VDK - spez. Lösungsansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Fr 07.08.2009 | | Autor: | seaman |
| Aufgabe | y' + [mm] \bruch{x}{1+x^{2}}*y [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] für y(0) = 1
ges.:
allgemeine und partikuläre Lösung |
Hallo,
habe nochmal eine Frage zum Lösungsansatz und Koeffizientenvergleich.
homogene Lösung:
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] C*\bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
Lösungsansatz der speziellen Lösung:
[mm] y_{sp} [/mm] = [mm] x*\bruch{1}{1+x^{2}}*(C_{2}*x^{2} [/mm] + [mm] C_{1}*x)*(C_{1}*x)
[/mm]
Bevor ich mir jetzt die Arbeit mache und die Ableitung aufschreibe, würde ich erstmal gerne wissen wollen, ob dieser Lösungsansatz überhaupt richtig ist.
Habe dabei den quadratischen und den linearen Lösungsansatz multipliziert, weil im Störglied ein linearer (x) und ein quadratischer Faktor [mm] (\bruch{1}{1+x^{2}}) [/mm] vorhanden ist. [mm] C_{0} [/mm] habe ich gleich ganz weggelassen, weil dieser eh Null wird, da im Störglied keine Konstante vorhanden ist.
Beim Koeffizientenvergleich komme ich dann aber überhaupt nicht weiter. Wenn der Lösungsansatz richtig sein sollte, werde ich den Rest nachliefern.
Danke.
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Hallo,
> y' + [mm]\bruch{x}{1+x^{2}}*y[/mm] = [mm]\bruch{x}{1+x^{2}}[/mm] für y(0) =
> 1
>
> ges.:
> allgemeine und partikuläre Lösung
> Hallo,
>
> habe nochmal eine Frage zum Lösungsansatz und
> Koeffizientenvergleich.
>
> homogene Lösung:
>
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]C*\bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}[/mm]
[mm] y_h [/mm] ist richtig.
> Lösungsansatz der speziellen Lösung:
>
> [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]x*\bruch{1}{1+x^{2}}*(C_{2}*x^{2}[/mm] +
> [mm]C_{1}*x)*(C_{1}*x)[/mm]
Ich dachte, die spezielle Lösung erhält man, wenn man in die allg. Lösung die Rand- oder Anfangsbedingungen einsetzt.
Als allg. Lösung habe ich:
[mm] $y=1+\frac{C_1}{\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
Da es sich um eine DGL 1. Ordnung handelt, kann es auch nur eine Konstante in der allg. Lösung geben.
Du kannst deine Lösungen selber überprüfen, indem Du sie in die DGL einsetzt. (Rechenkontrolle.)
> Bevor ich mir jetzt die Arbeit mache und die Ableitung
> aufschreibe, würde ich erstmal gerne wissen wollen, ob
> dieser Lösungsansatz überhaupt richtig ist.
> Habe dabei den quadratischen und den linearen
> Lösungsansatz multipliziert, weil im Störglied ein
> linearer (x) und ein quadratischer Faktor
> [mm](\bruch{1}{1+x^{2}})[/mm] vorhanden ist. [mm]C_{0}[/mm] habe ich gleich
> ganz weggelassen, weil dieser eh Null wird, da im
> Störglied keine Konstante vorhanden ist.
>
> Beim Koeffizientenvergleich komme ich dann aber überhaupt
> nicht weiter. Wenn der Lösungsansatz richtig sein sollte,
> werde ich den Rest nachliefern.
> Danke.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 07.08.2009 | | Autor: | seaman |
Hallo,
> > Lösungsansatz der speziellen Lösung:
> >
> > [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]x*\bruch{1}{1+x^{2}}*(C_{2}*x^{2}[/mm] +
> > [mm]C_{1}*x)*(C_{1}*x)[/mm]
>
>
>
> Ich dachte, die spezielle Lösung erhält man, wenn man in
> die allg. Lösung die Rand- oder Anfangsbedingungen
> einsetzt.
So errechnet sich aber doch die partikuläre Lösung. Die allgemeine errechnet sich doch folgendermaßen:
[mm] y_{a} [/mm] = [mm] y_{sp} [/mm] + [mm] y_{h}
[/mm]
[mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] in [mm] y_{sp} [/mm] müssen doch erst errechnet werden und dann kann [mm] y_{sp} [/mm] mit [mm] y_{h} [/mm] zur allgemeinen Lösung addiert werden. Oder bin ich jetzt auf dem Holzweg?
