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| Aufgabe | Führen Sie die Methode “Variation der Konstanten” explizit durch (d.h. die allgemein gültige Lösungsformel soll hier nicht benutzt werden), um die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen zu berechnen:
a) x`+2tx=3t
b) [mm] x`=xe^t+exp(e^t) [/mm] |
was ist eigentlich die allgemeine lösungsformel, die ich hier nicht benutzen soll?
a) x'+2tx=3t
homogene lösung:
x'+2tx=0
[mm] \bruch{1}{x}dx=-2tdt
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}=-2\integral{tdt}
[/mm]
[mm] ln|x|=-t^2
[/mm]
[mm] x=e^{-t^2}
[/mm]
[mm] x'=-2te^{-t^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] -2te^{-t^2}+2te^{-t^2}=3t
[/mm]
muss ich die gleichung hier integrieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Fr 23.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Führen Sie die Methode “Variation der Konstanten”
> explizit durch (d.h. die allgemein gültige Lösungsformel
> soll hier nicht benutzt werden), um die allgemeine Lösung
> folgender Differentialgleichungen zu berechnen:
>
> a) x'+2tx=3t
>
> b) [mm]x'=xe^t+exp(e^t)[/mm]
> was ist eigentlich die allgemeine lösungsformel, die ich
> hier nicht benutzen soll?
>
> a) x'+2tx=3t
>
> homogene lösung:
>
> x'+2tx=0
>
> [mm]\bruch{1}{x}dx=-2tdt[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x}dx}=-2\integral{tdt}[/mm]
>
> [mm]ln|x|=-t^2[/mm]
hier fehlt die Integrationskonstante!
>
> [mm]x=e^{-t^2}[/mm]
>
> [mm]x'=-2te^{-t^2}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]-2te^{-t^2}+2te^{-t^2}=3t[/mm]
diese Gleichung gilt sicher nie für alle t!
hier musst du sehen, dass du ja gar keine Konstante zum Variieren hast!
die alg. Lösung einer Dgl ersten Grades hat IMMER eine Konstante!
hier ist die Lösung der homogenen [mm] x(t)=c*e^{-t^2}
[/mm]
variation der konst. sagt jetzt du setzt C=C(t) also x(t)= [mm] x(t)=C(t)*e^{-t^2}
[/mm]
das differenziert und in die Dgl eingesetzt ergibt eine einfache Dgl für C(t) (auch hier wieder nicht die Konstante vergessen.
Am Ende ist dann die allg. Lsg der inhomogenen eben [mm] C(t)*e^{-x^2}
[/mm]
Gruß leduart
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die homogene Lösung ist
[mm] x(t)=c*e^{-t^2}
[/mm]
jetzt variere ich die konstante um die inhomogene lösung zu bestimmen
konstante varreieren: [mm] x(t)=C(t)*e^{-t^2}
[/mm]
das abgeleitet ergibt:
[mm] x'(t)=C'(t)*e^{-t^2}+C(t)*(-2t)e^{-t^2}
[/mm]
in die differentialgleichung eingesetzt:
[mm] C'(t)*e^{-t^2}+C(t)*(-2t)e^{-t^2}+2tC(t)*e^{-t^2}=3t
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] C'(t)*e^{-t^2}=3t
[/mm]
wie mache ich weiter? nach was genau muss ich jetzt umstellen? ich versteh noch nicht genau was die inhomogene lösung ist.
x(t) ist die homogene lösung, was ist die inhomogene lösung?
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Hallo,
> die homogene Lösung ist
>
> [mm]x(t)=c*e^{-t^2}[/mm]
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt variere ich die konstante um die inhomogene lösung
> zu bestimmen
>
> konstante varreieren: [mm]x(t)=C(t)*e^{-t^2}[/mm]
>
> das abgeleitet ergibt:
>
> [mm]x'(t)=C'(t)*e^{-t^2}+C(t)*(-2t)e^{-t^2}[/mm]
>
> in die differentialgleichung eingesetzt:
>
> [mm]C'(t)*e^{-t^2}+C(t)*(-2t)e^{-t^2}+2tC(t)*e^{-t^2}=3t[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]C'(t)*e^{-t^2}=3t[/mm]
>
> wie mache ich weiter? nach was genau muss ich jetzt
> umstellen?
Jetzt musst du nach C'(t) auflösen und durch Integration die Funktion C(t) bestimmen.
> ich versteh noch nicht genau was die inhomogene
> lösung ist.
> x(t) ist die homogene lösung, was ist die inhomogene
> lösung?
Nein: die homogene Lösung ist die Lösung der DGL
x'+2tx=0
Die inhomogene Lösung ist die Lösung der DGL
x'+2tx=3t
Gruß, Diophant
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[mm] C'(t)*e^{-t^2}=3t
[/mm]
[mm] C'(t)=3t*e^{t^2}
[/mm]
edit: fehler entdeckt, korrektur folgt gleich
was ist eig. die allgemein gültige lösungsformel, die in der aufgabe erwähnt wird?
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Hallo,
> [mm]C'(t)*e^{-t^2}=3t[/mm]
>
> [mm]C'(t)=3t*e^{t^2}[/mm]
>
> edit: fehler entdeckt, korrektur folgt gleich
>
> was ist eig. die allgemein gültige lösungsformel, die in
> der aufgabe erwähnt wird?
Da muss auf jeden Fall noch eine Integrationskonstante dazu!
Die Formel, nach der du fragst, wird irgendetwas ![[]](/images/popup.gif) in der Art sein.
