Varianz der Poisson-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Di 06.01.2009 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Zeige für eine Zufallsvariable X mit [mm] L(X)=Pois(\mu): Var(X)=\mu [/mm] |
Hallo, habe mal wieder eine Aufgabe, mit der ich nicht so recht voran komme...
Mein Ansatz sieht so aus:
Es gilt nach meiner Vorlesung:
Var(Pois(x)) = [mm] E(Pois(x)^2) [/mm] - [mm] (E(Pois(x))^2 [/mm] = [mm] E(x^2) [/mm] - [mm] \mu^2
[/mm]
= [mm] (\summe_{k=0}^{\infty} k^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] e^{-\mu} [/mm] * [mm] \mu^k) [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm]
= [mm] (e^{-\mu} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \mu^k) [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm]
= [mm] (e^{-\mu} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] k * [mm] \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] * [mm] \mu^k) [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = ...
Und jetzt komme ich aber nicht mehr weiter... Kann mir da nicht jemand helfen?
Gruß Johie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Di 06.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo Johanna,
es koennte sein, dass die Berechnung von [mm] \operatorname{E}[X(X-1)] [/mm] einfacher ist, also [mm] \operatorname{E}[X^2] -\operatorname{E}[X] [/mm] .
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 06.01.2009 | | Autor: | Johie |
Und wie mache ich das dann? Also mit E(X(X-1))?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Di 06.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Und wie mache ich das dann? Also mit E(X(X-1))?
[mm] $\operatorname{E}[X(X-1)]=e^{-\mu} \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k(k-1)}{k!}\mu^k=e^{-\mu}\mu^2 \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(k-2)!}\mu^{k-2}$\dots
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 06.01.2009 | | Autor: | Johie |
Habe es auch gerade herausgefunden, wie ich das umsetzen muss und bin zum selben Ergebnis gekommen wie du, aber ich hacke jetzt an der Stelle, wo die Summe k=2 ist...
Var(Pois(x)) = [mm] E(Pois(x)^2) [/mm] - [mm] (E(Pois(x)))^2 [/mm]
= [mm] E(x^2) [/mm] - [mm] (E(x))^2 [/mm] = E(x(x-1)) + E(x) - [mm] (E(x))^2
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k*(k-1)*e^{-\mu}*\bruch{\mu^k}{k!} [/mm] + [mm] \mu [/mm] - [mm] \mu^2
[/mm]
Komme bis hierhin, aber dann verstehe ich den Zug mit der Summe nicht, wieso verändert sich der Teil plötzlich? Kürzt sich das weg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Di 06.01.2009 | | Autor: | Johie |
Achso, habe es glaube ich...
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k(k-1) * \mu^k}{k!}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1(k-1) * \mu^k}{(k-1)!}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(1 * \mu^k}{(k-2)!}
[/mm]
= [mm] \mu^2 \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{\mu^{k-2}}{(k-2)!}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Di 06.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k*(k-1)*e^{-\mu}*\bruch{\mu^k}{k!}[/mm] + [mm]\mu[/mm] - [mm]\mu^2[/mm]
>
> Komme bis hierhin, aber dann verstehe ich den Zug mit der
> Summe nicht, wieso verändert sich der Teil plötzlich? Kürzt
> sich das weg?
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k\cdot{}(k-1)\cdot{}e^{-\mu}\cdot{}\bruch{\mu^k}{k!} [/mm] + [mm] \mu [/mm] - [mm] \mu^2=e^{-\mu} \mu^2\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{\mu^{k-2}}{(k-2)!} [/mm] + [mm] \mu [/mm] - [mm] \mu^2 =e^{-\mu}\mu^2 \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{\mu^j}{j!} [/mm] + [mm] \mu [/mm] - [mm] \mu^2=\mu$.
[/mm]
Die dritte Gleichung folgt aus der zweiten, indem du j=k-2 setzt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Di 06.01.2009 | | Autor: | Johie |
Ja, das habe ich auch so, aber es ging mir um den Teil, in dem sich die Summe verändert.
Aber denke, dass ich es jetzt verstanden habe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 So 05.06.2011 | | Autor: | GeMir |
Ähm, und wieso gilt diese Gleichung?
[mm] $\operatorname{E}[X(X-1)]=e^{-\mu} \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k(k-1)}{k!}\mu^k$
[/mm]
Ich meine, woraus folgt denn, dass wir [mm] $\operatorname{E}[X(X-1)]$ [/mm] berechnen dürfen, indem wir in die Formel anstatt $k$ einfach $k(k-1)$ einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 05.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das ist ein allgemeiner Satz. Für eine diskrete Zufallsvariable X gilt
[mm] E(f(X))=\summe_{x \in X(W)}^{}f(x)*P(X=x), [/mm] wobei W der Wahrscheinlichkeitsraum sein soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 05.06.2011 | | Autor: | GeMir |
Ja, klar, aber das hier:
[mm] $\operatorname{E}[X(X-1)]= e^{-\mu} \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k(k-1)}{k!}\mu^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k(k-1)\bruch{\mu^k}{k!}e^{-\mu} [/mm] = [mm] \summe_{k \in X(W)}{f(x*(x-1))P(X=k)}$
[/mm]
...ist zunächst mal nicht die Definition des Erwartungwertes, die man kennt. Die Rechnung stimmt natürlich aber den ausführlichen Rechenweg, den ich gebraucht habe, findet man ![[]](/images/popup.gif) hier.
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