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Guten Tag,
ich sitze gerade am Indultionsbeweis für die Vandermonde Identität:
Induktionsannahme (k):
[mm] \summe_{j=0}^{k} \vektor{m \\ j} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k-j} [/mm] = [mm] \vektor{m+n \\ k} [/mm]
Induktionsbehauptung (k+1):
[mm] \summe_{j=0}^{k+1} \vektor{m \\ j} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k+1-j} [/mm] = [mm] \vektor{m+n \\ k+1} [/mm]
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{j=0}^{k+1} \vektor{m \\ j} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k+1-j} [/mm] = [mm] \summe_{j=-1}^{k} \vektor{m \\ j+1} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k-j} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] + [mm] \summe_{j=0}^{k} \vektor{m \\ j+1} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k-j} [/mm] = ... ?
So jetzt weiß ich nicht mehr weiter...ich schaff es einfach nicht die Summe durch Indexverschiebung und ähnliche Tricks auf die Form zu bringen, die ich brauche um die Induktionsannahme einzusetzen...
Hat jemand eine Idee...??
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Fr 06.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
*muss* es ein Induktionsbeweis sein?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Sa 07.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Guten Tag,
>
> ich sitze gerade am Indultionsbeweis für die Vandermonde
> Identität:
>
> Induktionsannahme (k):
> [mm]\summe_{j=0}^{k} \vektor{m \\ j}[/mm] * [mm]\vektor{n \\ k-j}[/mm] =
> [mm]\vektor{m+n \\ k}[/mm]
>
> Induktionsbehauptung (k+1):
> [mm]\summe_{j=0}^{k+1} \vektor{m \\ j}[/mm] * [mm]\vektor{n \\ k+1-j}[/mm] =
> [mm]\vektor{m+n \\ k+1}[/mm]
>
> Induktionsschluss:
> [mm]\summe_{j=0}^{k+1} \vektor{m \\ j}[/mm] * [mm]\vektor{n \\ k+1-j}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=-1}^{k} \vektor{m \\ j+1}[/mm] * [mm]\vektor{n \\ k-j}[/mm] =
> [mm]\vektor{n \\ k+1}[/mm] + [mm]\summe_{j=0}^{k} \vektor{m \\ j+1}[/mm] *
> [mm]\vektor{n \\ k-j}[/mm] = ... ?
>
> So jetzt weiß ich nicht mehr weiter...ich schaff es einfach
> nicht die Summe durch Indexverschiebung und ähnliche Tricks
> auf die Form zu bringen, die ich brauche um die
> Induktionsannahme einzusetzen...
>
> Hat jemand eine Idee...??
Beim Induktionsschluss wäre ich anders vorgegangen. Anstelle der Indexverschiebung würde ich den Term mit [mm] \red{k+1} [/mm] abspalten:
[mm] \summe_{j=0}^{k+1}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}=\summe_{j=0}^{k}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}+\vektor{m \\ \red{k+1}}*\vektor{n \\ k+1-(\red{k+1})}=\summe_{j=0}^{k}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}+\vektor{m \\ \red{k+1}}*\vektor{n \\ k+1-\red{k-1}}
[/mm]
[mm] =\summe_{j=0}^{k}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}+\vektor{m \\ \red{k+1}}*\vektor{n \\ 0}=\summe_{j=0}^{k}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}+\vektor{m \\ \red{k+1}}*1
[/mm]
Verwenden wir jetzt die Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}+\vektor{m \\ \red{k+1}}*\vektor{n \\ 0}=\summe_{j=0}^{k}\vektor{m \\ j}*\vektor{n \\ k+1-j}+\vektor{m \\ \red{k+1}}*1
[/mm]
[mm] =\vektor{m+n \\ k}+\vektor{m \\ \red{k+1}}
[/mm]
Okay, jetzt weiß ich auch nicht weiter. Ich poste es trotzdem mal.
MfG barsch
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ja, ich will es schon mit induktion machen...
zu meinem vorposter: das einsetzen der induktionsannahme ist - wie du durch vergleichen feststellen kannst - falsch. hatte das zuvor auch schon mal durchgerechnet.
ideen?
gruß
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Hallo Bodo,
schau doch mal ![[]](/images/popup.gif) hier und hier, da ist die gleiche Frage auch schonmal diskutiert worden.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 08.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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