Gruß, Diophant
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ich habe schwierigkeiten die rechte seite zu integrieren:
[mm] C'(t)=3t*e^{t^2}
[/mm]
[mm] C(t)=\bruch{e^{t^2}}{2t}*3t-\bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}
[/mm]
wie löse ich jetzt das Integral [mm] \bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}?
[/mm]
Partielle Integration geht nicht. Bei Substitution finde ich keine geeignete Subsitution. Muss ich hier Partialbruchzerlegung anwenden?
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Hallo arbeitsamt,
> ich habe schwierigkeiten die rechte seite zu integrieren:
>
> [mm]C'(t)=3t*e^{t^2}[/mm]
>
> [mm]C(t)=\bruch{e^{t^2}}{2t}*3t-\bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}[/mm]
>
> wie löse ich jetzt das Integral
> [mm]\bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}?[/mm]
>
> Partielle Integration geht nicht. Bei Substitution finde
> ich keine geeignete Subsitution. Muss ich hier
> Partialbruchzerlegung anwenden?
>
Eine geeigenete Substitution ist [mm]z=t^{2}[/mm]
Damit ist eine Stammfunktion von [mm]3t*e^{t^2}[/mm] leicht zu finden.
Gruss
MathePower
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ich komme mit beiden substitutionen nicht weiter
[mm] \bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}
[/mm]
[mm] u=e^{t^2}
[/mm]
dt = [mm] \bruch{du}{2te^{t^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}\integral{\bruch{u}{t}*\bruch{1}{2tu}du} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\integral{\bruch{1}{2t^2}du}= \bruch{3}{4}\integral{\bruch{1}{ln|u|}du}
[/mm]
wie integriere ich jetzt dieses integral?
jetzt versuch ich es nochmal mit der anderen substitution
[mm] \bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}
[/mm]
[mm] u=t^2
[/mm]
dt = [mm] \bruch{du}{2t}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{u}}{t}\bruch{1}{2t}du}=\bruch{3}{4}\integral{\bruch{e^{u}}{u}du}
[/mm]
und wie mache ich hier jetzt weiter?
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Hallo arbeitsamt,
> ich komme mit beiden substitutionen nicht weiter
>
> [mm]\bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}[/mm]
>
> [mm]u=e^{t^2}[/mm]
>
> dt = [mm]\bruch{du}{2te^{t^2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}\integral{\bruch{u}{t}*\bruch{1}{2tu}du}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}\integral{\bruch{1}{2t^2}du}= \bruch{3}{4}\integral{\bruch{1}{ln|u|}du}[/mm]
>
> wie integriere ich jetzt dieses integral?
>
>
> jetzt versuch ich es nochmal mit der anderen substitution
>
>
> [mm]\bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{t^2}}{t}dt}[/mm]
>
> [mm]u=t^2[/mm]
>
> dt = [mm]\bruch{du}{2t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}\integral{\bruch{e^{u}}{t}\bruch{1}{2t}du}=\bruch{3}{4}\integral{\bruch{e^{u}}{u}du}[/mm]
>
> und wie mache ich hier jetzt weiter?
Ich hatte von der Berechnung des Integrals
[mm]}\integral{3t*e^{t^2}}\ dt}[/mm]
geschrieben.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 24.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn [mm] e^{t^2} [/mm] abgeleitet? dann siehst du das Integral direkt
Gruß leduart
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b) [mm] x'=xe^t+exp(e^t)
[/mm]
homogene Lösung:
[mm] x'=xe^t
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}=\integral{e^tdt}
[/mm]
[mm] x=C*e^{e^t}
[/mm]
Inhomogene Lösung:
[mm] x=C(t)*e^{e^t}
[/mm]
[mm] x'=C'(t)e^{e^t}+C(t)e^{2e^t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] C'(t)e^{e^t}+C(t)e^{2e^t}=C(t)*e^{e^t}e^t+exp(e^t)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] C'(t)e^{e^t}= exp(e^t)
[/mm]
C'(t)=1
C(t) = t
ich bitt eum Korrektur.
eine frage habe ich auch noch. wenn man die homogene lösung hat, muss man die konstante variieren und dann die gleichung ableiten. dann gibt man das in die DGL ein. jetzt bei diesen beiden beispielen hat sich dann ein teil der gleichung gekürzt. ist das immer so? wenn sich nichts kürzt, dann kann man davon ausgehen, dass man was falsch gemacht hat oder?
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Hallo arbeitsamt,
> b) [mm]x'=xe^t+exp(e^t)[/mm]
>
> homogene Lösung:
>
> [mm]x'=xe^t[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x}dx}=\integral{e^tdt}[/mm]
>
> [mm]x=C*e^{e^t}[/mm]
>
> Inhomogene Lösung:
>
> [mm]x=C(t)*e^{e^t}[/mm]
>
> [mm]x'=C'(t)e^{e^t}+C(t)e^{2e^t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]C'(t)e^{e^t}+C(t)e^{2e^t}=C(t)*e^{e^t}e^t+exp(e^t)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]C'(t)e^{e^t}= exp(e^t)[/mm]
>
> C'(t)=1
>
> C(t) = t
>
> ich bitt eum Korrektur.
>
> eine frage habe ich auch noch. wenn man die homogene
> lösung hat, muss man die konstante variieren und dann die
> gleichung ableiten. dann gibt man das in die DGL ein. jetzt
> bei diesen beiden beispielen hat sich dann ein teil der
> gleichung gekürzt. ist das immer so? wenn sich nichts
> kürzt, dann kann man davon ausgehen, dass man was falsch
> gemacht hat oder?
Bei richtiger Anwendung dieses Verfahrens kürzt sich immer etwas heraus.
Gruss
MathePower
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