Varianz berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 04.08.2013 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | In einer Region sind zur Stromversorung 8 Kraftwerke in Betrieb, darunter 3 Kraftwerke vom Typ K1, 1 Kraftwerk vom Typ K2 sowie 4 Kraftwerke vom Typ K3. [mm] X_i [/mm] bezeichne die tägliche Emission eines bestimmten Schadstoffes beim Betrieb von Kraftwerkstyp [mm] K_i. [/mm]
X1;X2;X3 seien Zufallsvariablen (Werte in kg) mit
E(X1) = 75; E(X2) = 34; E(X3) = 43;
Var(X1) = 16; Var(X2) = 36; Var(X3) = 25:
Dabei seien die Emissionen der 8 Kraftwerke unabhängig voneinander. Y (in kg) bezeichne die von den 8 Kraftwerken der Region zusammen verursachte tägliche Emissionsmenge des betrachteten Schadstoffes.
Berechne E(Y) und Var(Y) |
Hallo zusammen,
ich habe zu der Aufgabe folgende Frage:
Es gilt Y = 3*X1 + 1*X2 + 4*X3.
Desweiteren ist E(Y) = 3*E(X1)+1*E(X2)+4*E(X3) = 3*75+1*34+4*43
Bei Var(Y) würde ich so rechnen:
Var(Y) = Var(3*X1) + Var(X2) + Var(4*X3) = 9*Var(X1) + Var(X2) + 16 * Var(X3) = 9 * 16 + 36 + 16 * 25 = 580
Die Standardabweichung von Y wäre dann die Wurzel aus 580.
Ist das so richtig ?
In der Musterlösung der Aufgabe steht:
Var(Y) = 3*16 + 36 + 4 * 25 = 184 und das verstehe ich nicht.
Ich dachte, dass man Faktoren, wenn man sie vor die Varianz zieht quadrieren muss.
Danke im voraus !
Viele Grüße
Rubi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 So 04.08.2013 | | Autor: | abakus |
> In einer Region sind zur Stromversorung 8 Kraftwerke in
> Betrieb, darunter 3 Kraftwerke vom Typ K1, 1 Kraftwerk vom
> Typ K2 sowie 4 Kraftwerke vom Typ K3. [mm]X_i[/mm] bezeichne die
> tägliche Emission eines bestimmten Schadstoffes beim
> Betrieb von Kraftwerkstyp [mm]K_i.[/mm]
> X1;X2;X3 seien Zufallsvariablen (Werte in kg) mit
> E(X1) = 75; E(X2) = 34; E(X3) = 43;
> Var(X1) = 16; Var(X2) = 36; Var(X3) = 25:
> Dabei seien die Emissionen der 8 Kraftwerke unabhängig
> voneinander. Y (in kg) bezeichne die von den 8 Kraftwerken
> der Region zusammen verursachte tägliche Emissionsmenge
> des betrachteten Schadstoffes.
> Berechne E(Y) und Var(Y)
> Hallo zusammen,
>
> ich habe zu der Aufgabe folgende Frage:
>
> Es gilt Y = 3*X1 + 1*X2 + 4*X3.
> Desweiteren ist E(Y) = 3*E(X1)+1*E(X2)+4*E(X3) =
> 3*75+1*34+4*43
>
> Bei Var(Y) würde ich so rechnen:
> Var(Y) = Var(3*X1) + Var(X2) + Var(4*X3) = 9*Var(X1) +
> Var(X2) + 16 * Var(X3) = 9 * 16 + 36 + 16 * 25 = 580
Hallo,
es gilt doch Var(Y) = Var(X1)+ Var(X1) + Var(X1) + Var(X2) + Var(X3) + Var(X3) + Var(X3) + Var(X3) .
Du hast also beispielsweise 3 Summanden
"Var(X1)" und 4 Summanden "Var(X2)". Wieso sollten das plötzlich 9 bzw 16 Summanden werden?
Gruß Abakus
> Die Standardabweichung von Y wäre dann die Wurzel aus
> 580.
>
> Ist das so richtig ?
> In der Musterlösung der Aufgabe steht:
> Var(Y) = 3*16 + 36 + 4 * 25 = 184 und das verstehe ich
> nicht.
> Ich dachte, dass man Faktoren, wenn man sie vor die Varianz
> zieht quadrieren muss.
>
> Danke im voraus !
>
> Viele Grüße
> Rubi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 04.08.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo abakus,
erstmal danke für deine Antwort.
Aber es gibt doch eine Formel die aussagt:
Var(c*X) = [mm] c^2*Var(X). [/mm]
Warum kann ich diese da nicht anwenden ?
Viele Grüße
Rubi
|
|
|
| |
|
> Hallo abakus,
>
> erstmal danke für deine Antwort.
> Aber es gibt doch eine Formel die aussagt:
> Var(c*X) = [mm]c^2*Var(X).[/mm]
>
> Warum kann ich diese da nicht anwenden ?
Diese Formel ist richtig. Aber du hast hier nicht c-mal die Zufallsvariable [mm] X_{i}, [/mm] sondern c unabhängige Kopien von [mm] X_{i}, [/mm] sodass man die Additivität der Varianz verwenden darf.
>
> Viele Grüße
> Rubi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 04.08.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
sorry, wenn ich nochmals nachhake:
Was ist denn der Unterschied zwischen Y = X+X+X und Y = 3*X ?
Wenn ich Var(Y) = Var(X+X+X) rechne darf ich dies als Var(X)+Var(X)+Var(X) schreiben, also Var(Y) = 3*Var(X)
Wenn ich Var(Y) = Var(3*X) rechne, entspricht dies 9*Var(X).
Kann mir jemand mitteilen, worin genau der Unterschied besteht oder an einem selbst gewählten Beispiel demonstrieren, wo der eine und wo der andere Fall auftritt ?
Danke für eure Hilfe !
Viele Grüße
Rubi
|
|
|
| |
|
Die Formel $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ gilt nur für unabhängige Zufallszahlen. Die stochastischen größen $X$ und $X$ sind sicher nicht unabhängig (sie sind höchstgradig abhängig). Wenn du aber eine Stichprobe vom Umfang 3 hast, also wenn [mm] $X_1,\ X_2,\ X_3$ [/mm] drei identisch verteilte aber unabhängige zufallszahlen sind, dann gilt [mm] $V(X_1+X_2+X_3)=3V(X_1)$. [/mm] Der grund ist, dass große abweichungen vom mittelwert [mm] ($3\mu$) [/mm] deutlich wahrscheinlicher sind, wenn man die Größe $3X$ betrachtet, als bei [mm] $X_1+X_2+X_3$ [/mm] da große werte von [mm] $X_1$ [/mm] durch kleine Werte von [mm] $X_2$ [/mm] oder [mm] $X_3$ [/mm] kompensiert werden können.
|
|
|
|
