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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:59 So 12.10.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Sei [mm] $H_n:\ C[0,1]\to \mathbb{R},\ H_n(x)=2^{n-1}\left[\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2-2\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1})(x(t_j)-x(t_{j-1})\right]$
[/mm]
und [mm] $\mathbb{L}_0=\mathcal{L}_P(B)$ [/mm] die Verteilung der Brownschen Bewegung [mm] $B:\Omega\to [/mm] C[0,1],\ [mm] \omega\mapsto B(\omega,\cdot)$. [/mm] Zusätzlich kürzen wir ab: [mm] $Q_n(F)=2^n\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2$.
[/mm]
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von [mm] $H_n$ [/mm] bezüglich [mm] $\mathbb{L}_0$. [/mm] |
Hi,
also um das Ganze verständlicher zu machen: [mm] $H_n$ [/mm] bekommt als Argument eine stetige Funktion $x:\ [mm] [0,1]\to\mathbb{R}$, [/mm] in die Zeitpunkte [mm] $t_j=\frac{j}{2^n}\in[0,1]$ [/mm] eingesetzt werden. Daher hat [mm] $H_n$ [/mm] Werte in [mm] $\mathbb{R}$. [/mm]
Die Aufgabe ist Teil des Beweises vom Cameron Martin Theorem (siehe Peres&Mörters: Brownian Motion. Wurde dort nicht genauer erläutert).
Bisher hab ich nur den Erwartungswert mittels Integration des Bildmaßes gefunden:
[mm] $E_{\mathbb{L}_0}[H_n]=\int_{C[0,1]}H_n(x)d\mathbb{L}_0(x)=$
[/mm]
[mm] $=\int_{C[0,1]}H_n(x)dB[P](x)=\int_{\Omega}H_n(B(\omega))dP(\omega)=$
[/mm]
[mm] $=E_P[H_n(B)]=2^{n-1}\left[\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2\right]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}Q_n(F)$
[/mm]
Die Varianz versuch ich folgendermaßen auszurechnen:
[mm] $Var_{\mathbb{L}_0}[H_n]=E_{\mathbb{L}_0}[H_n^2]-E_{\mathbb{L}_0}[H_n]^2=$
[/mm]
[mm] $=E_P\left[\left(2^{n-1}\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2-2\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1})(B(t_j)-B(t_{j-1}))\right)^2\right]-\frac{1}{4}Q_n(F)^2=$
[/mm]
[mm] $=E_P\left[2^{2n-2}\left(\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))\right)^2-2^{2n-1}\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))^2\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))+2^n\left(\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))\right)^2\right]-\frac{1}{4}Q_n(F)^2=$
[/mm]
Der erste Term ist genau [mm] $\frac{1}{4}Q_n(F)^2$, [/mm] der zweite Term wird Null, weil die Zuwächse der Brownschen Bewegung Erwartung Null haben, übrig bleibt nur der dritte Term:
[mm] $=E_P\left[2^n\left(\sum_{j=1}^{2^n}(F(t_j)-F(t_{j-1}))(B(t_j)-B(t_{j-1}))\right)^2\right]$
[/mm]
Jetzt kann man benutzen, dass die Zuwächse der Brownschen Bewegung paarweise unabhängig sind:
[mm] $=2^n\sum_{j=1}^{2^n}E_P[F(t_j)-F(t_{j-1}))^2(B(t_j)-B(t_{j-1})^2]$
[/mm]
Am Ende sollte [mm] $Var_{\mathbb{L}_0}[H_n]=Q_n(F)$ [/mm] rauskommen (laut Peres&Mörters).
Hab ich mich irgendwo verrechnet?
Danke für die Hilfe,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 16.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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