Var(XY) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien X,Y stochastisch unabhängige einfache Zufallsvariablen. Berechnen sie Var(XY). |
Hallo. Nun kann ich Var(XY) ja schreiben als [mm] Var(XY)=E(X^2Y^2)-(E(XY))^2. [/mm] Der letzte Term ist wegen der stochastischen Unabhängigkeit [mm] E(XY)^2=E(X)^2\cdot E(Y)^2. [/mm] Nun steht die Frage im Raum ob auch [mm] $Cov(X^2,Y^2)=0$. [/mm] Dann wäre nämlich [mm] $E(X^2\cdot Y^2)=E(X^2)\cdot E(Y^2)$. [/mm] Dann wäre $Var(XY)=0$ Normalerweise sollte das so sein, weil ja auch [mm] f\circ [/mm] X eien einfache Zufallsvariable ist und [mm] a(f\circ X)\subset(a(X)) [/mm] und sich stochastische Unabhängigkeit nach unten vererbt.
Also sollte das so sein. Stimmt das?
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> Seien X,Y stochastisch unabhängige einfache
> Zufallsvariablen. Berechnen sie Var(XY).
> Hallo. Nun kann ich Var(XY) ja schreiben als
> [mm]Var(XY)=E(X^2Y^2)-(E(XY))^2.[/mm] Der letzte Term ist wegen der
> stochastischen Unabhängigkeit [mm]E(XY)^2=E(X)^2\cdot E(Y)^2.[/mm]
> Nun steht die Frage im Raum ob auch [mm]Cov(X^2,Y^2)=0[/mm]. Dann
> wäre nämlich [mm]E(X^2\cdot Y^2)=E(X^2)\cdot E(Y^2)[/mm]. Dann wäre
> [mm]Var(XY)=0[/mm] Normalerweise sollte das so sein, weil ja auch
> [mm]f\circ[/mm] X eien einfache Zufallsvariable ist und [mm]a(f\circ X)\subset(a(X))[/mm]
> und sich stochastische Unabhängigkeit nach unten vererbt.
> Also sollte das so sein. Stimmt das?
Es gibt einen ganz allgemeinen Satz der besagt, dass wenn Du eine Familie [mm] $(X_i)_{i\in I}$ [/mm] von unabhängigen Zufallsvariablen hast (hier $X, Y$) und diese zusammensetzt mit irgendwelchen messbaren Abbildungen [mm] $(Y_i)_{i\in I}$, [/mm] dann sind die Zufallsvariablen [mm] $Z_i [/mm] := [mm] Y_i\circ X_i$ [/mm] ebenfalls unabhängig. Idealerweise habt ihr diesen Satz im wesentlichen in der Vorlesung bewiesen (vielleicht wirfst Du mal einen diskreten Blick in Deine Notizen - oder Dein Lehrbuch).
In Deinem Fall besagt dies, dass aus der Unabhängigkeit von $X$ und $Y$ auch die Unabhängigkeit von [mm] $X^2$ [/mm] und [mm] $Y^2$ [/mm] folgt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 So 08.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Seien X,Y stochastisch unabhängige einfache
> Zufallsvariablen. Berechnen sie Var(XY).
> Hallo. Nun kann ich Var(XY) ja schreiben als
> [mm]Var(XY)=E(X^2Y^2)-(E(XY))^2.[/mm] Der letzte Term ist wegen der
> stochastischen Unabhängigkeit [mm]E(XY)^2=E(X)^2\cdot E(Y)^2.[/mm]
> Nun steht die Frage im Raum ob auch [mm]Cov(X^2,Y^2)=0[/mm]. Dann
> wäre nämlich [mm]E(X^2\cdot Y^2)=E(X^2)\cdot E(Y^2)[/mm]. Dann wäre
> [mm]Var(XY)=0[/mm]
Wieso sollte [mm] $E(X^2)E(Y^2)-E(X)^2E(Y)^2=0$ [/mm] gelten?
Oder mal logisch gefragt, warum sollte das Produkt von zwei unabhängigen Variablen deterministisch sein (also Var(XY)=0)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:33 Mo 09.06.2008 | | Autor: | blascowitz |
danke danke
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