Varianz Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 12.12.2011 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] eine einfache Zufallsstichprobe, wobei [mm] X_i [/mm] ~ [mm] U(\Theta, \Theta+1) [/mm] mit Parameter [mm] \Theta \in \IR. [/mm] Es seien zwei Schätzer [mm] \hat \Theta_1 [/mm] und [mm] \hat \Theta_2 [/mm] für [mm] \Theta [/mm] gegeben durch
[mm] \hat{\Theta_1} [/mm] = [mm] \overline X_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
und
[mm] \hat{\Theta_2} [/mm] = [mm] min(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)
[/mm]
Berechnen Sie den Bias und die Varianz der beiden Schätzer. |
Mein Ansatz lautet für den ersten Schätzer:
- Die Dichte lautet f(x) = 1, wenn [mm] \Theta \le [/mm] x [mm] \le \Theta [/mm] + 1
Der Erwartungswert für die Zufallsvariable lautet
EX = [mm] \overline X_n [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{\Theta}^{\Theta+1}{x dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x^2 |_{\Theta}^{\Theta+1} [/mm] = [mm] \Theta [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \to E\hat \Theta_1 [/mm] = EX - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \Theta [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \Theta
[/mm]
Damit wäre [mm] Bias(\hat \Theta_1) [/mm] = 0.
Ist das soweit korrekt? Falls nicht, bitte schnell korrigieren! ;)
Außerdem suche ich noch die Varianz für [mm] \hat \Theta_1. [/mm] Wie berechne ich die? Ich hab ja die Verteilung für X, und kann damit die Var(x) berechnen, aber ich brauch ja die für den Schätzer...wie ist da der Zusammenhang?
Wie komm ich beim zweiten Schätzer auf den Erwartungswert (und damit auf den Bias)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also [mm] E(\Theta_1)=E(\overline{X_n}-\frac{1}{2})=E(\overline{X_n})-\frac{1}{2}. [/mm] Da alle [mm] X_i [/mm] identisch verteilt sind, gilt [mm] E(\overline{X_n})=E(X_1) [/mm] z.B.
[mm] E(X_1) [/mm] hast du richtig ausgerechnet, [mm] E(X_1)=\Theta_1+\frac{1}{2}. [/mm] Damit stimmt dein Ergebnis also, nur die Schreibweisen waren nicht ganz klar (was ist das X?).
Für die Varianz gilt folgendes: Var(X+a)=Var(X) für a [mm] \in \IR.
[/mm]
Daher ist [mm] Var(\Theta_1)=Var(\overline{X_n}-\frac{1}{2})=Var(\overline{X_n}).
[/mm]
Sind die [mm] X_i [/mm] eigentlich (paarweise) unabhängig oder (paarweise) unkorreliert? Dann gilt für die Varianz nämlich auch [mm] Var(X_1+X_2+...+X_n)=Var(X_1)+Var(X_2)+...+Var(X_n). [/mm] Hilft dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 12.12.2011 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank soweit! 
Ist die Varianz von [mm] \overline X_n [/mm] dann die Summe über alle einzelnen Varianzen? Da die Stichprobenvariablen gleichverteilt sind, wäre die Varianz dann hier nicht einfach n [mm] \cdot \bruch{1}{12} (\Theta+1 [/mm] - [mm] \Theta)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}?
[/mm]
Wie kann ich den Erwartungswert beim anderen Schätzer bestimmen? Beim Minimum?
Vielen Dank für die Hilfe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Teufel |
So ähnlich. Schreib dir alles nochmal genau auf!
[mm] Var(\overline{X_n})=Var(\frac{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}*Var(\summe_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n^2}*n*Var(X_1). [/mm] Nicht den Vorfaktor vergessen! Dieser springt bei der Varianz auch immer quadratisch raus, d.h. [mm] Var(aX)=a^2*Var(X).
[/mm]
Damit erhältst du dein Ergebnis, nur eben noch durch n geteilt. Daran siehst du auch, dass für großes n die Varianz gegen 0 geht, also wenn du viele Beobachtungen machst, dann streut der Schätzer kaum noch.
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