Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 17.10.2011 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie mittels Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung. |
Es ist weiterhin gegeben:
y'' - [mm] \bruch{2y'}{t} [/mm] + [mm] \bruch{2y}{t^{2}} [/mm] = t
und folgendene Funktionen bilden ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung:
[mm] y_{1}(t) [/mm] = t
[mm] y_{2}(t) [/mm] = [mm] t^{2}
[/mm]
Letztendlich hat man ja schon eine spezielle Lösung gegeben, in dem man z.B. [mm] y_{2} [/mm] = 0 setzt, aber wie rechne ich dann weiter?
Liebe Grüße
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Hallo krueemel,
> Bestimmen Sie mittels Variation der Konstanten eine
> partikuläre Lösung.
> Es ist weiterhin gegeben:
> y'' - [mm]\bruch{2y'}{t}[/mm] + [mm]\bruch{2y}{t^{2}}[/mm] = t
>
> und folgendene Funktionen bilden ein Fundamentalsystem der
> homogenen Gleichung:
> [mm]y_{1}(t)[/mm] = t
> [mm]y_{2}(t)[/mm] = [mm]t^{2}[/mm]
>
> Letztendlich hat man ja schon eine spezielle Lösung
> gegeben, in dem man z.B. [mm]y_{2}[/mm] = 0 setzt, aber wie rechne
> ich dann weiter?
>
Jetzt machst Du den Ansatz
[mm]y_{p}\left(t\right)=c_{1}\left(t}\right)y_{1}\left(t\right)+c_{2}\left(t\right)y_{2}\left(t\right)[/mm]
Dabei muss noch eine Zusatzbedingung gelten:
[mm]c_{1}'\left(t}\right)y_{1}\left(t\right)+c_{2}'\left(t\right)y_{2}\left(t\right)=0[/mm]
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 17.10.2011 | | Autor: | krueemel |
und was ist meine Funktion c1(t) und c2(t) ? Was nehme ich da an?
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Hallo krueemel,
> und was ist meine Funktion c1(t) und c2(t) ? Was nehme ich
> da an?
Da nimmst Du nix an - diese sollst Du ermitteln.
Da gibt es einige vernünftige Erklärungen im Netz - man kann sie ergooglen.
Deine inhomogene DGL: [mm] $y''-2*y'*\frac{1}{t}+2*y*\frac{1}{t^2}=t$
[/mm]
Deine homogene Lösung:
[mm] $y_h=C_1*t^2+C_2*t$
[/mm]
Dein Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm] $y_p=C_1(t)*t^2+C_2(t)*t$
[/mm]
[mm] $y'_p=C'_1*t^2+2*C_1*t+C'_2*t+C_2$
[/mm]
Die zusätzliche Bedingung: [mm] $C'_1*t^2+C'_2*t=0$
[/mm]
Damit: [mm] $y'_p=2*C_1*t+C_2$
[/mm]
[mm] $y''_p=2*C'_1*t+2*C_1+C'_2$
[/mm]
Jetzt setzt Du [mm] y_p, \; \; [/mm] $y'_p$ und $y''_p$ in die inhomogene DGL ein...
Übrig bleibt: $C'_1*2t+C'_2*1=t$
Das System aus dieser Gleichung & der zusätzl. Bedingung musst Du lösen:
[mm] $\begin{pmatrix}
t^2 & t \\
2t & 1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} C'_1 \\ C'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix}$
[/mm]
Ich habe: [mm] C_1=t [/mm] und [mm] C_2=-\frac{1}{2}*t^2
[/mm]
und damit: [mm] y_p= \; t^3-\frac{1}{2}*t^3 \;= \;\frac{1}{2}*t^3
[/mm]
Prüfe auf Richtigkeit durch zweimaliges Ableiten und Einsetzen in die inhomogene DGL.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Mo 17.10.2011 | | Autor: | krueemel |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt habe ich es verstanden.
Deine Lösung ist richtig, habe eben die Probe gemacht!
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