Varianz [Mögliche Schreibweise < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 11.11.2009 | | Autor: | durden88 |
Hallo, also es geht sich um die Varianz. Ich schreibe immer endlos lange Ketten bei der Varianz und habe hier schonmal im Forum gesehen das man die Varianz auch in der Form: [mm] Var(x1....xn)=x_{n}^2-x_{n}^2 [/mm] schreiben kann. Aber wieso gilt dies, kann mir da einer helfen?
Das [mm] x_{n}^2 [/mm] soll eigendlich noch sonen Strich übendrüber bekommen, also der Mittelwert hoch 2 GG
danke!
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> Hallo, also es geht sich um die Varianz. Ich schreibe immer
> endlos lange Ketten bei der Varianz und habe hier schonmal
> im Forum gesehen das man die Varianz auch in der Form:
> [mm]Var(x1....xn)=x_{n}^2-x_{n}^2[/mm] schreiben kann. Aber wieso
> gilt dies, kann mir da einer helfen?
>
> Das [mm]x_{n}^2[/mm] soll eigendlich noch sonen Strich übendrüber
> bekommen, also der Mittelwert hoch 2 GG
>
> danke!
Hallo Durden,
die Formel, die du meinst, ist diese:
$\ Var(X)\ =\ [mm] E(X^2)-(E(X))^2$
[/mm]
Dabei steht E für "Erwartungswert". In der
Schreibweise mit dem Querstrich:
$\ Var(X)\ =\ [mm] \overline{X^2}-\overline{X}^2$
[/mm]
Man nennt diesen Satz den "Verschiebungssatz".
Dazu ein kleiner Ausschnitt aus einem Lehrbuch:
Varianz und Standardabweichung
Definition:
Die Varianz V(X), auch Var(X), einer Zufallsvariable X
ist definiert als
$\ Var(X)\ =\ E[(X - [mm] E(X))^2]$
[/mm]
"Erwartete quadratische Abweichung vom Erwartungswert"
Verschiebungssatz:
Zur einfacheren Berechnung der Varianz kann der Ver-
schiebungssatz angewendet werden:
$\ Var(X)\ =\ [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] [E(X)]^2$
[/mm]
Beweis:
[mm] $\, [/mm] Var(X) = E[(X - [mm] E(X))^2]$
[/mm]
= [mm] E[X^2 [/mm] - [mm] 2\,X\,E(X) [/mm] + [mm] (E(X))^2]
[/mm]
= [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(2\,X\,E(X)) [/mm] + [mm] E((E(X))^2)
[/mm]
= [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] 2\,E(X)\,E(X) [/mm] + [mm] (E(X))^2
[/mm]
[mm] =E(X^2)-(E(X))^2\qquad \square
[/mm]
LG Al-Chw.
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