Habe gestern auch erst eine solche Aufgabe gelöst und da wurde mir dieser Weg erklärt. Die Aufgabe gestern, hatte im Störglid aber ein [mm] cos(x^2) [/mm] enthalten und hatte einen anderen speziellen Lösungsansatz. Macht das einen Unterschied?
>
> Als allg. Lösung habe ich:
>
> [mm]y=1+\frac{C_1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
>
> Da es sich um eine DGL 1. Ordnung handelt, kann es auch nur
> eine Konstante in der allg. Lösung geben.
Ja, genau. Aber ich wollte es halt mithilfe des Störgliedes und dem speziellen Lösungsansatz errechnen.
Wie hast du denn diese allgemeine Lösung errechnet? Habe ich mich jetzt hier total vertan, beim lösen der Aufgabe?
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Hallo,
> Hallo,
>
> > > Lösungsansatz der speziellen Lösung:
> > >
> > > [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]x*\bruch{1}{1+x^{2}}*(C_{2}*x^{2}[/mm] +
> > > [mm]C_{1}*x)*(C_{1}*x)[/mm]
> >
> >
> >
> > Ich dachte, die spezielle Lösung erhält man, wenn man in
> > die allg. Lösung die Rand- oder Anfangsbedingungen
> > einsetzt.
>
> So errechnet sich aber doch die partikuläre Lösung. Die
> allgemeine errechnet sich doch folgendermaßen:
>
> [mm]y_{a}[/mm] = [mm]y_{sp}[/mm] + [mm]y_{h}[/mm]
>
> [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] in [mm]y_{sp}[/mm] müssen doch erst errechnet
> werden und dann kann [mm]y_{sp}[/mm] mit [mm]y_{h}[/mm] zur allgemeinen
> Lösung addiert werden. Oder bin ich jetzt auf dem Holzweg?
>
> Habe gestern auch erst eine solche Aufgabe gelöst und da
> wurde mir dieser Weg erklärt. Die Aufgabe gestern, hatte
> im Störglid aber ein [mm]cos(x^2)[/mm] enthalten und hatte einen
> anderen speziellen Lösungsansatz. Macht das einen
> Unterschied?
2Ich vermute, Du verwechselst hier DGL 1. Ordnung und lineare inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten einer Ordnung >1.
> >
> > Als allg. Lösung habe ich:
> >
> > [mm]y=1+\frac{C_1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
> >
> > Da es sich um eine DGL 1. Ordnung handelt, kann es auch nur
> > eine Konstante in der allg. Lösung geben.
>
> Ja, genau. Aber ich wollte es halt mithilfe des
> Störgliedes und dem speziellen Lösungsansatz errechnen.
>
> Wie hast du denn diese allgemeine Lösung errechnet? Habe
> ich mich jetzt hier total vertan, beim lösen der Aufgabe?
>
>
>
[mm] $y'+\frac{x}{1+x^2}*y=\frac{x}{1+x^2}$
[/mm]
homogene DGL:
[mm] $y'+\frac{x}{1+x^2}*y=0$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{y}\;dy=-\int\frac{x}{1+x^2}\;dx$
[/mm]
[mm] $y_h=\frac{C}{\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
VdK:
[mm] $y=\frac{C(x)}{\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
[mm] $y'=C'(x)*\frac{\wurzel{1+x^2}}{1+x^2}-C(x)*\frac{x}{(\wurzel{1+x^2})^3}
[/mm]
Einsetzen in die inhomogene DGL:
[mm] $y'+\frac{x}{1+x^2}*y=\frac{x}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $C'(x)*\frac{\wurzel{1+x^2}}{1+x^2}-C(x)*\frac{x}{(\wurzel{1+x^2})^3}+\frac{x}{1+x^2}*\frac{C(x)}{\wurzel{1+x^2}}=\frac{x}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $C'=\frac{x}{\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
[mm] $\int dC=\int\frac{x}{\wurzel{1+x^2}}\;dx$
[/mm]
[mm] $C(x)=\wurzel{1+x^2}+D$
[/mm]
Einsetzen in:
[mm] $y_h=\frac{C(x)}{\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
[mm] $y=1+\frac{D}{\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
Das ist die allg. Lösung. Eine partikuläre gibt es hier nicht.
Wie Du siehst gibt es nur eine Konstante.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 07.08.2009 | | Autor: | seaman |
Ok, danke.
Also kann ich den von mir eingeschlagenen Weg, nur bei einer DGL höherer Ordnung [mm] (\ge2) [/mm] nutzen. Der von dir eingeschlagene Lösungsweg ist mir bekannt, aber bin wohl wirklich irgendwie mit den rechenwegen durcheinander gekommen.
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