Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Do 08.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Die Nullstellen sind 2, -2.
Daraus folgt [mm] Y_{h}=c_{1}e^{-2x}+c_{2}e^{2x}
[/mm]
Nun meine erst Frage, nehmen ich als Ansatz für [mm] Y_{p} [/mm] immer [mm] Y_{h} [/mm] gefolgt:
[mm] Y_{p}=c_{1}(x)e^{-2x}+c_{2}(x)e^{2x}?
[/mm]
Nun tue ich [mm] Y_{p} [/mm] so oft ableiten wie die höchste Potenz in der Differentialgleichung, richtig?
[mm] Y_{p}'=c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}-2c_{1}(x)e^{-2x}+2c_{2}(x)e^{2x}
[/mm]
Nun muss [mm] c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=0 [/mm] sein.
Daher leite ich für [mm] Y_P'' [/mm] nur den zweiten Teil ab:
[mm] Y_{p}''=-2c_{1}'(x)e^{-2x}+2c_{2}'(x)e^{2x}+4c_{1}(x)e^{-2x}+4c_{2}(x)e^{2x}
[/mm]
Nun muss [mm] -2c_{1}'(x)e^{-2x}+2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{Cosh(2x)}
[/mm]
Ist das richtig soweit?
Nun habe ich 2 Gleichungen:
[mm] c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=0 [/mm] (1)
[mm] -2c_{1}'(x)e^{-2x}+2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{Cosh(2x)} [/mm] (2)
Jetzt kann ich (2) druch 2 teilen und beide Gleichungen addieren.
[mm] c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=0 [/mm] (1)
[mm] -c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{2Cosh(2x)} [/mm] (2)
[mm] 2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{2Cosh(2x)} [/mm] (3)
Das Cosh(2x) kann ich auch schreiben als [mm] \bruch{e^{2x}+e^{-2x}}{2}.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] 2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}} [/mm] und
[mm] c_{2}'(x)=\bruch{1}{2(e^{4x}+1)}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und jetzt setzt ich nur noch [mm] c_{2}'(x) [/mm] in eine der beiden Gleichungen ein und form nach [mm] c_{1}'(x) [/mm] um und integrier beide oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Boki87,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die Nullstellen sind 2, -2.
>
> Daraus folgt [mm]Y_{h}=c_{1}e^{-2x}+c_{2}e^{2x}[/mm]
>
> Nun meine erst Frage, nehmen ich als Ansatz für [mm]Y_{p}[/mm] immer
> [mm]Y_{h}[/mm] gefolgt:
>
> [mm]Y_{p}=c_{1}(x)e^{-2x}+c_{2}(x)e^{2x}?[/mm]
Bei der Variation der Konstanten ja.
>
> Nun tue ich [mm]Y_{p}[/mm] so oft ableiten wie die höchste Potenz in
> der Differentialgleichung, richtig?
>
> [mm]Y_{p}'=c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}-2c_{1}(x)e^{-2x}+2c_{2}(x)e^{2x}[/mm]
>
>
> Nun muss [mm]c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=0[/mm] sein.
>
> Daher leite ich für [mm]Y_P''[/mm] nur den zweiten Teil ab:
>
> [mm]Y_{p}''=-2c_{1}'(x)e^{-2x}+2c_{2}'(x)e^{2x}+4c_{1}(x)e^{-2x}+4c_{2}(x)e^{2x}[/mm]
>
> Nun muss
> [mm]-2c_{1}'(x)e^{-2x}+2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{Cosh(2x)}[/mm]
>
> Ist das richtig soweit?
>
> Nun habe ich 2 Gleichungen:
> [mm]c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=0[/mm] (1)
> [mm]-2c_{1}'(x)e^{-2x}+2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{Cosh(2x)}[/mm]
> (2)
>
> Jetzt kann ich (2) druch 2 teilen und beide Gleichungen
> addieren.
>
> [mm]c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=0[/mm] (1)
> [mm]-c_{1}'(x)e^{-2x}+c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{2Cosh(2x)}[/mm]
> (2)
> [mm]2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{2Cosh(2x)}[/mm] (3)
>
> Das Cosh(2x) kann ich auch schreiben als
> [mm]\bruch{e^{2x}+e^{-2x}}{2}.[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]2c_{2}'(x)e^{2x}=\bruch{1}{e^{2x}+e^{-2x}}[/mm] und
> [mm]c_{2}'(x)=\bruch{1}{2(e^{4x}+1)}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Und jetzt setzt ich nur noch [mm]c_{2}'(x)[/mm] in eine der beiden
> Gleichungen ein und form nach [mm]c_{1}'(x)[/mm] um und integrier
> beide oder?
Ja, bis hierhin stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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