Vasicek Modell < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Do 19.05.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo allerseits,
die SDGL von Vasicek lautet im stetigen Fall folgendermaßen: $ [mm] d_{rt} [/mm] = (b - a [mm] \cdot r_t) [/mm] dt + [mm] \sigma \cdot dW_t$. [/mm] Um es zu implementieren muß man die SDGL diskretisieren. Dann lautet sie nun so: [mm] $\Delta r_t [/mm] = (b - a [mm] \cdot r_t) \Delta [/mm] t + [mm] \sigma \cdot \wurzel{\Delta t} \cdot z_t$ [/mm] mit [mm] $z_t$ [/mm] aus N(0,1). Hierauf wendet man die Euler Methode an, um die SDGL zu lösen. Nur bei der Umsetzung bin ich mir nicht sicher, würde mich sehr darüber freuen, einen Feedback zu erhalten. Diese ist nun: [mm] $r_t [/mm] = [mm] r_{t-1} [/mm] + (b - a [mm] \cdot r_{t-1}) \cdot \Delta [/mm] t + [mm] \sigma \cdot \wurzel{\Delta t} \cdot z_t$, [/mm] wie habe ich [mm] $\Delta [/mm] t$ zu wählen. Würde gerne mit jemanden darüber "unterhalten".
Danke im Voraus.
Viele Grüße
Murat
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage ist zunächst einmal, was du mit der Simulation der SDE anfangen willst. Willst du sie rein mathematisch genau simulieren, dann ist es antürlich sinnvoll, [mm] $\Delta [/mm] t$ so klein wie möglich zu wählen, um die Diskretisierung möglichst fein zu wählen (so klein, wie es von der Rechenzeit verträglich ist).
Anders sieht es aus, wenn du das Vasicek-Modell an konkrete Zinsdaten anpassen willst. Hier muss man bedenken, dass das Rauschen (also die [mm] $z_t$ [/mm] in deiner Gleichung) bei realen Daten nur monatsweise ansatzweise normalverteilt ist (bei Tagesdaten dagegen praktisch überhaupt nicht). Wenn du [mm] $\Delta [/mm] t$ bei der Schätzung zu klein wählst, hast du zu viele Null-Returns und zu große Tails in den Daten (die Zinsen auf Tagesbasis ändern sich entweder häufig gar nicht oder wenn, dann mit großen Sprüngen). Jetzt kannst du natürlich sagen: Okay, aber nach der Schätzung kann ich doch dann bei der Simulation wieder beliebig klein werden mit [mm] $\Delta [/mm] t$?
Im Prinzip ja, aber die Frage ist, welche Aussagekraft eine so feine Simulation mit einer SDE hat, deren Parameter anhand von Monatszinsdaten geschätzt wurden!! Man sollte dann auch hier nicht zu fein werden...
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 21.05.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deinen Feedback. Ich möchte gerne anhand von Monatsdaten das Modell an Zinsdaten anpassen. Gibt es denn eine Vorgehensweise, wie man [mm] $\Delta [/mm] t$ wählt ? Oder wie würdest du [mm] $\Delta [/mm] t$ wählen ? Ist die Eulergleichung richtig hingeschrieben, um es zu benützen ?
Viele Grüße
Murat
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Hallo ihr beiden!
> vielen Dank für deinen Feedback. Ich möchte gerne anhand
> von Monatsdaten das Modell an Zinsdaten anpassen. Gibt es
> denn eine Vorgehensweise, wie man [mm]\Delta t[/mm] wählt ? Oder wie
> würdest du [mm]\Delta t[/mm] wählen ? Ist die Eulergleichung richtig
> hingeschrieben, um es zu benützen ?
Das Euler-Schema hast Du richtig aufgeschrieben.
Was die Schrittweite angeht, gibt es sicherlich einige verschiedene Ansätze. Wer sagt denn z.B., dass sie immer äquidistant sein sollte (Stichwort Schrittweitensteuerung)? Aber hier solltest Du prüfen, ob sich der Mehraufwand lohnt. Ich weiß ja nicht, wofür Du die Simulation einsetzen möchtest. Ich kenne mich auf diesem Gebiet auch nicht so gut aus, aber ich empfehle das Buch von Klöden/Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Dort findest Du an verschiedenen Stellen Aussagen über den Fehler (bei pfadweiser Approximation oder Approximationen zu bestimmten Zeitpunkten der Simulation) in Abhängigkeit der Schrittweite.
Viele Grüße
Brigitte
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