V=ker(f)(+)im(f) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und $f: V [mm] \to [/mm] V$ eine K-lineare Abbildung mit $f [mm] \circ [/mm] f=f$.
Zeige: $V=ker(f) [mm] \oplus [/mm] im(f)$. Gib ein Beispiel einer solchen Funktion an (außer der Identität und der Nullfunktion). |
Hi!
Hierzu hätte ich ein paar Fragen.
Zuerst kann ich ja zeigen, dass $ker(f) [mm] \cap [/mm] im(f)={0}$ gilt.
Gäbe es nämlich ein $0 [mm] \not= [/mm] a [mm] \in [/mm] ker(f) [mm] \cap [/mm] im(f)$, so würde gelten:
$f(a)=0$ und es existiert ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $f(v)=a [mm] (\*)$.
[/mm]
Da $f(f(v))=f(v)$ folgt auch, dass ein $v [mm] \in [/mm] V$ existiert mit $f(f(v))=f(a)=f(v)=0$. Dann wäre aber auch $v [mm] \in [/mm] ker(f)$ und nach [mm] $(\*)$ [/mm] gilt $f(v)=a=0$, was im Widerspruch zu $a [mm] \not= [/mm] 0$ steht.
Aber hier hört es auch schon fast auf. Ich muss nun noch zeigen, dass sich jedes $v [mm] \in [/mm] V$ als Summe von einem $k [mm] \in [/mm] ker(f)$ und $i [mm] \in [/mm] im(f)$ darstellen lässt.
Ist $v [mm] \in [/mm] ker(f)$ oder $v [mm] \in [/mm] im(f)$, so ist die Sache natürlich einfach, aber ich weiß nicht, wie ich v durch k und i darstellen kann, wenn v nicht im Kern oder Bild von f liegt.
Und eine Abbildung, die das erfüllt, fällt mir auch nicht wirklich ein. Kann mir da jemand bitte helfen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Schau dir doch mal $x=(x-f(x))+f(x)$ an. Beispiele für solche Abbildungen sind z.B. die Projektionen auf einen Unterraum.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erstmal.
Aber was du mit dem x=(x-f(x))+f(x) sagen willst, weiß ich leider nicht (vielleicht ist es auch einfach zu spät).
Und zu den Projektionen auf Unterräume:
Wenn ich z.B. ein f nehme, das alle v [mm] \in [/mm] V auf ker(f) projiziert, dann habe ich doch aber unter anderem f(v)=a [mm] \in [/mm] ker(f) aber f(f(v))=f(a)=0 [mm] \not= [/mm] a.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber was du mit dem x=(x-f(x))+f(x) sagen willst, weiß ich leider nicht
Da hast du deine Zerlegung von x in einen Anteil der im Bild liegt, und einen der im Kern liegt... 
> Wenn ich z.B. ein f nehme, das alle v [mm]\in[/mm] V auf ker(f)
> projiziert, dann habe ich doch aber unter anderem f(v)=a
> [mm]\in[/mm] ker(f) aber f(f(v))=f(a)=0 [mm]\not=[/mm] a.
Also ein ganz konkretes Beispiel in [mm]\IR^n[/mm] mit der euklidischen Norm. Dann gibt es zu jedem [mm] $v\in\IR^n$ [/mm] genau ein [mm] $w\in\IR^n$ [/mm] mit [mm] $$\|v-w\|=\min_{w'\in U}\|v-w'\|$$ [/mm] und die Abbildung [mm] $v\mapsto [/mm] w$ ist eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften von oben.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:31 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Ah, ok!
Ehrlich gesagt habe ich mir das auch schon so in etwas gedacht, aber ich konnte auch nicht zeigen, dass (v-f(v)) [mm] \in [/mm] ker(f) ist. Aber jetzt wo ich das so sehe, ist mir das auch sonnenklar...
f(v-f(v))=f(v)-f(f(v))=f(v)-f(v)=0
Vielen Dank!
Zur Sache mit dem Beispiel: Das mit der Norm sagt mir leider nichts. Aber ich kann ja auch nochmal eine Nacht drüber schlafen, vielleicht fällt mir etwas einfacheres ein.
Gute Nacht.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f: [mm] (x1,x2,..,x_n)--> (0,x2,...,x_n)
[/mm]
[mm] f\circ [/mm] f=f
das ist ne Projektion in einen n-1 dim Unterraum.
Grus leduart
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