Variation der Konstanten 2 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] x`=-\bruch{1}{t}x+lnt [/mm] , x(1)=1
und zwar sowohl per Durchführung der Methode "Variation der Konstanten" wie durch die Anwendung der allgemeinen Lösungsformel
[mm] x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds}
[/mm]
b) Gegeben sei ein Teilchen der Masse m in einer Flüssigkeit. Die zeitabhängige Sinkgeschwindigkeit v=v(t) des Teilches wird durch die Diff`gleichung
[mm] m\bruch{dv}{dt}+kv=mg
[/mm]
modelliert, wobei k [mm] \in \IR [/mm] ein Reibungsfaktor und g die übliche Gravitationskonstante ist. Berechnen Sie die allgemeine Lösung und die Lösung zur Anfangsbedingung [mm] v(0)=v_0 [/mm] |
a) [mm] x'=-\bruch{1}{t}x+lnt [/mm] , x(1)=1
homogene Lösung
[mm] x'=-\bruch{1}{t}x
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}=-\integral{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
[mm] x=C*e^{-ln|t|}
[/mm]
inhomogene Lösung:
[mm] x=C(t)*e^{-ln|t|}
[/mm]
[mm] x'=C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})=-\bruch{1}{t}C(t)*e^{-ln|t|}+lnt [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
C'(t)=lnt
C(t)=t*ln(t)-t
Anfangwertproblem:
x(1)=1
[mm] 1=C*e^{-ln|1|}
[/mm]
1=C
Ich bitte um Korrektur. musste ich eigentlich die inhomogene Lösung bestimmen? die habe ich gar nicht gebraucht um das Anfangswertproblem zu bestimmen
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Hallo arbeitsamt,
> a) Lösen Sie das Anfangswertproblem
>
> [mm]x'=-\bruch{1}{t}x+lnt[/mm] , x(1)=1
>
> und zwar sowohl per Durchführung der Methode "Variation
> der Konstanten" wie durch die Anwendung der allgemeinen
> Lösungsformel
>
> [mm]x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds}[/mm]
>
> b) Gegeben sei ein Teilchen der Masse m in einer
> Flüssigkeit. Die zeitabhängige Sinkgeschwindigkeit v=v(t)
> des Teilches wird durch die Diff'gleichung
>
> [mm]m\bruch{dv}{dt}+kv=mg[/mm]
>
> modelliert, wobei k [mm]\in \IR[/mm] ein Reibungsfaktor und g die
> übliche Gravitationskonstante ist. Berechnen Sie die
> allgemeine Lösung und die Lösung zur Anfangsbedingung
> [mm]v(0)=v_0[/mm]
> a) [mm]x'=-\bruch{1}{t}x+lnt[/mm] , x(1)=1
>
> homogene Lösung
>
> [mm]x'=-\bruch{1}{t}x[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x} dx}=-\integral{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
> [mm]x=C*e^{-ln|t|}[/mm]
>
> inhomogene Lösung:
>
> [mm]x=C(t)*e^{-ln|t|}[/mm]
>
> [mm]x'=C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]C'(t)*e^{-ln|t|}+C(t)*(-\bruch{e^{-ln|t|}}{t})=-\bruch{1}{t}C(t)*e^{-ln|t|}+lnt[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> C'(t)=lnt
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]C'\left(t\right)=\red{e^{+ln|t|}}*\ln\left(t\right)[/mm]
>
> C(t)=t*ln(t)-t
>
> Anfangwertproblem:
>
> x(1)=1
>
>
> [mm]1=C*e^{-ln|1|}[/mm]
>
> 1=C
>
> Ich bitte um Korrektur. musste ich eigentlich die
> inhomogene Lösung bestimmen? die habe ich gar nicht
> gebraucht um das Anfangswertproblem zu bestimmen
Gruss
MathePower
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hallo,
der fehler ist aber nicht so relevant, da ich das Anfangswertproblem (doofes wort) ohne die inhomogene Lösung gelöst habe
für das anfangswertproblem brauch ich doch nur die homogene lösung oder?
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
>
> der fehler ist aber nicht so relevant, da ich das
> Anfangswertproblem (doofes wort) ohne die inhomogene
> Lösung gelöst habe
>
Der Fehler ist sogar sehr entscheidend.
Diese führt dann auf eine falsche Lösung.
> für das anfangswertproblem brauch ich doch nur die
> homogene lösung oder?
