VdK bei DGL hoeher. Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] xy''' + xy' +3x^3-5x+4x^2*\cos(x)=0 [/mm] |
Hab folgendes gemacht:.
1. Durch x geteilt damit die Aufgabe etwas einfacher wird, muesste ja erlaubt sein, weil eine Exakte DGL wird es ja eh nicht ;)
2.Subst. mit [mm]z=y'[/mm]
--> [mm] y_hom=C1*\sin(x) + C2*\cos(x)[/mm]
Probleme kommen bei der Part. Loesung, welche ich ueber VdK versucht hab:
[mm]
C1'\sin(x) +C2'\cos(x) = 0
[/mm]
[mm]
C1'\cos(x) - C2'\sin(x)=5 - 3x^2-4x*\cos(x)
[/mm]
Wenn ich das jetzt versuche umzustellen, einzusetzen C1' C2' integriere und in die hom. Loesung einsetze dann bekomme ich angsteregende Ausdruecke die nie und nimmer richtig sein koennen.
Wo liegt mein Fehler ?
Danke im Voraus,
Vladimir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Vladimir,
> [mm]xy''' + xy' +3x^3-5x+4x^2*\cos(x)=0[/mm]
> Hab folgendes
> gemacht:.
> 1. Durch x geteilt damit die Aufgabe etwas einfacher wird,
Für $x=0$ ist die Gleichung ja für jede Funktion $y(x)$ erfüllt, also kannst du diesen Fall ruhig ausschließen und dann durch $x$ teilen.
Deinen Ansatz habe ich nicht durchgerechnet, ich würde es aber wieder über einen Störtermansatz lösen:
Ein Fundamentalsystem für die homogene DGL erhälst du einfach aus dem charakteristischen Polynom:
FS: [mm]\{ 1; \sin x; \cos x \}[/mm]
Nun kannst du für die Störterme [mm]b_1(x)=-3x^2+5[/mm] und [mm]b_2(x)=-4x \cdot \cos (2x)[/mm] entsprechend die Ansätze [mm]y_1(x)[/mm] und [mm]y_2(x)[/mm] wählen. Damit hast du insgesamt den Störtermansatz
[mm]y(x)=y_1(x)+y_2(x)[/mm]
Das macht Sinn, da die DGL linear ist.
Viele Grüße
Astrid
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