Varianz Lemma < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:11 Do 26.06.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
Zu zeigen: Sei [mm] $X\in\mathcal L^2$ [/mm] mit $V(X)=0$, dann existiert [mm] x\in\IR [/mm] mit $P(X=x)=1$.
Sei nun $V(X)=0$, dann gilt: [mm] $(x-E(X))^2=0$ [/mm] oder [mm] $P(X=x)=0\$. [/mm] Wie komme ich nun auf die Behauptung?
Danke euch!
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Hiho,
> Sei nun [mm]V(X)=0[/mm], dann gilt: [mm](x-E(X))^2=0[/mm]
Es gilt: [mm] $\left(X - E(X)\right)^2 [/mm] = 0$
Stelle das mal nach X um.
Was ist X also insbesondere?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Do 26.06.2014 | | Autor: | James90 |
Hi Gono!
Du bist echt überall. 
> > Sei nun [mm]V(X)=0[/mm], dann gilt: [mm](x-E(X))^2=0[/mm]
>
> Es gilt: [mm]\left(X - E(X)\right)^2 = 0[/mm]
Habe ich das richtig verstanden: P(X=x)=0 fällt sofort weg, denn wir suchen nach einem [mm] x\in\IR [/mm] mit P(X=x)=1 und das ist hier nicht gegeben.
Wieso betrachtest du hier X als Zufallsvariable? Ich summiere über alle x.
Meinst du vielleicht das: [mm] V(X)=E((X-E(X))^2)
[/mm]
> Stelle das mal nach X um.
[mm] $\left(X - E(X)\right)^2 [/mm] = [mm] 0\Rightarrow [/mm] X=E(X)$
> Was ist X also insbesondere?
Das weiß ich leider nicht.
Viele Grüße, James.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 26.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Na, $X$ ist doch eine Zufallsvariable nach Voraussetzung. Nun gilt [mm] $E((X-E(X))^2)=0$. [/mm] Nun gilt folgendes: Falls [mm] $Y\ge [/mm] 0$ eine integrerbare Zufallsvariable ist und $E(Y)=0$ gilt, dann ist $Y=0$ fast sicher (warum?).
In unserem Fall ist also [mm] $(X-E(X))^2=0 \gdw [/mm] X=E(X)$ fast sicher. $E(X)$ ist doch jetzt nur eine reelle Zahl. $X$ ist also (fast sicher) eine k******** Zufallsvariable!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 26.06.2014 | | Autor: | James90 |
Hallo Teufel!
> In unserem Fall ist also [mm](X-E(X))^2=0 \gdw X=E(X)[/mm] fast sicher.
Den Begriff "fast sicher" habe ich über das Netz gefunden, aber diesen hatten wir nicht.
Ich denke aber, dass das hier keine Rolle spielt.
> [mm]E(X)[/mm] ist doch jetzt nur eine reelle Zahl [mm]X[/mm] ist
> also (fast sicher) eine k******** Zufallsvariable!
Stimmt! Danke Dir! Das heißt: [mm] X(\omega)=c\in\IR [/mm] für alle [mm] \omega\in\Omega.
[/mm]
Ich will aber zeigen, dass es nun ein [mm] x\in\IR [/mm] gibt mit [mm] P(X=x)=\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x\}=1.
[/mm]
Wie muss ich hier x wählen, damit nun auf der rechten Seite 1 rauskommt?
Viele Grüße, James.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hmm na ja der Begriff ist schon recht wichtig, aber auch nicht besonders schwierig. Wenn du 2 Zufallsvariablen $X,Y$ hast, dann gilt $X=Y$ fast sicher, falls P(X=Y)=1 ist. So eine Aussage willst du ja am Ende auch zeigen. Wenn z.B. $X$ und $Y$ stetige Zufallsvariablen sind, $X=0$ konstant und $Y=0$ konstant außer z.B. für 0, d.h. $Y(0)=1$, dann gilt auch $P(X=Y)=1$, aber natürlich gilt [mm] $X\not=Y$ [/mm] wenn man das "fast sicher" weglässt.