Nein, für das Anfangswertproblem, brauchst Du die
Lösung der gesamten DGL (homogener Teil und
inhomogener Teil).
Gruss
MathePower
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aso mit der homogenen lösung kann ich das anfangswertproblem nicht lösen, weil die homogene lösung nicht die lösung der kompletten diff'gleichung ist
korrektur:
[mm] C'(t)=e^{ln|t|}*ln|t|
[/mm]
[mm] C'(t)=t\*ln|t|
[/mm]
[mm] C(t)=\integral{t\*ln|t|dt}
[/mm]
u=ln|t|
[mm] C(t)=\integral{(e^u)^2*u du}=\integral{e^{2u}*u du}
[/mm]
[mm] C(t)=\bruch{u}{2}e^{2u} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}e^{2u}+C
[/mm]
[mm] C(t)=\bruch{ln|t|}{2}t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}t^2+C
[/mm]
ich bitte um korrektur. wie löse ich nun das Anfangswertproblem für x(1) = 1?
gebe ich t=1 als Funktionswert für C(t) ein?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 So 25.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein C(t) ist richtig, das setzt du in
$ [mm] x=C(t)\cdot{}e^{-ln|t|} [/mm] $ ein und hast damit die allgemeine Losung, in die du den Anfangswert einsetzt um C zu bestimmen.
Gru0 leduart
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ich habe noch eine frage zur Formel
[mm] x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds})
[/mm]
was wäre A(t), A(s) und g(s) in meinem fall?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 25.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> ich habe noch eine frage zur Formel
>
> [mm]x(t)=e^{A(t)} (x_o+\integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)}g(s) ds})[/mm]
>
> was wäre A(t), A(s) und g(s) in meinem fall?
Gegeben ist die lin. Dgl
x'(t)=a(t)x(t)+g(t)
A ist eine Stammfunktion von a.
Noch eine Frage:
bei
$ [mm] x'=-\bruch{1}{t}x+lnt [/mm] $ , x(1)=1
hast Du dauernd [mm] e^{- \ln |t|} [/mm] geschrieben. Warum ? Es ist doch t>0 , also
[mm] e^{- \ln |t|}=e^{- \ln t}=1/t
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 25.05.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> Noch eine Frage:
>
> bei
>
> [mm]x'=-\bruch{1}{t}x+lnt[/mm] , x(1)=1
>
> hast Du dauernd [mm]e^{- \ln |t|}[/mm] geschrieben. Warum ? Es ist
> doch t>0 , also
>
> [mm]e^{- \ln |t|}=e^{- \ln t}=1/t[/mm]
wegen copy and paste habe ich das wohl übersehen
>
> FRED
>
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[mm] m\bruch{dv}{dt}+kv=mg
[/mm]
homogene Lösung:
[mm] m\bruch{dv}{dt}+kv=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] m\integral{ \bruch{1}{v}dv}=-k\integral{ 1dt}
[/mm]
[mm] m\*ln|v|=-kt+C
[/mm]
[mm] ln|v|=-\bruch{k}{m}t+C_2
[/mm]
[mm] v=C*e^{-\bruch{k}{m}t}
[/mm]
inhomogene Lösung
Konstante Variieren: [mm] v=C(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}
[/mm]
[mm] v'=C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}+C(t)*(-\bruch{k}{m}*e^{-\bruch{k}{m}t})
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] m(C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}+C(t)*(-\bruch{k}{m}*e^{-\bruch{k}{m}t}))+kC*e^{-\bruch{k}{m}t}=mg
[/mm]
[mm] m(C'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t}- C(t)*k*e^{-\bruch{k}{m}t}+kC*e^{-\bruch{k}{m}t}=mg
[/mm]
[mm] mC'(t)*e^{-\bruch{k}{m}t} [/mm] = mg
[mm] C'(t)=g*e^{\bruch{k}{m}t}
[/mm]
[mm] C(t)=g*\bruch{m}{k}*e^{\bruch{k}{m}t}- \bruch{m^2}{k^2}*e^{\bruch{k}{m}t}
[/mm]
ich bitte um korrektur
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 25.05.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> das Integral, das du lösen musst, lautet doch:
>
> [mm]\integral{g*e^{at}dt}=g*\integral{e^{at}}=....[/mm]
>
> Anm.: [mm]a=\frac{k}{m}[/mm]
ah mein fehler war, dass ich g als eine variable gesehen habe und die partielle integration angewendet habe
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
