Var. Norm.Vert. parameterabh. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:16 Do 24.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Erst einmal ein kleines Vorwort: Ich schreibe gerade meine Masterarbeit im Gebiet der Kryptographie. Nun bin ich bei folgendem Problem angelangt:
Gegeben zwei $n$-Bit-Zahlen $a,b$, d.h. [mm] $a=a_n2^n+\ldots+a_12+a_0$ [/mm] und [mm] $b=b_n2^n+\ldots+b_12+b_0$. [/mm] Sei [mm] $w(x)=x_n+\ldots+x_0$ [/mm] die Hamming-Gewichts-Funktion, d.h. sie zählt die Anzahl der Einsen in den binären Darstellung von $x$.
Betrachte nun den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega_{n,\delta}=\{(x,y)\in\{0,\ldots,2^n-1\}^2\;|\; w(x)=w(y)=\delta n\}$ [/mm] für [mm] $\delta\in [/mm] [0,1]$ mit der Gleichverteilung, d.h. gleichverteilte Tupel aus $n$-Bit-Zahlen mit Gewichten je [mm] $\delta [/mm] n$ (+diskrete [mm] $\sigma$-Algebra).
[/mm]
Nun konstruiere die Zufallsvariable $W: [mm] \Omega_{n,\delta}\rightarrow\mathbb{N}_0,\; [/mm] W(x,y)=w(x+y)$, d.h. $W$ gibt die Anzahl der Einsen in der Binärdarstellung der Summe an. Die Frage ist nun: Wie ist $W$ verteilt?
Experimente liefern, dass $W$ so ziemlich (diskret) normalverteilt ist. Heuristische Argumente ließen mich sogar ziemlich genau den Erwartungswert berechnen [mm] ($E(W)\approx (2\delta-\frac{\delta^2}{2\delta^2-2\delta +1})n$). [/mm] Nun hätte ich aber gerne noch die Varianz von $W$. Für spezielle $n$ und [mm] $\delta$ [/mm] kann ich diese natürlich immer schätzen, aber gibt es einen Weg, an eine geschlossene Formel zu kommen, die $n$ und [mm] $\delta$ [/mm] beinhaltet?
Vielleicht habt ihr Statistiker ja einen Zaubertrick parat. :)
Vielen Dank!
PS: Beispiel für $n=1000, [mm] \delta=0.3$: [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Sa 16.08.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel!
> Erst einmal ein kleines Vorwort: Ich schreibe gerade meine
> Masterarbeit im Gebiet der Kryptographie. Nun bin ich bei
> folgendem Problem angelangt:
>
> Gegeben zwei [mm]n[/mm]-Bit-Zahlen [mm]a,b[/mm], d.h.
> [mm]a=a_n2^n+\ldots+a_12+a_0[/mm] und [mm]b=b_n2^n+\ldots+b_12+b_0[/mm]. Sei
> [mm]w(x)=x_n+\ldots+x_0[/mm] die Hamming-Gewichts-Funktion, d.h. sie
> zählt die Anzahl der Einsen in den binären Darstellung
> von [mm]x[/mm].
>
> Betrachte nun den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm]\Omega_{n,\delta}=\{(x,y)\in\{0,\ldots,2^n-1\}^2\;|\; w(x)=w(y)=\delta n\}[/mm]
> für [mm]\delta\in [0,1][/mm] mit der Gleichverteilung, d.h.
> gleichverteilte Tupel aus [mm]n[/mm]-Bit-Zahlen mit Gewichten je
> [mm]\delta n[/mm] (+diskrete [mm]\sigma[/mm]-Algebra).
>
> Nun konstruiere die Zufallsvariable [mm]W: \Omega_{n,\delta}\rightarrow\mathbb{N}_0,\; W(x,y)=w(x+y)[/mm],
> d.h. [mm]W[/mm] gibt die Anzahl der Einsen in der Binärdarstellung
> der Summe an. Die Frage ist nun: Wie ist [mm]W[/mm] verteilt?
Hoert sich spannend an 
Ich hab mal ein wenig darueber nachgedacht. Herausgefunden habe ich leider nichts wirklich sinnvolles.
Aber eine kleine Sache ist mir aufgefallen, die ich erwaehnen wollte, da sie auf den ersten Blick etwas ungewoehnlich scheint: wenn [mm] $\delta \le [/mm] 1/2$ ist (und der Raum nicht gerade leer, weil $n [mm] \delta$ [/mm] keine natuerliche Zahl ist), dann nimmt $W$ auch den Wert 1 an.
Betrachte dazu die Zahlen $x$ und $y$ wie folgt:
$x = .....10101010101$
$y = .....01010101011$
(Jeweils so weit fortgesetzt, dass sie beide $w(x) = w(y) = [mm] \delta [/mm] n$ erfuellen.) Dann ist $x + y = 10....0$ und somit $w(x + y) = 1$.
Der groesstmoegliche Wert fuer $W$ ist immer $2 [mm] \delta [/mm] n$, falls [mm] $\delta \le [/mm] 1/2$ ist.
Und ich koennte mir vorstellen, dass sich der Fall [mm] $\delta [/mm] > 1/2$ moeglicherweise ganz anders verhaelt als der Fall [mm] $\delta \le [/mm] 1/2$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 So 24.08.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
