}\vektor{28 \\ 2-k}}{\vektor{32 \\ 2}}
[/mm]
Man zieht quasi 2 mal, also [mm] \vektor{32 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten. Es gibt 4 Buben und 28 nicht Buben. Man zieht (in den Skat verteilt ist damit gemeint) k Buben (k=0,1,2) und 2-k nicht Buben (in den Skat). Kannst dir ja auch mal den Wikipedia-Artikel über die ![[]](/images/popup.gif) hypergeom. Vert. durchlesen.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 So 05.11.2006 | | Autor: | the-one |
Hallo zusammen
@luis52: Handelt es sich bei diesem Modell nicht um ein Modell ohne Zurücklegen? Mulitnomialverteilung wäre doch mit Zurücklegen, oder?
@walde: Vielen Dank für deinen Ansatz. Klingt super logisch und hat mir sehr weitergeholfen.
Vielen Vielen Dank.
the-one
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 09.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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