Vektor-Beweis-Satz des Thales < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Fr 05.11.2004 | | Autor: | checker |
hallo! habe heute meine erste 13er klausur geschrieben, alles richtig gelöst bis auf:
Beweisen SIe den Satz des Thales vektoriell!
Der Ansatz, den ich habe: da der winkel immer 90grad hat, muss das skalarproduckt 0sein.
bitte helfen!! danke
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mach eine Skizze,
Durchmesserendpunkte A,B, Kreismittelpunkt M, Peripheriepunkt C;
$ [mm] \overrightarrow{AM} [/mm] = [mm] \vec{r}$
[/mm]
$ [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] = [mm] -\vec{r}$
[/mm]
$ [mm] \overrightarrow{MC} [/mm] = [mm] \vec{r}_{M}$
[/mm]
$ [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vec{r}+\vec{r}_{m}$
[/mm]
$ [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] -\vec{r}+\vec{r}_{m}$
[/mm]
Bilde nun das Sklarprodukt von $ [mm] \overrightarrow{AC}$ [/mm] mit $ [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] $
( das Skalarprodukt ist distributiv, und x.x = | x |², und alle auftretenden Vektoren haben ja gleiche Länge, also gleichen Betrag )
Ergänzung nach Nachfrage von checker; [mm] $\odot [/mm] $ stehe für die Skalarmultiplikation
$p = [mm] \overrightarrow{AC} \odot \overrightarrow{BC} [/mm] = ( [mm] \vec{r}+\vec{r}_{m}) \odot [/mm] ( [mm] -\vec{r}+\vec{r}_{m} [/mm] ) = [mm] -\vec{r}\odot \vec{r} [/mm] + [mm] \vec{r_m} \odot \vec{r_m} [/mm] $
$p = -| [mm] \vec{r} [/mm] | ^2 + | [mm] \vec{r_m} [/mm] | ^2 $ und weil $ | [mm] \vec{r_m} [/mm] | = | [mm] \vec{r} [/mm] | $ ist eben $ p = 0 $ was zu beweisen war
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 07.11.2004 | | Autor: | checker |
ok danke erstmal, aber wie genau bilde ich nun das skalarprodukt?
ich habe folgendes versucht:
c1-a1 c1-b1
c2-a2 mal c2-b2
c3-a3 c3-b3
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Hallo, Tim, ich habe meine urpsrüngliche Antwort ergänzt damit alles zusammenhängend dasteht. Gruß F.
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Hi! ich hab zu dem Beweis eine Frage: ist das nicht der Beweis für die Umkehrung des Satz des Thales? Und wenn nicht: wie sieht dieser aus?
Vielen Dank!
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> Hi! ich hab zu dem Beweis eine Frage: ist das nicht der
> Beweis für die Umkehrung des Satz des Thales? Und wenn
> nicht: wie sieht dieser aus?
> Vielen Dank!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier wurde bewiesen: jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter.
Die Umkehrung davon lautet:
Die freien Ecken aller rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse liegen auf einem Kreis mit der Hypothenuse als Durchmesser.
Ich habe ersteres als Thalessatz kennengelernt, aber auch schon gesehen, daß zweiteres als Thalessatz bezeichnet wurde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei E ein zweidimensionaler euklidischer Raum, [mm] p\in [/mm] E und r>0.Bezeichne
[mm] \delta B_{r}(p):={x\in E:||x-p||=r} [/mm] den Kreis um p vom Radius r. Zeigen Sie den Satz von Thales: Seien a,b,c [mm] \in \delta B_{r}(p) [/mm] drei verschiedene Punkte, so dass p auf der Strecke von a nach b liegt. Dann stehen die Strecken von c nach a und von c nach b senkrecht aufeinander. |
Hallo,
ich verstehe den Beweis des Satzes von Thales, jedoch ich weiß nicht, ob man so argumentieren darf, wenn man die obige Aufgabenstellung betrachtet. Ich meine, ob diese Argumentation "kompatibel" mit Lineare Algebra 2 Vorlesung ist. Z.B ich kann mich nicht daran erinnern , dass wir in LA 1 oder LA 2 einen Vektor z.B AC geometrisch definiert haben (Ich denke, dass wir Vektoren "nur" als Elemente von einem Vektorraum definiert haben )
Gibt es einen Weg , der relativ abstrakt den Satz von Thales beweist(z.B wenn man nur die Rechenregeln mit Vektoren , Skalarprodukt oder Normrechenregeln verwendet).
Wenn man den obigen Ansatz betrachtet, dann wird dort vorausgesetzt, dass man eine Strecke AC z.B als einen Vektor AC auffassen kann.(wie gesagt, ich weiß nicht , ob man nach LA-Vorlesung so argumentieren kann).
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Sa 18.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Satz des Thales gilt im Vektorraum [mm] \IR^2, [/mm] dem 2d euklidischen VR da muss man wohl auch darin Vektoren nehmen. Ausserdem gilt die euklidische Norm und das dazugehörige Skalarprodukt. Worte wie "Halbkreis", 90° Winkel, Peripheriewinkel gibt es in zu allgemeinen VR nicht.
Was willst du also genau? wie beschreibst du denn einen Kreis?
Gruss leduart
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