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| Aufgabe | Betrachten Sie die Formeln für die Varianzen von binomial- und geometrisch verteilten Zufallsvariablen: binom.: E(X) = np V(X) = np(1-p)
geom.: E(X) = [mm] \bruch{1}{p} [/mm] V(X)= [mm] \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] \bruch{1-p}{p} [/mm] = [mm] \bruch{1-p}{p^{2}}
[/mm]
Überlegen Sie anhand der Formeln, für welche Werte von p diese Varianzen maximal werden. Dabei können Sie natürlich den Computer oder Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Können Sie sich die Ergebnisse anschaulich erklären? |
Als Lösung wurde angesprochen:
Binomialverteilung: p = 0 oder p = 1 hat keine Varianz, ist auch einleuchtend: wenn ein Ereignis nie oder immer eintritt, gibt es – logischerweise – auch keine Abweichung.
Dies gilt aber nicht für die geometrische Verteilung:
Geometrische Verteilung: p = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] V(X) = 0 klar
p = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1/0 nicht definiert [mm] \Rightarrow [/mm] gibt keine Varianz bzw. auch = 0, auch wenn die Formel das nicht hergibt.
Dann Zahlenbeispiele, dass "je kleiner p, desto größer die Varianz".
Frage: Wie kann ich es anschaulich erklären, dass bei Binomialverteilung die maximale Varianz bei p = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liegt, bei p = 0 und p = 1 jedoch keine Varianz auftritt. Und dann bei der geometrischen Verteilung das Maximum für p [mm] \to [/mm] 0 erreicht wird?
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Hiho,
> Als Lösung wurde angesprochen:
> Binomialverteilung: p = 0 oder p = 1 hat keine Varianz,
> ist auch einleuchtend: wenn ein Ereignis nie oder immer
> eintritt, gibt es – logischerweise – auch keine
> Abweichung.
Das ist falsch.
Es gibt auch für $p=0$ und $p=1$ eine Varianz, nämlich $0$.
"Keine Varianz" ist etwas anderes als "Eine Varianz von Null".
Die ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Verteilung hat bspw. keine Varianz.
> Dies gilt aber nicht für die geometrische Verteilung:
>
> Geometrische Verteilung: p = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] V(X) = 0
> klar
> p = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1/0 nicht
> definiert [mm]\Rightarrow[/mm] gibt keine Varianz bzw. auch = 0,
> auch wenn die Formel das nicht hergibt.
Und hier wird es spannend das obige zu unterscheiden: Ist sie nun gleich Null oder ist sie im Fall $p=0$ unbestimmt?
Kannst du das aus der Definition der Varianz beantworten?
> Dann Zahlenbeispiele, dass "je kleiner p, desto größer die Varianz".
>
> Frage: Wie kann ich es anschaulich erklären, dass bei
> Binomialverteilung die maximale Varianz bei p =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] liegt, bei p = 0 und p = 1 jedoch keine
> Varianz auftritt. Und dann bei der geometrischen Verteilung
> das Maximum für p [mm]\to[/mm] 0 erreicht wird?
Ist dir klar. welche (Standard-)Experimente hinter den entsprechenden Verteilungen stehen?
Was passiert in den entsprechenden Experimenten, wenn $p=1$ bzw $p=0$ gilt?
Welche Ergebnisse erwarte ich dann?
Dann kann man sich das anschaulich recht gut klar machen.
Vielleicht hilft dir dazu folgender Satz: Eine Zufallsvariable hat eine Varianz von Null, genau dann, wenn sie (fast sicher) konstant ist.
(Wenn du mit dem Begriff "fast sicher" nichts anfangen kannst, lass es einfach weg).
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 So 16.03.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
Du hattest gefragt, wie sich bei der Binomialverteilung gerade eine maximale Varianz von 1/2 ergibt. Mathematisch lässt sich dies schnell herleiten:
[mm] V(n,p)=n\cdot p \cdot (1-p)= np - n p^2 [/mm]
Leitet man diesen Ausdruck nach p ab und setzt ihn zu Null für die Extremwertbestimmung, so erhält man:
[mm] \bruch{d\, V(p,n)}{d\, p} = n - 2np = 0 [/mm]
So bekommt man [mm] n = 2np [/mm], n darf man herauskürzen, da es sicher größer gleich 1 ist, und man erhält als Maximalwert
[mm] V_{max} = \bruch{1}{2} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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