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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 So 16.11.2008 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | | [mm] p(V)=\bruch{R*T}{V-b}-\bruch{a}{V^{2}};V>b [/mm] |
Ich möchte die Ortskurve der Extremwerte bestimmen.
Dazu bräuchte ich die Koordinaten der Extremwerte.
Um diese auszurechnen muss man die erste Ableitung null setzen.
Ich kriege es nicht hin die Gleichung nach V umzustellen, um die Extremwerte zu bestimmen.
Hier ist die erste Ableitung der Funktion:
[mm] p(V)=\bruch{-RT}{(V-b)^{2}}+\bruch{2A}{V^{3}}
[/mm]
Ich habe die Gleichung so weit umgestellt:
[mm] \bruch{RT}{2a}=\bruch{V^{2}-2VB+b^{2}}{V^{3}}
[/mm]
Was kann man jetzt machen?
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Hallo zoj,
wenn ich das
[mm] $0=\bruch{-RT}{(V-b)^{2}}+\bruch{2a}{V^{3}}$
[/mm]
umforme, komme ich auf
[mm] $0=-RTV^3+2aV^2-4abV+2ab^2$
[/mm]
und das sieht stark nach Polynomdivision aus.
Kleiner Tipp: zuerst mit Hauptnenner durchmultiplizieren!
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 17.11.2008 | | Autor: | zoj |
Danke für die Antwort.
Mit dem Hauptnenner meist du doch [mm] (V-b)^{2}, [/mm] oder?
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Hallo zoj!
Nein, der Hauptnenner der beiden Brüche lautet: [mm] $(V-b)^2*\red{V^3}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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> [mm]p(V)=\bruch{R*T}{V-b}-\bruch{a}{V^{2}};V>b[/mm]
> Ich möchte die Ortskurve der Extremwerte bestimmen.
>
> Dazu bräuchte ich die Koordinaten der Extremwerte.
>
> Um diese auszurechnen muss man die erste Ableitung null
> setzen.
>
> Ich kriege es nicht hin die Gleichung nach V umzustellen,
> um die Extremwerte zu bestimmen.
>
> Hier ist die erste Ableitung der Funktion:
>
> [mm]p\red{'}(V)=\bruch{-RT}{(V-b)^{2}}+\bruch{2A}{V^{3}}[/mm]
>
> Ich habe die Gleichung $\ [mm] \red{p'(V)=0}$ [/mm] so weit umgestellt:
>
> [mm]\bruch{RT}{2a}=\bruch{V^{2}-2VB+b^{2}}{V^{3}}[/mm]
>
> Was kann man jetzt machen?
Brüche weg ! Dann hat man:
[mm] \underbrace{RTV^3-2aV^2+4abV-2ab^2}_{f(V)}=0
[/mm]
Dies scheint nun aber eine allgemeine Gleichung
3. Grades für V zu sein, und es gibt wohl keine
einfache erste Lösung [mm] V_1, [/mm] mit welcher man dann
die Polynomdivision [mm] f(V):(V-V_1) [/mm] durchführen
könnte, wie Slartibartfast vorgeschlagen hat ...
Wenn du also eine formale Lösung willst, bleiben
wohl nur die Formeln von Cardano - ausser ich habe
etwas Wichtiges übersehen.
LG al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:37 Mo 17.11.2008 | | Autor: | zoj |
Irgendwie klappt es nicht mit der Polinomdivision...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo zusammen,
hab auch gemerkt, dass das mit der Polynomdivision nichts wird. Den Cardano kannte ich noch gar nicht, habs aber mal mit der Wiki-Anleitung probiert und bin jetzt bei der Diskriminante. Das sieht jetzt noch viel schlimmer aus als vorher...
[mm] $D=\left(\bruch{6abRT-2a^2}{R^2T^2}\right)^2+\left(\bruch{-16a^3R^3T^3+72a^2bRT-54ab^2R^2T^2}{81R^3T^3}\right)^3$
[/mm]
und da soll man mit
[mm] $w_1=u+v$
[/mm]
[mm] $w_2=z_1*u+z_2*v~~~z\in\IC$
[/mm]
[mm] $w_3=z_2u+z_1*v$
[/mm]
und
[mm] $u=\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{D}}$
[/mm]
[mm] $v=\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}-\wurzel{D}}$
[/mm]
weitermachen?????
Was will denn dein Prof damit bezwecken? Oder hat er etwa einen Stoff vorgegeben? Ist T konstant?
Gruß
SLartibartfast
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> Hallo zusammen,
>
> hab auch gemerkt, dass das mit der Polynomdivision nichts
> wird. Den Cardano kannte ich noch gar nicht, habs aber mal
> mit der Wiki-Anleitung probiert und bin jetzt bei der
> Diskriminante. Das sieht jetzt noch viel schlimmer aus als
> vorher...
Das habe ich auch befürchtet und deshalb wohlweislich
aufgehört 
>
> [mm]D=\left(\bruch{6abRT-2a^2}{R^2T^2}\right)^2+\left(\bruch{-16a^3R^3T^3+72a^2bRT-54ab^2R^2T^2}{81R^3T^3}\right)^3[/mm]
>
> und da soll man mit
>
> [mm]w_1=u+v[/mm]
> [mm]w_2=z_1*u+z_2*v~~~z\in\IC[/mm]
> [mm]w_3=z_2u+z_1*v[/mm]
>
> und
>
> [mm]u=\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{D}}[/mm]
> [mm]v=\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}-\wurzel{D}}[/mm]
>
> weitermachen?????
>
> Was will denn dein Prof damit bezwecken? Oder hat er etwa
> einen Stoff vorgegeben? Ist T konstant?
>
> Gruß
> SLartibartfast
Falls für a,b,R,T geeignete (schön ausgesuchte)
Zahlenwerte vorliegen, kann es natürlich sein,
dass die kubische Gleichung trotzdem eine "schöne"
Lösung hat. Dann käme man leicht weiter.
In allgemeiner Form ist die Aufgabe aber eher
etwas für Masochisten.
Gruß al-Chw.
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> Falls für a,b,R,T geeignete (schön ausgesuchte)
> Zahlenwerte vorliegen, kann es natürlich sein,
> dass die kubische Gleichung trotzdem eine "schöne"
> Lösung hat. Dann käme man leicht weiter.
Dann würde auch sicher eine Polynomdivision genügen.
> In allgemeiner Form ist die Aufgabe aber eher
> etwas für Masochisten.
definitiv
Bin mal gespannt, ob sich einer findet ;)
Gruß
Slartibartfast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mo 17.11.2008 | | Autor: | zoj |
Diese Aufgabe rechnen wir gerade in der Schule (13 Klasse).
Auch dort sind wird nicht auf die Lösung gekommen, bzw. die Ortkurve bestimmt.
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Man könnte aus der Aufgabe eine durchaus für
die Schule geeignete machen, wenn man b=0
setzt. Es ergibt sich dann für die Extrempunkte
eine Ortskurve mit einer einfachen Gleichung
Die Gasgleichung ist dann allerdings nur noch
halbwegs "van der Waals" - für den idealisierten
Fall, dass die Moleküle bzw. Atome des Gases
punktförmig wären.
Gruß Al-Chw.
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