Und in deinem Fall musst du auch aufpassen, es gilt nur [mm] $X(\omega)=E(X)$ [/mm] für fast sicher, also die Menge der [mm] $\omega$, [/mm] für die das gilt, muss nicht ganz [mm] $\Omega$ [/mm] sein, aber es gilt eben [mm] P(\{\omega\in\Omega\;|\; X(\omega)=E(X)\})=1. [/mm] Das kann z.B. dann relevant sein, wenn in [mm] \Omega [/mm] auch [mm] \omega [/mm] enthalten sind, die nie gezogen werden können, also für die [mm] P(\{\omega\})=0 [/mm] gilt. Es kann also ein [mm] \omega' [/mm] mit [mm] $X(\omega')\not=E(X)$ [/mm] geben, aber wenn [mm] $P(\{\omega'\})=0$ [/mm] gilt, interessiert das nicht ganz so sehr. Aber faktisch sind beide Zufallsvariablen unterschiedlich.
Du könntest z.B. nicht zeigen: $V(X)=0 [mm] \Rightarrow X\equiv [/mm] c$, also $X$ konstant $c$, weil diese Aussage falsch wäre.
Zu deiner Aufgabe:
Ok du weißt jetzt $X=E(X)$ fast sicher, also gilt $P(X=E(X))=1$. Wie kannst du dein $c$ jetzt wählen?
Und wenn ihr den Begriff nicht hattet, kannst du ja auch alle Sachen der Form $X=Y$ fast sicher durch $P(X=Y)=1$ ersetzen und alles ist korrekt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
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> Hmm na ja der Begriff ist schon recht wichtig, aber auch
> nicht besonders schwierig. Wenn du 2 Zufallsvariablen [mm]X,Y[/mm]
> hast, dann gilt [mm]X=Y[/mm] fast sicher, falls P(X=Y)=1 ist. So
> eine Aussage willst du ja am Ende auch zeigen. Wenn z.B. [mm]X[/mm]
> und [mm]Y[/mm] stetige Zufallsvariablen sind, [mm]X=0[/mm] konstant und [mm]Y=0[/mm]
> konstant außer z.B. für 0, d.h. [mm]Y(0)=1[/mm], dann gilt auch
> [mm]P(X=Y)=1[/mm], aber natürlich gilt [mm]X\not=Y[/mm] wenn man das "fast
> sicher" weglässt.
nur mal ergänzend weise ich mal (wie in dem entsprechenden Wiki-Link)
darauf hin, dass man am Besten (erstmal) den Begriff
![[]](/images/popup.gif) "fast überall"
verstehen sollte (insbesondere sollte man sich klarmachen, was Nullmengen
sind, und das etwa abzählbare Mengen des [mm] $\IR^n$ [/mm] Lebesgue-Nullmengen sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/Nullmenge.)
Manchmal schreibt man auch sowas wie [mm] $X(\omega)=c$ [/mm] für fast alle (klick!) [mm] $\omega \in \Omega\,,$ [/mm] da
sollte man insbesondere beachten, dass das in Maßtheorie meist synonym
für "fast überall" verwendet wird, im Gegensatz zur Analysis, wo dieser
Begriff ( fast immer... wie immer auch das nun definiert sei  ) in der Bedeutung
von "alle bis auf endlich viele Ausnahmen" benutzt wird.
Insbesondere bedeutet das: Sobald in einem (mathematischen) Text das
Wort "fast (+ Zusatz)" auftaucht, sollte man sich immer klarmachen, in
welchem Sinne das gerade verwendet wird bzw. notfalls nochmal nachschlagen,
ob der Autor etwas dazu sagt, in welchem Sinne er das gebraucht!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo James,
> Hallo Teufel!
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> > In unserem Fall ist also [mm] $(X-E(X))^2=0 \gdw$ [/mm]
> [mm] $\red{X=E(X)}$ [/mm] fast sicher.
>
> Den Begriff "fast sicher" habe ich über das Netz gefunden,
> aber diesen hatten wir nicht.
> Ich denke aber, dass das hier keine Rolle spielt.
>
> > [mm]E(X)[/mm] ist doch jetzt nur eine reelle Zahl [mm]X[/mm] ist
> > also (fast sicher) eine k******** Zufallsvariable!
>
> Stimmt! Danke Dir! Das heißt:
> [mm]\red{X(\omega)=c}\in\IR[/mm] für alle [mm]\omega\in\Omega.[/mm]
> Ich will aber zeigen, dass es nun ein [mm]x\in\IR[/mm] gibt mit
> [mm]P(X=x)=\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x\}=1.[/mm]
> Wie muss ich hier x wählen, damit nun auf der rechten
> Seite 1 rauskommt?
ich hab' Dir mal die Stellen aus Deinem eigenen Text markiert, mit denen Du
Deine Frage eigentlich auch schon selbst beantworten kannst.
Gruß,
Marcel
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