VR Isomorphie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 16.06.2006 | | Autor: | AriR |
(Frabe zuvor nicht gestellt)
Hey,
irgendwo habe ich mal den satz aufgeschnappt
" Jeder Vekorraum sieht aus wie der [mm] K^n, [/mm] bis auf Isomorphie"
versteht einer von euch, was das genau heißen soll?
ist damit gemeint, dass jeder VR isomorph zum [mm] K^n [/mm] ist oder ist damit noch mehr gemeint, oder was ganz anderes?
wenn das tatsächlich nur bedeutet, dass der [mm] K^n [/mm] Isomporph zu jedem anderen VR ist, gibts dazu einen Beweis?
danke und gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ja, das soll heißen, dass die n-dimensionalen [mm] $\IK$-Vektorräume [/mm] bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Einen Isomorphismus erhältst du, indem du die Basen der beiden Vektorräume bijektiv aufeinander abbildest (wodurch die lineare Abbildung bereits eindeutig bestimmt ist). Dies ist wegen der Gleichmächtigkeit der Basen möglich.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 17.06.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal,
nur was genau beutet denn jetzt dieses eindeutig bestimmt BIS AUF ISMORPHIE
was genau ist denn eindeutig?
also ich denke es soll wirklich heißen, dass man immer eine bijektive abb. zwischen dem [mm] k^n [/mm] und jedem VR findet, nur was genau bedeutet dieses eideutig? das man nur eine bijektive abb findet? wenn ja, was heißt dann "bis auf ismorphie"?
danke und gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Sa 17.06.2006 | | Autor: | SEcki |
> nur was genau beutet denn jetzt dieses eindeutig bestimmt
> BIS AUF ISMORPHIE
Das heisst: es gibt blos einen Vektorraum mit Dimension n, und einen in dem Sinne, dass es zwischen zwei mit Dimension n immer eine isomorphismus existiert.
Beispiel: alle Polynome vom Grad [m]\le n[/m] bilden auch einen (n+1)-dim. VR. Der ist aber anders konstruiert als der [m]K^{n+1}[/m]. Es gibt aber einen Isomorphismus zwischen ihnen.
Anderes Beispiel: es gibt, bis auf Isomorphie, nur 3 Vektorräume mit Dimension [m]\le 2[/m]. Soll heissen: jeder VR mit der entsprechendne Dimension ist zu einen von drei Typen isomorph, die alle nicht isomoprh sind.
> also ich denke es soll wirklich heißen, dass man immer eine
> bijektive abb. zwischen dem [mm]k^n[/mm] und jedem VR findet,
Jedem ist wohl sehr, sehr falsch!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:51 Mo 19.06.2006 | | Autor: | AriR |
> > also ich denke es soll wirklich heißen, dass man immer eine
> > bijektive abb. zwischen dem [mm]k^n[/mm] und jedem VR findet,
>
> Jedem ist wohl sehr, sehr falsch!
>
> SEcki
hi secki
warum ist das denn falsch, ich meine natürlich für variables n. Also es gibt eine isomorphismus zwischen jedem VR und dem [mm] K^n [/mm] für ein bestimmtes n.
ist es dann richtig? wenn nicht habe ich es leider immer noch nicht verstanden :(
vielen danke schonmal.. hoffe du hast noch lust diese frage auch noch zu beantworten
Gruß Ari =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 19.06.2006 | | Autor: | statler |
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> > > also ich denke es soll wirklich heißen, dass man immer eine
> > > bijektive abb. zwischen dem [mm]k^n[/mm] und jedem VR findet,
> >
> > Jedem ist wohl sehr, sehr falsch!
> >
> > SEcki
>
>
> hi secki
>
> warum ist das denn falsch, ich meine natürlich für
> variables n. Also es gibt eine isomorphismus zwischen jedem
> VR und dem [mm]K^n[/mm] für ein bestimmtes n.
>
> ist es dann richtig? wenn nicht habe ich es leider immer
> noch nicht verstanden :(
Hallo AriR!
Zu jedem endlich-dimensionalen K-Vektorraum V gibt es ein eindeutig bestimmtes n [mm] \in \IN \cup [/mm] {0} und einen (nicht eindeutig bestimmten) Isomorphismus
[mm] \phi [/mm] : V [mm] \to K^{n}.
[/mm]
Nun klarer?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:18 Di 20.06.2006 | | Autor: | AriR |
ja ich denke das deckt sich ca. mit dem, was ich geschrieben habe :)
vielleicht noch eine letzte frage, und zwar, warum ist der nicht genau eindeutig bestimmt, oder warum erwähnst du das hier nochmal extra? hat das einen besonderen grund?
danke an alle und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Di 20.06.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen AriR!
> ja ich denke das deckt sich ca. mit dem, was ich
> geschrieben habe :)
Mit 'ca.' ist das in der Mathematik so eine Sache.
> vielleicht noch eine letzte frage, und zwar, warum ist der
> nicht genau eindeutig bestimmt, oder warum erwähnst du das
> hier nochmal extra? hat das einen besonderen grund?
Ich habe das deswegen erwähnt, weil viele glauben, daß dieser Isomorphismus eindeutig (also kanonisch) sei, das ist er aber überhaupt nicht. Es gibt nämlich - wenn K unendlich viele Elemente hat - schon beliebig viele Automorphismen [mm] \phi: K^{n} \to K^{n}. [/mm] Das kannst du dir selbst überlegen, diese ganze Umformerei von Matrizen hängt damit zusammen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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