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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für die Vandermondeschen Determinante der dreireihigen Matrix [mm] A_3 [/mm] gilt:
[mm] V_3(x1; [/mm] x2; x3) = [mm] \begin{Bmatrix}
1 & x_1 & x_1^2\\
1 & x_2 & x_2^2 \\
1 & x_3 & x_3^2
\end{Bmatrix} =(x_2 [/mm] - [mm] x_1) (x_3 [/mm] - [mm] x_1) (x_3 [/mm] - [mm] x_2)
[/mm]
(Tipp: Starten Sie mit [mm] V3(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] det(a_1, a_2, a_3) [/mm] = [mm] det(a_1, a_2 [/mm] - [mm] x_1a_1, a_3 [/mm] - [mm] x_1a_2),
[/mm]
wobei [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] die Spalten der Matrix A3 darstellen.) |
hallo,
meine frage bezieht sich ehre auf den tipp und zwar hab ich keine ahnung was das ist: [mm] det(a_1, a_2 [/mm] - [mm] x_1a_1, a_3 [/mm] - [mm] x_1a_2)
[/mm]
ich mein [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] sind die spalten der matrix aber woher kommen dann die [mm] x_1,x_2,_x3? [/mm]
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> Zeigen Sie, dass für die Vandermondeschen Determinante der
> dreireihigen Matrix [mm]A_3[/mm] gilt:
>
> [mm]V_3(x1;[/mm] x2; x3) = [mm]\begin{Bmatrix}
1 & x_1 & x_1^2\\
1 & x_2 & x_2^2 \\
1 & x_3 & x_3^2
\end{Bmatrix} =(x_2[/mm]
> - [mm]x_1) (x_3[/mm] - [mm]x_1) (x_3[/mm] - [mm]x_2)[/mm]
>
> (Tipp: Starten Sie mit [mm]V3(x_1, x_2, x_3)[/mm] = [mm]det(a_1, a_2, a_3)[/mm]
> = [mm]det(a_1, a_2[/mm] - [mm]x_1a_1, a_3[/mm] - [mm]x_1a_2),[/mm]
> wobei [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] die Spalten der Matrix A3
> darstellen.)
> hallo,
>
> meine frage bezieht sich ehre auf den tipp
Hallo,
den finde ich jetzt auch etwas kryptisch auf den ersten Blick...
Ich würde das mal so übersetzen machen:
mach Dir die Berechnung der Determinante etwas einfacher, indem Du erlaubte Spaltenumformungen unternimmst.
Subtrahiere dazu von der 3.Spalte das [mm] x_1-fache [/mm] der 1. Spalte, und von der 2.Spalte das [mm] x_1-fache [/mm] der 1. Spalte.
EDIT:
die genaue Übersetzung lautet:
Subtrahiere dazu von der 3.Spalte das [mm] x_1-fache [/mm] der 2. Spalte, und von der 2.Spalte das [mm] x_1-fache [/mm] der 1. Spalte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
hi, ähm ok das hab ich jetzt mal gemacht aber um ehrlich zu sein sieht das jetzt noch schlimemr asu als vorher bis auf das sich in der 2. spalte der erste eintrag auf 0 setzt:)
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> hi, ähm ok das hab ich jetzt mal gemacht aber um ehrlich
> zu sein sieht das jetzt noch schlimemr asu als vorher bis
> auf das sich in der 2. spalte der erste eintrag auf 0
> setzt:)
Hallo,
und in der dritten auch.
Wenn Du dann nach der 1. Zeile entwickelst und Dir die dritte binomische Formel bekannt ist, wir's einfach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
tut mir leid aber das in der 3ten spalte oder 3. ten zeile wird null?
und warum? in der dritten spalte kann ich nichts auf null setzten , oder?
und in der 2ten spalte, dritte zeile steht bei mir [mm] x_3 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] , oder ist das falsch?
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Hallo,
so wird das nichts...
Schreib die Vandermondematrix auf.
Schreib dann die Matrix auf, die Du bekommst, wenn Du die beiden Spaltenoperationen durchgeführt hast.
Gruß v. Angela
P.S.: Beachte, daß ich meine erste Antwort bearbeitet habe.
Mit beiden Vorgehensweisen kommst du zum Ziel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
nur zur kontrolle ob ich das richtig mache: nach den umformugnen bekomm ich das raus:
[mm] \begin{Bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & x_2-x_1 & x_2^2-x_2x_1 \\ 1 & x_3-x_1 & x_3^2-x_3x_1 \end{Bmatrix}
[/mm]
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> nur zur kontrolle ob ich das richtig mache: nach den
> umformugnen bekomm ich das raus:
>
> [mm]\begin{Bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & x_2-x_1 & x_2^2-x_2x_1 \\ 1 & x_3-x_1 & x_3^2-x_3x_1 \end{Bmatrix}[/mm]
>
>
Hallo,
ja, genau.
Wenn Du jetzt nach der 1. Zeile entwickelst, bleibt nur noch die 2x2-Determinante rechts unten zu berechnen.
Aus ihrer 1. Zeile kannst Du den Faktor [mm] x_2-x_1 [/mm] rausziehen, aus der 2. den Faktor [mm] (x_3-x_1).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Da eine 3x3-Matrix vorliegt, kommt man doch mit der Regel von Sarrus zum Ziel.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
also wenn ich sarrus benutze komm ich auf
[mm] x_2x_3^2 [/mm] + [mm] x_3x_1^2 [/mm] + [mm] x_1x_2^3 [/mm] - [mm] x_1^2x_2 [/mm] - [mm] x_2^2x_3 [/mm] - [mm] x_3^2x_1
[/mm]
und wie soll ich hier weitermachen?
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> also wenn ich sarrus benutze komm ich auf
>
> [mm]x_2x_3^2[/mm] + [mm]x_3x_1^2[/mm] + [mm]x_1x_2^3[/mm] - [mm]x_1^2x_2[/mm] - [mm]x_2^2x_3[/mm] -
> [mm]x_3^2x_1[/mm]
>
> und wie soll ich hier weitermachen?
Du weißt doch, was rauskommen soll.
Du kannst doch nun einfach vergleichen, ob's dasselbe ist wie das angegebene Produkt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
bei einer 4x4 Matrix funktioniert das aber nicht mehr und man muss den anderen weg gehen , richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 27.04.2010 | | Autor: | rml_ |
wenn ich eine 4x4 matrix habe, und ich bringe durch umformungen die erste zeile bis auf den ersten eintrag auf null, kann ich dann nach laplace entwickeln, weil dann würde ja eig. dann da stehen:
1*det(3x3)+(-0)*det(3x)...
also quasi bleibt nur das erste produkt stehen und das ist eine 3x3 matrix also sarrus.
geht das so?
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> wenn ich eine 4x4 matrix habe, und ich bringe durch
> umformungen die erste zeile bis auf den ersten eintrag auf
> null, kann ich dann nach laplace entwickeln, weil dann
> würde ja eig. dann da stehen:
>
> [mm] \red{1}*det(3x3)+(-0)*det(3x3)...
[/mm]
> also quasi bleibt nur das erste produkt stehen und das ist
> eine 3x3 matrix also sarrus.
>
> geht das so?
Hallo,
ob das Rote nun gerade die 1 ist, hängt natürlich von der 4x4-Matrix ab, die Du entwickeln möchtest.
Abgesehen davon hast Du recht - wenn ich das, was Du schreibst, richtig interpretiere, wovon ich jetzt einfach mal ausgehe.
Gruß v. Angela
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